Producto Euler

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En teoría de números, un producto de Euler es una expansión de una serie de Dirichlet en un producto infinito indexado por números primos. El producto original se obtuvo para la suma de todos los números enteros positivos elevados a una determinada potencia, como lo demostró Leonhard Euler. Esta serie y su continuación en todo el plano complejo se conocería más tarde como función zeta de Riemann.

Definición

En general, si $a$ es una función multiplicativa acotada, entonces la serie de Dirichlet

{displaystyle sum _{n}{frac {a(n)}{n^{s}}},}

es igual a

1.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">∏ ∏ pP()p,s)paraRe⁡ ⁡ ()s)■1.{displaystyle prod _{p}p}P(p,s)quad {text{for }operatorname {Re} (s) conviene1.}1.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a43a678ff1680196811f6cd2b77ea80fe7618ee" style="vertical-align: -3.171ex; width:26.832ex; height:5.676ex;"/>

Did you mean:

where the product is taken over prime numbers p, and P(p, s) is the sum

{displaystyle sum _{k=0}^{infty }{frac {a(p^{k})}{p^{ks}}}=1+{frac {a(p)}{p^{s}}}+{frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+{frac {a(p^{3})}{p^{3s}}}+cdots }

De hecho, si las consideramos funciones generadoras formales, la existencia de dicha expansión formal del producto de Euler es una condición necesaria y suficiente para que $a (n)$ sea multiplicativo: esto dice exactamente que $a (n)$ es el producto de $a (p k)$ siempre que $n$ factores como producto de las potencias $p k$ de números primos distintos $p$ .

Un caso especial importante es aquel en el que $a (n)$ es totalmente multiplicativo, de modo que $P (p, s)$ es una serie geométrica. Entonces

{displaystyle P(p,s)={frac {1}{1-{frac {a(p)}{p^{s}}}}},}

como es el caso de la función zeta de Riemann, donde $a (n) = 1$ , y de manera más general para los personajes de Dirichlet.

Convergencia

En la práctica, todos los casos importantes son tales que las series infinitas y las expansiones infinitas de productos son absolutamente convergentes en alguna región.

C,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Re⁡ ⁡ ()s)■C,{displaystyle operatorname {Re} (s) {C}C,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28a52d220482819e765151c2d16a0bec7c99684" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.154ex; height:2.843ex;"/>

es decir, en algún semiplano derecho de los números complejos. Esto ya da cierta información, ya que el producto infinito, para converger, debe dar un valor distinto de cero; por tanto, la función dada por la serie infinita no es cero en dicho semiplano.

En la teoría de formas modulares es típico tener aquí productos de Euler con polinomios cuadráticos en el denominador. La filosofía general de Langlands incluye una explicación comparable de la conexión de polinomios de grado $m$ y la teoría de la representación de $GL m$ .

Ejemplos

Los siguientes ejemplos utilizarán la notación $mathbb {P}$ para el conjunto de todos los primos, es decir:

{displaystyle mathbb {P} ={pin mathbb {N} ,|,p{text{ is prime}}}.}

Did you mean:

The Euler product attached to the Riemann zeta function ζ(s), also using the sum of the geometric series, is

{displaystyle {begin{aligned}prod _{p,in ,mathbb {P} }left({frac {1}{1-{frac {1}{p^{s}}}}}right)&=prod _{p in mathbb {P} }left(sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{p^{ks}}}right)\&=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}=zeta (s).end{aligned}}}

Did you mean:

while for the Liouville function λ(n) = (−1)^ω(n), it is

{displaystyle prod _{p,in ,mathbb {P} }left({frac {1}{1+{frac {1}{p^{s}}}}}right)=sum _{n=1}^{infty }{frac {lambda (n)}{n^{s}}}={frac {zeta (2s)}{zeta (s)}}.}

Usando sus recíprocos, dos productos de Euler para la función de Möbius $μ (n)$ son

{displaystyle prod _{p,in ,mathbb {P} }left(1-{frac {1}{p^{s}}}right)=sum _{n=1}^{infty }{frac {mu (n)}{n^{s}}}={frac {1}{zeta (s)}}}

{displaystyle prod _{p,in ,mathbb {P} }left(1+{frac {1}{p^{s}}}right)=sum _{n=1}^{infty }{frac {|mu (n)|}{n^{s}}}={frac {zeta (s)}{zeta (2s)}}.}

Tomando la proporción de estos dos da

{displaystyle prod _{p,in ,mathbb {P} }left({frac {1+{frac {1}{p^{s}}}}{1-{frac {1}{p^{s}}}}}right)=prod _{p,in ,mathbb {P} }left({frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}right)={frac {zeta (s)^{2}}{zeta (2s)}}.}

Ya que para valores pares de $s$ la función zeta de Riemann $ζ (s)$ tiene una expresión analítica en términos de un múltiplo racional de $π s$ , entonces, para exponentes pares, este producto infinito se evalúa como un número racional. Por ejemplo, dado que $ζ (2) = π 2 / 6$ , $ζ (4) = π 4 / 90$ , y $ζ (8) = π 8 / 9450$ , entonces

{displaystyle {begin{aligned}prod _{p,in ,mathbb {P} }left({frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}right)&={frac {5}{3}}cdot {frac {10}{8}}cdot {frac {26}{24}}cdot {frac {50}{48}}cdot {frac {122}{120}}cdots &={frac {zeta (2)^{2}}{zeta (4)}}&={frac {5}{2}},\[6pt]prod _{p,in ,mathbb {P} }left({frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}right)&={frac {17}{15}}cdot {frac {82}{80}}cdot {frac {626}{624}}cdot {frac {2402}{2400}}cdots &={frac {zeta (4)^{2}}{zeta (8)}}&={frac {7}{6}},end{aligned}}}

Y así sucesivamente, hasta que Ramanujan conoció el primer resultado. Esta familia de productos infinitos también es equivalente a

{displaystyle prod _{p,in ,mathbb {P} }left(1+{frac {2}{p^{s}}}+{frac {2}{p^{2s}}}+cdots right)=sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{omega (n)}}{n^{s}}}={frac {zeta (s)^{2}}{zeta (2s)}},}

donde $ω (n)$ cuenta el número de factores primos distintos de $n$ y $2 ω (n)$ es el número de divisores libres de cuadrados.

Si $χ (n)$ es un personaje de Dirichlet del director $N$ , de modo que $χ$ es totalmente multiplicativo y $χ (n)$ solo depende de $n mod N$ y $χ (n) = 0$ si $n$ no es coprimo con $N$ , entonces

{displaystyle prod _{p,in ,mathbb {P} }{frac {1}{1-{frac {chi (p)}{p^{s}}}}}=sum _{n=1}^{infty }{frac {chi (n)}{n^{s}}}.}

Aquí conviene omitir los números primos $p$ que dividen al conductor $N$ del producto. En sus cuadernos, Ramanujan generalizó el producto de Euler para la función zeta como

{displaystyle prod _{p,in ,mathbb {P} }left(x-{frac {1}{p^{s}}}right)approx {frac {1}{operatorname {Li} _{s}(x)}}}

para $s > 1$ donde $Li s (x)$ es el polilogaritmo. Para $x = 1$ el producto anterior es simplemente $1 / ζ (s)$ .

Constantes notables

Muchas constantes conocidas tienen expansiones de productos de Euler.

La fórmula de Leibniz para π

{displaystyle {frac {pi }{4}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{frac {1}{3}}+{frac {1}{5}}-{frac {1}{7}}+cdots }

puede interpretarse como una serie de Dirichlet utilizando el (único) carácter de Dirichlet módulo 4 y convertirse en un producto de Euler de proporciones superparticulares (fracciones donde el numerador y el denominador difieren en 1):