Producto de subconjuntos de grupos

En matemáticas, se puede definir un producto de subconjuntos de grupos de forma natural. Si S y T son subconjuntos de un grupo G, entonces su producto es el subconjunto de G definido por

ST={}st:s▪ ▪ Syt▪ ▪ T}.{displaystyle ST={st:sin S{text{ and }tin T}

Los subconjuntos S y T no necesitan ser subgrupos para que este producto esté bien definido. La asociatividad de este producto se deriva de la del producto del grupo. Por lo tanto, el producto de subconjuntos de grupos define una estructura monoide natural en el conjunto potencia de G.

Se puede decir mucho más en el caso de que S y T sean subgrupos. El producto de dos subgrupos S y T de un grupo G es en sí mismo un subgrupo de G si y solo si ST = TS.

Producto de subgrupos

Si S y T son subgrupos de G, su producto no necesita ser un subgrupo (por ejemplo, dos subgrupos distintos de orden 2 en el grupo simétrico por 3 símbolos). Este producto a veces se denomina producto Frobenius. En general, el producto de dos subgrupos S y T es un subgrupo si y solo si ST = TS, y se dice que los dos subgrupos se permutan. (Walter Ledermann ha llamado a este hecho el Teorema del producto, pero este nombre, al igual que el "producto de Frobenius", no es de ninguna manera estándar). En este caso, ST es el grupo generado por S y T; es decir, ST = TS = ⟨S ∪ T⟩.

Si S o T son normales, entonces se cumple la condición ST = TS y el producto es un subgrupo Si tanto S como T son normales, entonces el producto también es normal.

Si S y T son subgrupos finitos de un grupo G, entonces ST es un subconjunto de G de tamaño |ST| dada por la fórmula del producto:

SilencioSTSilencio=SilencioSSilencioSilencioTSilencioSilencioS∩ ∩ TSilencio{fnMicrosoft Sans Serif} Oh, Dios mío.

Tenga en cuenta que esto se aplica incluso si ni S ni T son normales.

Derecho modular

La siguiente ley modular (para grupos) se cumple para cualquier Q un subgrupo de S, donde T es cualquier otro subgrupo arbitrario (y tanto S como T son subgrupos de algún grupo G):

Q()S ∩ T) S ∩QT).

Los dos productos que aparecen en esta igualdad no son necesariamente subgrupos.

Si QT es un subgrupo (equivalentemente, como se indicó anteriormente, si Q y T se permutan), entonces QT = ⟨Q ∪ T⟩ = Q ∨ T; es decir, QT es la unión de Q y T en la red de subgrupos de G, y la ley modular porque tal par también puede escribirse como Q ∨ (S ∩ T) = S ∩ (Q ∨ T), que es la ecuación que define una red modular si se cumple para tres elementos cualesquiera de la red con Q ≤ S. En particular, dado que los subgrupos normales se permutan entre sí, forman una subred modular.

Un grupo en el que todos los subgrupos se permutan se denomina grupo Iwasawa. La red de subgrupos de un grupo de Iwasawa es, por lo tanto, una red modular, por lo que estos grupos a veces se denominan grupos modulares (aunque este último término puede tener otros significados).

La suposición en la ley modular para grupos (como se formuló anteriormente) de que Q es un subgrupo de S es esencial. Si Q no es un subgrupo de S, entonces la propiedad distributiva tentativa y más general que se puede considerar S ∩ (QT) = (S ∩ Q)(S ∩ T) es falso.

Producto de subgrupos con intersección trivial

En particular, si S y T se cruzan solo en la identidad, entonces cada elemento de ST tiene una expresión única como producto st con s en S y t en T. Si S y T también se desplazan, entonces ST es un grupo y se denomina producto Zappa-Szép. Aún más, si S o T es normal en ST, entonces ST coincide con el producto semidirecto de S y T. Finalmente, si tanto S como T son normales en ST, entonces ST coincide con el producto directo de S y T.

Si S y T son subgrupos cuya intersección es el subgrupo trivial (elemento de identidad) y adicionalmente ST = G, entonces S se llama complemento de T y viceversa.

Por un abuso de terminología (localmente inequívoco), dos subgrupos que se cruzan solo en la identidad (de otro modo obligatoria) a veces se denominan disjuntos.

Producto de subgrupos con intersección no trivial

Una pregunta que surge en el caso de una intersección no trivial entre un subgrupo normal N y un subgrupo K es cuál es la estructura del cociente NK/N. Aunque uno podría estar tentado a simplemente "cancelar" N y dice que la respuesta es K, eso no es correcto porque un homomorfismo con kernel N también "colapso" (asignar a 1) todos los elementos de K que están en N. Por lo tanto, la respuesta correcta es que NK/N es isomorfo con K/(N∩K). Este hecho a veces se denomina el segundo teorema del isomorfismo (aunque la numeración de estos teoremas presenta algunas variaciones entre los autores); también ha sido llamado teorema del diamante por I. Martin Isaacs debido a la forma de la red de subgrupos involucrada, y también ha sido llamado regla del paralelogramo por Paul Moritz Cohn, quien por lo tanto, se enfatizó la analogía con la regla del paralelogramo para vectores porque en la red de subgrupos resultante, se supone que los dos lados representan los grupos cocientes (SN) / N y S / (S ∩ N) son "iguales" en el sentido de isomorfismo.

El argumento de Frattini garantiza la existencia de un producto de subgrupos (que da lugar al grupo completo) en un caso donde la intersección no es necesariamente trivial (y por esta última razón los dos subgrupos no son complementos). Más específicamente, si G es un grupo finito con un subgrupo normal N, y si P es un p-subgrupo de Sylow de N, luego G = N_G(P) N, donde N_G(P) denota el normalizador de P en G. (Tenga en cuenta que el normalizador de P incluye P, por lo que la intersección entre N y N_G(P) es al menos P.)

Generalización a semigrupos

En un semigrupo S, el producto de dos subconjuntos define una estructura de un semigrupo en P(S), el conjunto potencia del semigrupo S; además P(S) es un semicírculo con la suma como unión (de subconjuntos) y la multiplicación como producto de subconjuntos.