Producto de corona

En la teoría de grupos, el producto de la corona es una combinación especial de dos grupos basada en el producto semidirecto. Está formado por la acción de un grupo sobre muchas copias de otro grupo, algo análogo a la exponenciación. Los productos de corona se utilizan en la clasificación de grupos de permutación y también proporcionan una forma de construir ejemplos interesantes de grupos.

Dados dos grupos A{displaystyle A} y H{displaystyle H. (a veces conocido como el inferior y arriba), existen dos variaciones del producto de la corona: el producto de corona sin restricciones AWrH{displaystyle A{text{}H}H} y el producto de corona restringida AwrH{displaystyle ¿Qué?. La forma general, denotada por AWrΩ Ω H{displaystyle ¿Qué? Omega o AwrΩ Ω H{displaystyle ¿Qué? respectivamente, requiere que H{displaystyle H. actos en algunos conjuntos Ω Ω {displaystyle Omega }; cuando no se especifica, generalmente Ω Ω =H{displaystyle Omega =H} a producto de corona normal), aunque diferente Ω Ω {displaystyle Omega } a veces es implícito. Las dos variaciones coinciden cuando A{displaystyle A}, H{displaystyle H., y Ω Ω {displaystyle Omega } Todos son finitos. Cualquier variación también se denota como A≀ ≀ H{displaystyle Awr H} (con wr para el símbolo LaTeX) o A≀H (Unicode U+2240).

La noción se generaliza a semigrupos y es una construcción central en la teoría estructural de Krohn-Rhodes de semigrupos finitos.

Definición

Vamos A{displaystyle A} ser un grupo y dejar H{displaystyle H. ser un grupo actuando en un conjunto Ω Ω {displaystyle Omega } (a la izquierda). El producto directo AΩ Ω {displaystyle A^{Omega } de A{displaystyle A} con sí mismo indexado por Ω Ω {displaystyle Omega } es el conjunto de secuencias ā ̄ =()a⋅ ⋅ )⋅ ⋅ ▪ ▪ Ω Ω {displaystyle {overline {a}=(a_{omega })_{omega in Omega }} dentro A{displaystyle A} indexado por Ω Ω {displaystyle Omega }, con una operación de grupo dada por la multiplicación de punta. La acción de H{displaystyle H. on Ω Ω {displaystyle Omega } se puede ampliar a una acción sobre AΩ Ω {displaystyle A^{Omega } por reindexing, a saber, definiendo

h⋅ ⋅ ()a⋅ ⋅ )⋅ ⋅ ▪ ▪ Ω Ω :=()ah− − 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ )⋅ ⋅ ▪ ▪ Ω Ω {displaystyle hcdot (a_{omega })_{omega in Omega }:=(a_{h^{-1}cdot omega })_{omega in Omega }

para todos h▪ ▪ H{displaystyle hin H} y todos ()a⋅ ⋅ )⋅ ⋅ ▪ ▪ Ω Ω ▪ ▪ AΩ Ω {displaystyle (a_{omega })_{omega in Omega }in A^{Omega }}.

Entonces el producto de corona sin restricciones AWrΩ Ω H{displaystyle ¿Qué? Omega de A{displaystyle A} por H{displaystyle H. es el producto semidirecto AΩ Ω ⋊ ⋊ H{displaystyle A^{Omega }rtimes H} con la acción de H{displaystyle H. on AΩ Ω {displaystyle A^{Omega } dado arriba. El subgrupo AΩ Ω {displaystyle A^{Omega } de AΩ Ω ⋊ ⋊ H{displaystyle A^{Omega }rtimes H} se llama base del producto de la corona.

El producto de corona restringida AwrΩ Ω H{displaystyle ¿Qué? se construye de la misma manera que el producto de la corona sin restricciones excepto que se utiliza la suma directa como la base del producto de la corona. En este caso, la base consta de todas las secuencias en A{displaystyle A} con entradas de no identidad finitas.

En el caso más común, Ω Ω =H{displaystyle Omega =H}, y H{displaystyle H. actúa sobre sí mismo por multiplicación izquierda. En este caso, el producto de la corona no restringido y restringido puede ser denotado por AWrH{displaystyle A{text{}H}H} y AwrH{displaystyle ¿Qué? respectivamente. Esto se llama ordinario producto de corona.

Notación y convenciones

La estructura del producto corona de A por H depende del conjunto H Ω y en caso de que Ω sea infinito también depende dependiendo de si uno usa el producto de corona restringido o no restringido. Sin embargo, en la literatura la notación utilizada puede ser deficiente y es necesario prestar atención a las circunstancias.

• En literatura A≀_ΩH puede soportar el producto de la corona sin restricciones AWr_ΩH o el producto de la corona restringida Awr_ΩH.
• Análogamente, A≀H puede soportar el producto de corona regular sin restricciones AWrH o el producto de la corona regular restringida AwrH.
• En la literatura H-set Ω puede ser omitido de la notación incluso si ΩH.
• En el caso especial H=S_n es el grupo simétrico de grado n es común en la literatura asumir que Ω = {1,...n} (con la acción natural de S_n) y luego omitir Ω de la notación. Eso es, A≀S_n comúnmente denota A≀_{1,...n}S_n en lugar del producto de la corona regular A≀_SnS_n. En el primer caso el grupo base es el producto de n copias de A, en este último es el producto de n! copias deA.

Propiedades

Concordancia de productos de guirnalda restringidos y no restringidos en Ω finito

Dado que el producto directo finito es lo mismo que la suma directa finita de grupos, se deduce que A Wr_Ω H y el producto corona restringido A wr_Ω H está de acuerdo si el conjunto H Ω es finito. En particular, esto es cierto cuando Ω = H es finito.

Subgrupo

A wr_Ω H siempre es un subgrupo de A Wr_Ω H.

Cardinalidad

Si A, H y Ω son finitos, entonces

SilencioA≀_ΩHSilencioASilencio^ΩSilencioHSilencio.

Teorema de incrustación universal

Teorema de incrustación universal: si G es una extensión de A por H, entonces existe un subgrupo del producto corona sin restricciones A≀H que es isomorfo a G. Esto también se conoce como el teorema de incrustación de Krasner-Kaloujnine. El teorema de Krohn-Rhodes involucra lo que es básicamente el equivalente de semigrupo de esto.

Acciones canónicas de productos de guirnaldas

Si el grupo A actúa sobre un conjunto Λ entonces hay dos formas canónicas de construir conjuntos a partir de Ω y Λ sobre los cuales A Wr_Ω H (y por lo tanto también A wr_Ω H) puede actuar.

• El imprimitive wreath product action on ⋅ × Ω.

  Si ()a_⋅),h) A Wr_Ω H y ()λ,⋅′) ¬, entonces

  ()()a⋅ ⋅ ),h)⋅ ⋅ ()λ λ ,⋅ ⋅ .):=()ah()⋅ ⋅ .)λ λ ,h⋅ ⋅ .).{displaystyle (a_{omega }),h)cdot (lambdaomega '):=(a_{h(omega ')}lambdahomega ').}

• El primitivo acción del producto de la corona^Ω.

  Un elemento en ≥^Ω es una secuencia (λ_⋅) indexado por el H-set Ω. ()a_⋅), h) A Wr_Ω H su funcionamiento en (λ_⋅) Alternativa^Ω es dado por

  ()()a⋅ ⋅ ),h)⋅ ⋅ ()λ λ ⋅ ⋅ ):=()ah− − 1⋅ ⋅ λ λ h− − 1⋅ ⋅ ).{displaystyle ((a_{omega }),h)cdot (lambda _{omega }):=(a_{h^{-1}omega }lambda _{h^{-1}omega }}}

Ejemplos

• El grupo Lamplighter es el producto restringido de la corona Z₂≀Z.
• Z_m≀S_n (Grupo simétrico generalizado).

La base de este producto de la corona es la n- producto directo múltiple

Z_mⁿ = Z_m × Z_m

of copies of Z_m donde la acción φ:S_n → Aut(Z_mⁿ) del grupo simétrico S_n grado n es dado por

φ()σ)₁,... α_n) ()α_σ1),... α_σ()n)).

• S₂≀S_n (Grupo Hyperoctahedral).

La acción de S_n en {1,...nEs como arriba. Desde el grupo simétrico S₂ de grado 2 es isomorfo a Z₂ el grupo hiperoctaedral es un caso especial de un grupo simétrico generalizado.

• El producto más pequeño de la corona no-trivial es Z₂≀Z₂, que es el caso bidimensional del grupo hiperoctaedral anterior. Es el grupo de simetría de la plaza, también llamado Dih₄, el grupo dihedral del orden 8.
• Vamos p ser un primo y dejar n≥1. P ser un subgrupo de Sylow del grupo simétrico S_pⁿ. Entonces... P es isomorfo para el producto de corona regular iterado W_n = Z_p ≀ Z_p≀_p de n copias de Z_p. Aquí. W₁:= Z_p y W_k:= W_k−1≀Z_p para todos k≥ 2. Por ejemplo, el subgrupo Sylow 2 de S₄ es el Z anterior₂≀Z₂ grupo.

• El grupo Cube de Rubik es un subgrupo del índice 12 en el producto de los productos de la corona, (Z)₃≀S₈) × (Z₂≀S₁₂), los factores correspondientes a las simetrías de las 8 esquinas y 12 bordes.

• El grupo Sudoku validación preservando transformaciones (VPT) contiene el producto de doble corona (S₃ ≀ S₃≀ S₂, donde los factores son la permutación de filas / columnas dentro de un 3-row o 3-column banda o pila ()S₃), la permutación de las bandas/stacks ellos mismos (S₃) y la transposición, que intercambia las bandas y las pilas (S₂). Aquí, el índice establece Ω son el conjunto de bandas (resistentes pilas)Ωtención = 3) y el set {bands, stacks} (Ωtención = 2). En consecuencia,S₃ ≀ S₃SilencioS₃Silencio³SilencioS₃Silencio = (3!)⁴ y confidencialidadS₃ ≀ S₃≀ S₂SilencioS₃ ≀ S₃Silencio²SilencioS₂Silencio = (3!)⁸ × 2.
• Los productos de la corona surgen naturalmente en el grupo de simetría de árboles completamente arraigados y sus gráficos. Por ejemplo, el producto de corona repetida S₂ ≀ S₂ ≀ ... ≀ S₂ es el grupo automorfismo de un árbol binario completo.