Producto de anillos

En matemáticas, un producto de anillos o producto directo de anillos es un anillo formado por el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes de varios anillos (posiblemente un infinito), equipado con operaciones por componentes. Es un producto directo en la categoría de anillos.

Puesto que los productos directos se definen hasta un isomorfismo, uno dice coloquialmente que un anillo es el producto de algunos anillos si es isomorfo al producto directo de estos anillos. Por ejemplo, el teorema del resto chino puede ser declarado como: m y n son los enteros coprime, el anillo cociente Z/mnZ{displaystyle mathbb {Z} /mnmathbb {Z} es el producto de Z/mZ{displaystyle mathbb {Z} /mmathbb {Z} y Z/nZ.{displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z}

Ejemplos

Un ejemplo importante es Z/nZ, el anillo de los enteros módulo n. Si n se escribe como un producto de potencias primas (ver Teorema fundamental de la aritmética),

n=p1n1p2n2⋯ ⋯ pknk,{displaystyle #### ############ ################################################################################################################################################################################################################################################

donde p_i son primos distintos, entonces Z/nZ es naturalmente isomorfo al producto

Z/p1n1Z× × Z/p2n2Z× × ⋯ ⋯ × × Z/pknkZ.{displaystyle mathbf {Z} Oh, Dios mío. {Z} times mathbf {Z} /p_{2}{n_{2}mathbf {Z} times cdots times mathbf {Z} Oh, Dios mío. {Z}

Esto se deriva del teorema chino del resto.

Propiedades

Si R = Π_i∈I R _i es un producto de anillos, entonces por cada i en I tenemos tienen un homomorfismo de anillo sobreyectivo p_i: R → R_i que proyecta el producto en la coordenada i ésima. El producto R junto con las proyecciones p_i tiene la siguiente propiedad universal:

si S es cualquier anillo y f_i: S → R_i es un homomorfismo de anillo para cada i dentro I, entonces existe Precisamente uno anillo homomorfismo f: S → R tales que p_i∘f = f_i para todos i dentro I.

Esto muestra que el producto de anillos es una instancia de productos en el sentido de la teoría de categorías.

Cuando I es finito, el grupo aditivo subyacente de Π_i∈I R_i coincide con la suma directa de los grupos aditivos de la R_i. En este caso, algunos autores llaman R a la "suma directa de los anillos R_i&# 34; y escribe ⊕_i∈I R_i , pero esto es incorrecto desde el punto de vista de la teoría de categorías, ya que generalmente no es un coproducto en la categoría de anillos (con identidad): por ejemplo, cuando dos o más de las R_i no son triviales, el mapa de inclusión R_i → R falla en mapear 1 a 1 y por lo tanto no es un homomorfismo de anillos.

(Un coproducto finito en la categoría de álgebras conmutativas sobre un anillo conmutativo es un producto tensorial de álgebras. Un coproducto en la categoría de álgebras es un producto libre de álgebras).

Los productos directos son conmutativos y asociativos hasta el isomorfismo natural, lo que significa que no importa en qué orden se forme el producto directo.

Si A_i es un ideal de R_i para cada i en I, entonces A = Π_i∈I A_i es un ideal de R. Si I es finito, entonces lo contrario es cierto, es decir, todo ideal de R es de esta forma. Sin embargo, si I es infinito y los anillos R_i no son triviales, entonces lo contrario es falso: el conjunto de elementos con todos menos un número finito de coordenadas distintas de cero forma un ideal que no es un producto directo de los ideales de la R_i. El ideal A es un ideal primo en R si todos menos uno de los A_i son iguales a R_i y el resto A_i es un ideal primo en R_i . Sin embargo, lo contrario no es cierto cuando I es infinito. Por ejemplo, la suma directa de R_i forma un ideal que no está contenido en ninguno de tales A, pero el axioma de elección da que es contenido en algún ideal maximal que es a fortiori primo.

Un elemento x en R es una unidad si y solo si todos sus componentes son unidades, es decir, si y solo si p _i (x) es una unidad en R_i para cada yo en yo. El grupo de unidades de R es el producto de los grupos de unidades de R_i.

Un producto de dos o más anillos no triviales siempre tiene divisores de cero distintos de cero: si x es un elemento del producto cuyas coordenadas son todas cero excepto p<sub i (x) y y es un elemento del producto con todas las coordenadas cero excepto p_j (y) donde i ≠ j, entonces xy = 0 en el anillo del producto.