Producto exterior

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Vector operation

En álgebra lineal, el producto exterior de dos vectores de coordenadas es una matriz. Si los dos vectores tienen dimensiones n y m, entonces su producto exterior es una matriz n × m. De manera más general, dados dos tensores (matrices multidimensionales de números), su producto exterior es un tensor. El producto exterior de los tensores también se conoce como su producto tensorial y se puede utilizar para definir el álgebra tensorial.

El producto exterior contrasta con:

El producto de puntos (un caso especial de "producto interno"), que toma un par de vectores de coordenadas como entrada y produce un escalar
El producto Kronecker, que toma un par de matrices como entrada y produce una matriz de bloques
Multiplicación de matriz estándar

Definición

Dados dos vectores de tamaño $mtimes 1$ y $ntimes 1$ respectivamente

{displaystyle mathbf {u} ={begin{bmatrix}u_{1}\u_{2}\vdots \u_{m}end{bmatrix}},quad mathbf {v} ={begin{bmatrix}v_{1}\v_{2}\vdots \v_{n}end{bmatrix}}}

{displaystyle mathbf {u} otimes mathbf {v}}

mtimes n

mathbf {A}

mathbf {u}

mathbf {v}

{displaystyle mathbf {u} otimes mathbf {v} =mathbf {A} ={begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&dots &u_{1}v_{n}\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&dots &u_{2}v_{n}\vdots &vdots &ddots &vdots \u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&dots &u_{m}v_{n}end{bmatrix}}}

O en notación de índice:

{displaystyle (mathbf {u} otimes mathbf {v})_{ij}=u_{i}v_{j}}

Denotar el producto del punto por ${displaystyle ,cdot,}$ si se da una $ntimes 1$ vector ${displaystyle mathbf {w}}$ entonces ${displaystyle (mathbf {u} otimes mathbf {v})mathbf {w} =(mathbf {v} cdot mathbf {w})mathbf {u}.}$ Si se da una ${displaystyle 1times m}$ vector ${displaystyle mathbf {x}}$ entonces ${displaystyle mathbf {x} (mathbf {u} otimes mathbf {v})=(mathbf {x} cdot mathbf {u})mathbf {v} ^{operatorname {T} }.}$

Si $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ son vectores de la misma dimensión más grande que 1, entonces ${displaystyle det(mathbf {u} otimes mathbf {v})=0}$ .

El producto exterior ${displaystyle mathbf {u} otimes mathbf {v} }$ es equivalente a una multiplicación de matriz ${displaystyle mathbf {u} mathbf {v} ^{operatorname {T} },}$ siempre que $mathbf {u}$ está representado como $mtimes 1$ vector de columna y $mathbf {v}$ como $ntimes 1$ vector de columna (que hace) ${displaystyle mathbf {v} ^{operatorname {T} }}$ un vector de fila). Por ejemplo, si $m=4$ y ${displaystyle n=3,}$ entonces

{displaystyle mathbf {u} otimes mathbf {v} =mathbf {u} mathbf {v} ^{textsf {T}}={begin{bmatrix}u_{1}\u_{2}\u_{3}\u_{4}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}end{bmatrix}}.}

Para vectores complejos, a menudo es útil tomar la transposición conyugal de ${displaystyle mathbf {v}}$ denotado ${displaystyle mathbf {v} ^{dagger }}$ o ${displaystyle left(mathbf {v} ^{textsf {T}}right)^{*}}$ :

{displaystyle mathbf {u} otimes mathbf {v} =mathbf {u} mathbf {v} ^{dagger }=mathbf {u} left(mathbf {v} ^{textsf {T}}right)^{*}.}

Contraste con el producto interior euclidiano

Si ${displaystyle m=n,}$ entonces uno puede tomar el producto de la matriz de la otra manera, dando un escalar (o $1 times 1$ matriz):

{displaystyle leftlangle mathbf {u}mathbf {v} rightrangle =mathbf {u} ^{textsf {T}}mathbf {v} }

Multiplicación de un vector $mathbf {w}$ por la matriz ${displaystyle mathbf {u} otimes mathbf {v} }$ puede ser escrito en términos del producto interno, utilizando la relación ${displaystyle left(mathbf {u} otimes mathbf {v} right)mathbf {w} =mathbf {u} leftlangle mathbf {v}mathbf {w} rightrangle }$ .

El producto exterior de tensores

Dado dos tensores ${displaystyle mathbf {u}mathbf {v} }$ con dimensiones ${displaystyle (k_{1},k_{2},dotsk_{m})}$ y ${displaystyle (l_{1},l_{2},dotsl_{n})}$ , su producto exterior ${displaystyle mathbf {u} otimes mathbf {v} }$ es un tensor con dimensiones ${displaystyle (k_{1},k_{2},dotsk_{m},l_{1},l_{2},dotsl_{n})}$ y entradas

{displaystyle (mathbf {u} otimes mathbf {v})_{i_{1},i_{2},dots i_{m},j_{1},j_{2},dotsj_{n}}=u_{i_{1},i_{2},dotsi_{m}}v_{j_{1},j_{2},dotsj_{n}}}

Por ejemplo, si $mathbf {A}$ es de orden 3 con dimensiones ${displaystyle (3,5,7)}$ y $mathbf {B}$ es de orden 2 con dimensiones ${displaystyle (10,100),}$ entonces su producto exterior $mathbf {C}$ es de orden 5 con dimensiones ${displaystyle (3,5,7,10,100).}$ Si $mathbf {A}$ tiene un componente $A [2, 2, 4] = 11$ y $mathbf {B}$ tiene un componente $B [8, 88] = 13$ , entonces el componente de $mathbf {C}$ formado por el producto exterior $C [2, 2, 4, 8, 88] = 143$ .

Conexión con el producto Kronecker

El producto exterior y el producto de Kronecker están estrechamente relacionados; de hecho, el mismo símbolo se usa comúnmente para indicar ambas operaciones.

Si ${displaystyle mathbf {u} ={begin{bmatrix}1&2&3end{bmatrix}}^{textsf {T}}}$ y ${displaystyle mathbf {v} ={begin{bmatrix}4&5end{bmatrix}}^{textsf {T}}}$ , tenemos:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {u} otimes _{text{Kron}}mathbf {v} &={begin{bmatrix}4\5\8\10\12\15end{bmatrix}},&mathbf {u} otimes _{text{outer}}mathbf {v} &={begin{bmatrix}4&5\8&10\12&15end{bmatrix}}end{aligned}}}

En el caso de los vectores de columna, el producto Kronecker se puede ver como una forma de vectorización (o aplanamiento) del producto exterior. En particular, para dos vectores de columna $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ , podemos escribir:

{displaystyle mathbf {u} otimes _{text{Kron}}mathbf {v} =operatorname {vec} (mathbf {v} otimes _{text{outer}}mathbf {u})}

Tenga en cuenta que el orden de los vectores se invierte en el lado derecho de la ecuación.

Otra identidad similar que destaca aún más la similitud entre las operaciones es

{displaystyle mathbf {u} otimes _{text{Kron}}mathbf {v} ^{textsf {T}}=mathbf {u} mathbf {v} ^{textsf {T}}=mathbf {u} otimes _{text{outer}}mathbf {v} }

donde no es necesario invertir el orden de los vectores. La expresión del medio utiliza la multiplicación de matrices, donde los vectores se consideran matrices de columna/fila.

Conexión con el producto matriz

Dado un par de matrices $mathbf {A}$ de tamaño $mtimes p$ y $mathbf {B}$ de tamaño ${displaystyle ptimes n}$ , considerar el producto de la matriz ${displaystyle mathbf {C} =mathbf {A} ,mathbf {B} }$ definido como de costumbre como una matriz de tamaño $mtimes n$ .

Ahora ${displaystyle mathbf {a} _{k}^{text{col}}}$ ser el $k$ -th column vector of $mathbf {A}$ y dejar ${displaystyle mathbf {b} _{k}^{text{row}}}$ ser el $k$ - vector de la fila $mathbf {B}$ . Entonces... $mathbf {C}$ se puede expresar como una suma de productos externos columna por página:

{displaystyle mathbf {C} =mathbf {A} ,mathbf {B} =left(sum _{k=1}^{p}{A}_{ik},{B}_{kj}right)_{begin{matrix}1leq ileq m\[-20pt]1leq jleq nend{matrix}}={begin{bmatrix}&&\mathbf {a} _{1}^{text{col}}&cdots &mathbf {a} _{p}^{text{col}}\&&end{bmatrix}}{begin{bmatrix}&mathbf {b} _{1}^{text{row}}&\&vdots &\&mathbf {b} _{p}^{text{row}}&end{bmatrix}}=sum _{k=1}^{p}mathbf {a} _{k}^{text{col}}otimes mathbf {b} _{k}^{text{row}}}

{displaystyle C_{ij}=langle {mathbf {a} _{i}^{text{row}},,mathbf {b} _{j}^{text{col}}}rangle }

Esta relación es relevante en la aplicación de la descomposición de valor Singular (SVD) (y la descomposición espectral como caso especial). En particular, la descomposición puede interpretarse como la suma de los productos externos de cada izquierda ( $mathbf {u} _{k}$ ) y derecha ( ${mathbf {v}}_{k}$ ) vectores singulares, escalados por el valor no cero singular correspondiente $sigma _{k}$ :

{displaystyle mathbf {A} =mathbf {USigma V^{T}} =sum _{k=1}^{operatorname {rank} (A)}(mathbf {u} _{k}otimes mathbf {v} _{k}),sigma _{k}}

Este resultado implica que $mathbf {A}$ se puede expresar como una suma de matrices de rango-1 con norma espectral $sigma _{k}$ en orden decreciente. Esto explica el hecho de que, en general, los últimos términos contribuyan menos, lo que motiva el uso del SVD truncado como aproximación. El primer término es el mínimo cuadrado que cabe de una matriz a un producto exterior de vectores.

Propiedades

El producto exterior de vectores satisface las siguientes propiedades:

{displaystyle {begin{aligned}(mathbf {u} otimes mathbf {v})^{textsf {T}}&=(mathbf {v} otimes mathbf {u})\(mathbf {v} +mathbf {w})otimes mathbf {u} &=mathbf {v} otimes mathbf {u} +mathbf {w} otimes mathbf {u} \mathbf {u} otimes (mathbf {v} +mathbf {w})&=mathbf {u} otimes mathbf {v} +mathbf {u} otimes mathbf {w} \c(mathbf {v} otimes mathbf {u})&=(cmathbf {v})otimes mathbf {u} =mathbf {v} otimes (cmathbf {u})end{aligned}}}

El producto exterior de tensores satisface la propiedad de asociatividad adicional:

{displaystyle (mathbf {u} otimes mathbf {v})otimes mathbf {w} =mathbf {u} otimes (mathbf {v} otimes mathbf {w})}

Rango de un producto exterior

Si u y v son distintos de cero, entonces la matriz del producto externo uv^T siempre tiene rango de matriz 1. De hecho, las columnas del producto exterior son todas proporcionales a la primera columna. Por lo tanto, todos dependen linealmente de esa columna, por lo que la matriz es de rango uno.

("Rango de matriz" no debe confundirse con "orden de tensor" o "grado de tensor", que a veces se denomina "rango& #34;.)

Definición (resumen)

Vamos $V$ y $W$ ser dos espacios vectoriales. El producto exterior ${displaystyle mathbf {v} in V}$ y ${displaystyle mathbf {w} in W}$ es el elemento ${displaystyle mathbf {v} otimes mathbf {w} in Votimes W}$ .

Si $V$ es un espacio interior de producto, entonces es posible definir el producto externo como un mapa lineal $V \to W$ . En cuyo caso, el mapa lineal ${displaystyle mathbf {x} mapsto langle mathbf {v}mathbf {x} rangle }$ es un elemento del espacio dual $V$ . El producto exterior $V \to W$ es entonces dado por

{displaystyle (mathbf {w} otimes mathbf {v})(mathbf {x})=leftlangle mathbf {v}mathbf {x} rightrangle mathbf {w} }

Esto muestra por qué se suele tomar una transpuesta conjugada de $v$ en el caso complejo.

En lenguajes de programación

En algunos lenguajes de programación, dada una función de dos argumentos f (o un operador binario), el producto externo de f y dos matrices unidimensionales A y B es un arreglo bidimensional C tal que C[i, j] = f(A[i], B[j ]). Esto se representa sintácticamente de varias maneras: en APL, como el operador binario infijo ∘.f; en J, como el sufijo adverbio f/; en R, como la función outer(A, B, f) o el especial %o%; en Mathematica, como Exterior[f, A, B]. En MATLAB, la función kron(A, B) se utiliza para este producto. Estos a menudo se generalizan a argumentos multidimensionales y más de dos argumentos.

En la biblioteca de Python NumPy, el producto externo se puede calcular con la función np.outer(). Por el contrario, np.kron da como resultado una matriz plana. El producto externo de matrices multidimensionales se puede calcular usando np.multiply.outer.

Aplicaciones

Como el producto externo está estrechamente relacionado con el producto Kronecker, algunas de las aplicaciones del producto Kronecker utilizan productos externos. Estas aplicaciones se encuentran en la teoría cuántica, el procesamiento de señales y la compresión de imágenes.

Espinores

Suponga que $s, t, w, z \in C$ de modo que $(s, t)$ y $(w, z)$ están en $C 2 . Entonces, el producto externo de estos 2 vectores complejos es un elemento de M(2, C), las matrices complejas de 2 \times 2:$

{displaystyle {begin{pmatrix}sw&tw\sz&tzend{pmatrix}}.}

swtz - Sztw = 0

En la teoría de espinores en tres dimensiones, estas matrices se asocian con vectores isotrópicos debido a esta propiedad nula. Élie Cartan describió esta construcción en 1937, pero fue introducida por Wolfgang Pauli en 1927, por lo que M(2, C) pasó a llamarse álgebra de Pauli.

Conceptos

La forma de bloque de productos externos es útil en la clasificación. El análisis de conceptos es un estudio que depende de ciertos productos externos:

Cuando un vector tiene sólo ceros y unos como entradas, se llama un vector lógico, un caso especial de una matriz lógica. La operación lógica y toma el lugar de la multiplicación. El producto exterior de dos vectores lógicos $() u i)$ y $() v j)$ es dado por la matriz lógica ${displaystyle left(a_{ij}right)=left(u_{i}land v_{j}right)}$ . Este tipo de matriz se utiliza en el estudio de las relaciones binarias, y se llama una relación rectangular o una cross-vector.

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