Producto directo

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Generalización del producto cartesiano

En matemáticas, a menudo se puede definir un producto directo de objetos ya conocidos, dando uno nuevo. Esto generaliza el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes, junto con una estructura adecuadamente definida sobre el conjunto producto. De manera más abstracta, se habla del producto en la teoría de categorías, que formaliza estas nociones.

Los ejemplos son el producto de conjuntos, grupos (descritos a continuación), anillos y otras estructuras algebraicas. El producto de espacios topológicos es otro ejemplo.

También existe la suma directa: en algunas áreas se usa indistintamente, mientras que en otras es un concepto diferente.

Ejemplos

Si pensamos en $mathbb {R}$ como el conjunto de números reales, entonces el producto directo ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ es sólo el producto cartesiano ${displaystyle {(x,y):x,yin mathbb {R} }.}$
Si pensamos en $mathbb {R}$ como el grupo de números reales bajo adición, luego el producto directo ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ todavía ${displaystyle {(x,y):x,yin mathbb {R} }}$ como su conjunto subyacente. La diferencia entre este y el ejemplo anterior es que ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ es ahora un grupo, y por lo tanto tenemos que decir también cómo añadir sus elementos. Esto se hace definiendo ${displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$
Si pensamos en $mathbb {R}$ como el anillo de números reales, entonces el producto directo ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ de nuevo ${displaystyle {(x,y):x,yin mathbb {R} }}$ como su conjunto subyacente. La estructura del anillo consiste en la adición definida por $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ y multiplicación definida por ${displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd).}$
Aunque el anillo $mathbb {R}$ es un campo, ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ no es uno, porque el elemento $(1,0)$ no tiene un inverso multiplicativo.

De manera similar, podemos hablar del producto directo de muchas estructuras algebraicas finitamente, por ejemplo, ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R}.}$ Esto se basa en el hecho de que el producto directo es asociativo hasta el isomorfismo. Eso es, ${displaystyle (Atimes B)times Ccong Atimes (Btimes C)}$ para cualquier estructura algebraica $A,$ $B,$ y $C$ del mismo tipo. El producto directo también es conmutativo hasta el isomorfismo, es decir, ${displaystyle Atimes Bcong Btimes A}$ para cualquier estructura algebraica $A$ y $B$ del mismo tipo. Incluso podemos hablar del producto directo de infinitamente muchas estructuras algebraicas; por ejemplo podemos tomar el producto directo de muchas copias de ${displaystyle mathbb {R}}$ que escribimos como ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R} times dotsb.}$

Producto directo de grupo

En la teoría de grupo uno puede definir el producto directo de dos grupos ${displaystyle (G,circ)}$ y ${displaystyle (H,cdot),}$ denotado por ${displaystyle Gtimes H.}$ Para los grupos abelianos que se escriben aditivamente, también se puede llamar la suma directa de dos grupos, denotado por ${displaystyle Goplus H.}$

Se define de la siguiente manera:

el conjunto de los elementos del nuevo grupo es el Producto cartesiano de los conjuntos de elementos ${displaystyle G{text{ and }}H,}$ eso es ${displaystyle {(g,h):gin G,hin H};}$
sobre estos elementos puso una operación, elemento-sabio definido: ${displaystyle (g,h)times left(g',h'right)=left(gcirc g',hcdot h'right)}$

Note que ${displaystyle (G,circ)}$ puede ser el mismo ${displaystyle (H,cdot).}$

Esta construcción da un nuevo grupo. Tiene un subgrupo normal isomorfo a $G$ (de los elementos de la forma ${displaystyle (g,1)}$ ), y un isomorfo a $H$ (combinando los elementos ${displaystyle (1,h)}$ ).

El reverso también sostiene. Hay el siguiente teorema de reconocimiento: Si un grupo $K$ contiene dos subgrupos normales ${displaystyle G{text{ and }}H,}$ tales que ${displaystyle K=GH}$ y la intersección ${displaystyle G{text{ and }}H}$ contiene sólo la identidad, entonces $K$ es isomorfo a ${displaystyle Gtimes H.}$ Una relajación de estas condiciones, que requiere sólo un subgrupo para ser normal, da el producto semidirecto.

Como ejemplo, tome como ${displaystyle G{text{ and }}H}$ dos copias del grupo único (hasta isomorfismos) del orden 2, ${displaystyle C^{2}:}$ Di: ${displaystyle {1,a}{text{ and }}{1,b}.}$ Entonces... ${displaystyle C_{2}times C_{2}={(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)},}$ con el elemento de operación por elemento. Por ejemplo, ${displaystyle (1,b)^{*}(a,1)=left(1^{*}a,b^{*}1right)=(a,b),}$ y ${displaystyle (1,b)^{*}(1,b)=left(1,b^{2}right)=(1,1).}$

Con un producto directo, obtenemos algunos homomorfismos de grupos naturales de forma gratuita: los mapas de proyección definidos por

{displaystyle {begin{aligned}pi _{1}:Gtimes Hto G, pi _{1}(g,h)&=g\pi _{2}:Gtimes Hto H, pi _{2}(g,h)&=hend{aligned}}}

funciones de coordinación

Además, cada homomorfismo $f$ al producto directo está totalmente determinado por sus funciones componentes ${displaystyle f_{i}=pi _{i}circ f.}$

Para cualquier grupo ${displaystyle (G,circ)}$ y cualquier entero ${displaystyle ngeq 0,}$ aplicación repetida del producto directo da al grupo de todos $n$ -tuples $G^{n}$ (por ${displaystyle n=0,}$ este es el grupo trivial), por ejemplo $mathbb{Z } ^{n}$ y $mathbb{R} ^{n}.$

Producto directo de módulos

El producto directo para los módulos (no confundir con el producto tensor) es muy similar al definido para los grupos anteriores, utilizando el producto cartesiano con la operación de adición siendo componente, y la multiplicación del escalar sólo distribuyó sobre todos los componentes. Empezando desde $mathbb {R}$ Conseguimos espacio Euclideano ${displaystyle mathbb {R} ^{n},}$ el ejemplo prototípico de un real $n$ - espacio vectorial dimensional. El producto directo $mathbb{R} ^{m}$ y $mathbb {R} ^{n}$ es ${displaystyle mathbb {R} ^{m+n}.}$

Tenga en cuenta que un producto directo para un índice finito ${textstyle prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ es canónicamente isomorfo a la suma directa ${textstyle bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$ La suma directa y el producto directo no son isomorfos para índices infinitos, donde los elementos de una suma directa son cero para todos, sino para un número finito de entradas. Son duales en el sentido de la teoría de la categoría: la suma directa es el coproducto, mientras que el producto directo es el producto.

Por ejemplo, considere ${textstyle X=prod _{i=1}^{infty }mathbb {R} }$ y ${textstyle Y=bigoplus _{i=1}^{infty }mathbb {R}}$ el producto directo infinito y la suma directa de los números reales. Sólo secuencias con un número finito de elementos no cero están en $Y.$ Por ejemplo, ${displaystyle (1,0,0,0,ldots)}$ está dentro $Y$ pero ${displaystyle (1,1,1,1,ldots)}$ No lo es. Ambas secuencias están en el producto directo ${displaystyle X;}$ de hecho, $Y$ es un subconjunto adecuado $X$ (es decir, ${displaystyle Ysubset X}$ ).

Producto directo del espacio topológico

El producto directo para una colección de espacios topológicos $X_{i}$ para $i$ dentro $I,$ algunos índices, una vez más hace uso del producto cartesiano

{displaystyle prod _{iin I}X_{i}.}

Definir la topología es un poco complicado. Para un número finito de factores, esto es lo más obvio y natural: simplemente tomar como base los conjuntos abiertos que son la colección de todos los productos cartesianos de subconjuntos abiertos de cada factor:

{displaystyle {mathcal {B}}=left{U_{1}times cdots times U_{n}: U_{i} mathrm {open in} X_{i}right}.}

Esta topología se llama la topología del producto. Por ejemplo, definir directamente la topología del producto en $R^2$ por los conjuntos abiertos $mathbb {R}$ (sindicatos de intervalos abiertos), la base de esta topología consistía en todos los sindicatos descomunados de rectángulos abiertos en el plano (como resulta, coincide con la topología métrica habitual).

La topología de producto para productos infinitos tiene un giro, y esto tiene que ver con poder hacer que todos los mapas de proyección sean continuos y hacer que todas las funciones en el producto sean continuas si y solo si todas sus funciones componentes son continuas (es decir, para satisfacer la definición categórica de producto: los morfismos aquí son funciones continuas): tomamos como base de conjuntos abiertos la colección de todos los productos cartesianos de subconjuntos abiertos de cada factor, como antes, con la condición de que todos menos finitamente muchos de los subconjuntos abiertos son el factor completo:

{displaystyle {mathcal {B}}=left{prod _{iin I}U_{i}: (exists j_{1},ldotsj_{n})(U_{j_{i}} mathrm {open in} X_{j_{i}}) mathrm {and} (forall ineq j_{1},ldotsj_{n})(U_{i}=X_{i})right}.}

La topología que suena más natural sería, en este caso, tomar productos de infinitos subconjuntos abiertos como antes, y esto produce una topología un tanto interesante, la topología de caja. Sin embargo, no es demasiado difícil encontrar un ejemplo de un grupo de funciones de componentes continuas cuya función de producto no sea continua (consulte la topología del cuadro de entrada separada para ver un ejemplo y más). El problema que hace que el giro sea necesario radica en última instancia en el hecho de que la intersección de conjuntos abiertos solo está garantizada para estar abierta para un número finito de conjuntos en la definición de topología.

Los productos (con la topología del producto) son agradables con respecto a la preservación de las propiedades de sus factores; por ejemplo, el producto de los espacios de Hausdorff es Hausdorff; el producto de espacios conectados es conexo, y el producto de espacios compactos es compacto. Ese último, llamado teorema de Tychonoff, es otra equivalencia al axioma de elección.

Para obtener más propiedades y formulaciones equivalentes, consulte la topología de producto de entrada separada.

Producto directo de relaciones binarias

Sobre el producto cartesiano de dos conjuntos con relaciones binarias ${displaystyle R{text{ and }}S,}$ definir ${displaystyle (a,b)T(c,d)}$ como ${displaystyle aRc{text{ and }}bSd.}$ Si ${displaystyle R{text{ and }}S}$ son tanto reflexivas, irreflexivas, transitivas, simétricas o antisimétricas, entonces $T$ será también. Análogamente, totalidad $T$ es heredado de ${displaystyle R{text{ and }}S.}$ Combinando propiedades se sigue que esto también se aplica para ser un preorden y ser una relación de equivalencia. Sin embargo si ${displaystyle R{text{ and }}S}$ son relaciones conectadas, $T$ no se debe conectar; por ejemplo, el producto directo ${displaystyle ,leq ,}$ on $mathbb {N}$ con sí mismo no se relaciona ${displaystyle (1,2){text{ and }}(2,1).}$

Producto directo en álgebra universal

Si $Sigma$ es una firma fija, $I$ es un conjunto de índice arbitrario (posiblemente infinito) y ${displaystyle left(mathbf {A} _{i}right)_{iin I}}$ es una familia indexada $Sigma$ álgebras, los producto directo ${textstyle mathbf {A} =prod _{iin I}mathbf {A} _{i}}$ es un $Sigma$ álgebra definida como sigue:

El conjunto del universo $A$ de $mathbf {A}$ es el producto cartesiano de los conjuntos del universo $A_{i}$ de ${displaystyle mathbf {A} _{i},}$ formalmente: ${textstyle A=prod _{iin I}A_{i}.}$
Para cada uno $n$ y cada uno $n$ - Símbolo de operación ${displaystyle fin Sigma}$ su interpretación ${displaystyle f^{mathbf {A} }}$ dentro $mathbf {A}$ se define en forma de componente, formalmente: para todos ${displaystyle a_{1},dotsca_{n}in A}$ y cada uno ${displaystyle iin I,}$ el $i$ t componente de ${displaystyle f^{mathbf {A} }!left(a_{1},dotsca_{n}right)}$ se define como ${displaystyle f^{mathbf {A} _{i}}!left(a_{1}(i),dotsca_{n}(i)right).}$

Para cada uno ${displaystyle iin I,}$ el $i$ t proyección ${displaystyle pi _{i}:Ato A_{i}}$ se define por ${displaystyle pi _{i}(a)=a(i).}$ Es un homomorfismo subjetivo $Sigma$ álgebras ${displaystyle mathbf {A} {text{ and }}mathbf {A} _{i}.}$

Como caso especial, si el índice establece ${displaystyle I={1,2},}$ el producto directo de dos $Sigma$ álgebras ${displaystyle mathbf {A} _{1}{text{ and }}mathbf {A} _{2}}$ se obtiene, escrito como ${displaystyle mathbf {A} =mathbf {A} _{1}times mathbf {A} _{2}.}$ Si $Sigma$ sólo contiene una operación binaria $f,$ la definición anterior del producto directo de los grupos se obtiene utilizando la notación ${displaystyle A_{1}=G,A_{2}=H,}$ ${displaystyle f^{A_{1}}=circ f^{A_{2}}=cdot {text{ and }}f^{A}=times.}$ Asimismo, la definición del producto directo de los módulos se resume aquí.

Producto categórico

El producto directo puede ser abstraído a una categoría arbitraria. En una categoría, dada una colección de objetos $(A_i)_{i in I}$ indexado por un conjunto $I$ , a producto de estos objetos es un objeto $A$ junto con morfismos ${displaystyle p_{i}colon Ato A_{i}}$ para todos $iin I$ , tal si $B$ es cualquier otro objeto con morfismos ${displaystyle f_{i}colon Bto A_{i}}$ para todos $iin I$ , existe un morfismo único $Bto A$ cuya composición $p_{i}$ iguales $f_{i}$ para todos $i$ . Tal $A$ y ${displaystyle (p_{i})_{iin I}}$ no siempre existen. Si existen, entonces ${displaystyle (A,(p_{i})_{iin I})}$ es único hasta el isomorfismo, y $A$ es denotado $prod_{i in I} A_i$ .

En el caso especial de la categoría de grupos, siempre existe un producto: el conjunto subyacente $prod_{i in I} A_i$ es el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes de los $A_{i}$ , la operación del grupo es multiplicación por componente, y el (homo) morfismo ${displaystyle p_{i}colon Ato A_{i}}$ es la proyección que envía cada tuple a su $i$ Coordenada.

Producto directo interno y externo

Algunos autores distinguen entre una producto directo interno y un producto directo externo. Si $A, B subseteq X$ y ${displaystyle Atimes Bcong X,}$ entonces decimos que $X$ es un interna producto directo ${displaystyle A{text{ and }}B,}$ mientras ${displaystyle A{text{ and }}B}$ no son subobjetos entonces decimos que esto es un externo producto directo.

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