Producto cauchy

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Concepto en matemáticas

En las matemáticas, más específicamente en el análisis matemático, Cauchy product es la convolución discreta de dos series infinitas. Es nombrado por el matemático francés Augustin-Louis Cauchy.

Definiciones

El producto Cauchy puede aplicarse a series infinitas o series de potencias. Cuando la gente lo aplica a secuencias finitas o series finitas, puede verse simplemente como un caso particular de un producto de series con un número finito de coeficientes distintos de cero (ver convolución discreta).

Las cuestiones de convergencia se analizan en la siguiente sección.

Producto de Cauchy de dos series infinitas

Vamos. . . i=0JUEGO JUEGO ai{textstyle sum ¿Qué? }a_{i} y . . j=0JUEGO JUEGO bj{textstyle sum _{j=0}{infty }b_{j} ser dos series infinitas con términos complejos. El producto Cauchy de estas dos series infinitas es definido por una convolución discreta como sigue:

(). . i=0JUEGO JUEGO ai)⋅ ⋅ (). . j=0JUEGO JUEGO bj)=. . k=0JUEGO JUEGO ck{displaystyle left(sum ¿Por qué? }b_{j}right)=sum ¿Qué? }c_{k} Donde ck=. . l=0kalbk− − l{displaystyle C_{k}=sum ¿Qué?.

Producto de Cauchy de dos series de potencias

Considere las siguientes dos series de potencias

. . i=0JUEGO JUEGO aixi{displaystyle sum _{i=0}{infty }a_{i}x^{i} y . . j=0JUEGO JUEGO bjxj{displaystyle sum _{j=0} {infty}b_{j}x^{j}

con coeficientes complejos {}ai}{displaystyle {fn}} y {}bj}{displaystyle {}}. El producto Cauchy de estas dos series de potencia se define por una convolución discreta como sigue:

(). . i=0JUEGO JUEGO aixi)⋅ ⋅ (). . j=0JUEGO JUEGO bjxj)=. . k=0JUEGO JUEGO ckxk{displaystyle left(sum ¿Qué? }a_{i}x^{i}right)cdot left(sum _{j=0}^{infty }b_{j}x^{j}right)=sum ¿Qué? }c_{k}x^{k} Donde ck=. . l=0kalbk− − l{displaystyle C_{k}=sum ¿Qué?.

Convergencia y teorema de Mertens

Vamos. ()an)n≥0 y ()bn)n≥0 ser secuencias reales o complejas. Fue probado por Franz Mertens que, si la serie . . n=0JUEGO JUEGO an{textstyle sum _{n=0}{infty }a_{n} convergencias a A y . . n=0JUEGO JUEGO bn{textstyle sum _{n=0}{infty }b_{n} convergencias a B, y al menos uno de ellos converge absolutamente, entonces su producto Cauchy converge a AB. El teorema sigue siendo válido en un álgebra de Banach (ver primera línea de la siguiente prueba).

No es suficiente que ambas series sean convergentes; si ambas secuencias son condicionalmente convergentes, el producto de Cauchy no tiene por qué converger hacia el producto de las dos series, como muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Considere las dos series alternas con

an=bn=()− − 1)nn+1,{displaystyle a_{n}=b_{n}={frac {(-1)}{n}{sqrt {n+1}},}

que sólo son condicionalmente convergentes (la divergencia de la serie de valores absolutos se deriva de la prueba de comparación directa y la divergencia de la serie armónica). Los términos de su producto Cauchy están dados por

cn=. . k=0n()− − 1)kk+1⋅ ⋅ ()− − 1)n− − kn− − k+1=()− − 1)n. . k=0n1()k+1)()n− − k+1){displaystyle ¿Por qué? {k+1}cdot {fnMicroc {fnK}{sqrt {n-k+1}=(-1)^{n}sum _{k=0}{n}{n}{frac {1}{sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}}}} {fn-n-k=0}}

para cada número entero n ≥ 0. Ya que para cada k ∈ {0, 1,..., n} tenemos las desigualdades k + 1 ≤ n + 1 y n k + 1 ≤ n + 1, se deduce para la raíz cuadrada en el denominador que (k + 1)(nk + 1)n +1, por lo tanto, porque hay n + 1 comandos,

SilenciocnSilencio≥ ≥ . . k=0n1n+1=1{displaystyle Нов_ {fn}Principengeq sum _{k=0}{n}{frac {1}{n+1}=1}

para cada entero n ≥ 0. Por lo tanto, cn no converge a cero como n, por lo tanto la serie de ()cn)n≥0 se sumerge en la prueba de término.

Prueba del teorema de Mertens

Para simplificar, lo demostraremos para números complejos. Sin embargo, la demostración que estamos a punto de dar es formalmente idéntica para un álgebra de Banach arbitraria (ni siquiera se requiere conmutatividad o asociatividad).

Suponga sin pérdida de generalidad que la serie . . n=0JUEGO JUEGO an{textstyle sum _{n=0}{infty }a_{n} converge absolutamente. Definir las sumas parciales

An=. . i=0nai,Bn=. . i=0nbiyCn=. . i=0nci{displaystyle A_{n}=sum ¿Qué? B_{n}=sum {fn}fn}fnfn}fn}fnfnfnh}fn}fn} C_{n}=sum ¿Qué?

con

ci=. . k=0iakbi− − k.{displaystyle C_{i}=sum ¿Por qué?

Entonces

Cn=. . i=0nan− − iBi{displaystyle C_{n}=sum ¿Qué?

por reorganización, por lo tanto

Cn=. . i=0nan− − i()Bi− − B)+AnB.{displaystyle C_{n}=sum ¿Por qué? ()1)

Corrección ε ■ 0. Desde <math alttext="{textstyle sum _{kin mathbb {N} }|a_{k}|. . k▪ ▪ NSilencioakSilencioc)JUEGO JUEGO {textstyle sum _{kin mathbb {N} }Principalmente<img alt="{textstyle sum _{kin mathbb {N} }|a_{k}| por la convergencia absoluta, y desde Bn convergencias a B como n, existe un entero N tal que, para todos los enteros nN,

SilencioBn− − BSilencio≤ ≤ ε ε /3. . k▪ ▪ NSilencioakSilencio+1{displaystyle Silencio. /3}{sum _{kin mathbb {N} } ()2)

(este es el único lugar donde se utiliza la convergencia absoluta). Desde la serie de la ()an)n≥0 converge, el individuo an debe converger a 0 por el término prueba. Por lo tanto existe un entero M tal que, para todos los enteros nM,

SilencioanSilencio≤ ≤ ε ε 3N()maxi▪ ▪ {}0,... ... ,N− − 1}SilencioBi− − BSilencio+1).{displaystyle TENA_{n}Antesleq {frac {varepsilon }{3N(max _{iin {0,dotsN-1}fn_ {i}-B vidas+1)}},},}} ()3)

Además, dado que An converge en A como n → ∞, existe un número entero L tal que, para todos los números enteros nL,

SilencioAn− − ASilencio≤ ≤ ε ε /3SilencioBSilencio+1.{displaystyle Silencio. {fnMicrosoft Sans Serif} ()4)

Entonces, para todos los números enteros n ≥ max{L, M + N}, use la representación (1) para Cn, divide la suma en dos partes, usa la desigualdad triangular para el valor absoluto y finalmente usa las tres estimaciones (2), (3) y ( 4) para demostrar que

SilencioCn− − ABSilencio=Silencio. . i=0nan− − i()Bi− − B)+()An− − A)BSilencio≤ ≤ . . i=0N− − 1Silencioan− − i⏟ ⏟ ≥ ≥ MSilencioSilencioBi− − BSilencio⏟ ⏟ ≤ ≤ ε ε /3 3)+. . i=NnSilencioan− − iSilencioSilencioBi− − BSilencio⏟ ⏟ ≤ ≤ ε ε /3 2)+SilencioAn− − ASilencioSilencioBSilencio⏟ ⏟ ≤ ≤ ε ε /3 4)≤ ≤ ε ε .{displaystyle {begin{aligned}Prince_{n}-AB habit={biggl }sum _{i=0}{n}a_{n-i}(B_{i}-B)+(A_{n}-A)B{biggr Н}\\\cH00leqsum ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans Serif} No. _{scriptstyle geq ¿Por qué? - ¿Por qué? _{leq ,varepsilon /3{ by (2)}}}}+{}underbrace { imperA_{n}-A sometida, sometidaB sometida} _{leq ,varepsilon /3text{ by (4)}leq varepsilon ,end{aligned}}}

Según la definición de convergencia de una serie, CnAB como requerido.

Teorema de Cesàro

En los casos en que las dos secuencias son convergentes pero no absolutamente convergentes, el producto Cauchy sigue siendo Cesàro sumible. Específicamente:

Si ()an)n≥ ≥ 0{textstyle (a_{n})_{ngeq ., ()bn)n≥ ≥ 0{textstyle (b_{n})_{ngeq . son secuencias reales con . . an→ → A{textstyle sum a_{n}to A} y . . bn→ → B{textstyle sum b_{n}to B. entonces

1N(). . n=1N. . i=1n. . k=0iakbi− − k)→ → AB.{displaystyle {frac {}{N}left(sum) ¿Qué? - ¿Por qué? ¿Por qué? AB.}

Esto se puede generalizar al caso en el que las dos secuencias no son convergentes sino simplemente sumables de Cesàro:

Teorema

Para -1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■− − 1{textstyle r]-1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9e09fe075d771293214f4547f525412389b777" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.118ex; height:2.343ex;"/> y -1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">s■− − 1{textstyle s confía-1}-1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe3fd57f7b7d9ca062ad8dea8276f3f195c2f7e" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.16ex; height:2.343ex;"/>, supongamos la secuencia ()an)n≥ ≥ 0{textstyle (a_{n})_{ngeq . es ()C,r){textstyle (C,;r)} sumergible con suma A y ()bn)n≥ ≥ 0{textstyle (b_{n})_{ngeq . es ()C,s){textstyle (C,;s)} sumergible con suma B. Entonces su producto Cauchy es ()C,r+s+1){textstyle (C,;r+s+1)} sumergible con suma AB.

Ejemplos

  • Para algunos x,Sí.▪ ▪ R{textstyle x,yin mathbb {R}, vamos an=xn/n!{fnMicrosoftstyle a_{n}=x^{n}/n! y bn=Sí.n/n!{fnMicrosoftstyle ¡No!. Entonces...
    cn=. . i=0nxii!Sí.n− − i()n− − i)!=1n!. . i=0n()ni)xiSí.n− − i=()x+Sí.)nn!{displaystyle C_{n}=sum ¿Por qué? {x^{i}{i}} {frac {y^{n-i}{(n-i)}={frac {1} {n}}sum ¿Qué? {fn} {fn} {fn} {fn}}}}}}}}
    por definición y la fórmula binomial. Since, formally, exp⁡ ⁡ ()x)=. . an{textstyle exp(x)=sum a_{n} y exp⁡ ⁡ ()Sí.)=. . bn{textstyle exp(y)=sum b_{n}, hemos demostrado que exp⁡ ⁡ ()x+Sí.)=. . cn{textstyle exp(x+y)=sum c_{n}. Puesto que el límite del producto Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series, hemos probado la fórmula exp⁡ ⁡ ()x+Sí.)=exp⁡ ⁡ ()x)exp⁡ ⁡ ()Sí.){textstyle exp(x+y)=exp(x)exp(y)} para todos x,Sí.▪ ▪ R{textstyle x,yin mathbb {R}.
  • Como segundo ejemplo, vamos an=bn=1{fnMicrosoftstyle A_{n}=b_{n}=1} para todos n▪ ▪ N{textstyle nin mathbb {N}. Entonces... cn=n+1{fnMicrosoftstyle C_{n}=n+1} para todos n▪ ▪ N{displaystyle nin mathbb {N} así que el producto Cauchy
    . . cn=()1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,... ... ){displaystyle sum c_{n}=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,dots)}
    no converge.

Generalizaciones

Todo lo anterior se aplica a las secuencias en C{textstyle mathbb {C} (números complejos). El Cauchy product se puede definir para la serie en Rn{textstyle mathbb {R} {fn} espacios (espacios euclidianos) donde la multiplicación es el producto interior. En este caso, tenemos el resultado de que si dos series convergen absolutamente entonces su producto Cauchy converge absolutamente al producto interno de los límites.

Productos de un número finito de series infinitas

Vamos. n▪ ▪ N{displaystyle nin mathbb {N} tales que n≥ ≥ 2{displaystyle ngeq 2} (en realidad lo siguiente también es cierto para n=1{displaystyle n=1} pero la declaración se vuelve trivial en ese caso) y deja . . k1=0JUEGO JUEGO a1,k1,... ... ,. . kn=0JUEGO JUEGO an,kn{textstyle sum ¿Qué? }a_{1,k_{1}},ldotssum ¿Qué? }a_{n,k_{n}} ser serie infinita con coeficientes complejos, de los cuales todos excepto el n{displaystyle n}uno converge absolutamente, y el n{displaystyle n}uno converge. Entonces el límite

limN→ → JUEGO JUEGO . . k1+... ... +kn≤ ≤ Na1,k1⋯ ⋯ an,kn{displaystyle lim _{Nto infty }sum _{k_{1}+ldots +k_{n}leq N}a_{1,k_{1}cdots A_{n,k_{n}
∏ ∏ j=1n(). . kj=0JUEGO JUEGO aj,kj)=limN→ → JUEGO JUEGO . . k1+... ... +kn≤ ≤ Na1,k1⋯ ⋯ an,kn{displaystyle prod _{j=1}{n}left(sum) ¿Qué? - Sí. - ¿Por qué? _{k_{1}+ldots +k_{n}leq N}a_{1,k_{1}cdots A_{n,k_{n}

Prueba

Porque...

О О N▪ ▪ N:. . k1+... ... +kn≤ ≤ Na1,k1⋯ ⋯ an,kn=. . k1=0N. . k2=0k1⋯ ⋯ . . kn=0kn− − 1a1,kna2,kn− − 1− − kn⋯ ⋯ an,k1− − k2{displaystyle forall Nin mathbb {N}:sum _{k_{1}+ldots +k_{n}leq No. a_{n,k_{n}=sum ¿Por qué? ## {k_{2}=0} {k_{1}cdots sum ¿Por qué? A_{n,k_{1}-k_{2}}
n{displaystyle n}n=2{displaystyle n=2}

El paso de inducción es el siguiente: Que la reclamación sea verdadera para un n▪ ▪ N{displaystyle nin mathbb {N} tales que n≥ ≥ 2{displaystyle ngeq 2}, y dejar . . k1=0JUEGO JUEGO a1,k1,... ... ,. . kn+1=0JUEGO JUEGO an+1,kn+1{textstyle sum ¿Qué? }a_{1,k_{1}},ldotssum ¿Qué? }a_{n+1,k_{n+1}} ser serie infinita con coeficientes complejos, de los cuales todos excepto el n+1{displaystyle n+1}uno converge absolutamente, y el n+1{displaystyle n+1}- uno converge. Primero aplicamos la hipótesis de inducción a la serie . . k1=0JUEGO JUEGO Silencioa1,k1Silencio,... ... ,. . kn=0JUEGO JUEGO Silencioan,knSilencio{textstyle sum ¿Qué? }Principalmente, 'ldotssum ¿Qué? }Principioso.. Obtenemos que la serie

. . k1=0JUEGO JUEGO . . k2=0k1⋯ ⋯ . . kn=0kn− − 1Silencioa1,kna2,kn− − 1− − kn⋯ ⋯ an,k1− − k2Silencio{displaystyle sum - ¿Qué? ¿Qué? sum ¿Por qué? a_{n,k_{1}-k_{2}
. . k1=0JUEGO JUEGO Silencio. . k2=0k1⋯ ⋯ . . kn=0kn− − 1a1,kna2,kn− − 1− − kn⋯ ⋯ an,k1− − k2Silencio{displaystyle sum ¿Qué? . . ## {k_{2}=0} {k_{1}cdots sum ¿Por qué? A_{n,k_{1}-k_{2}}right sometida}
. . k1=0JUEGO JUEGO . . k2=0k1⋯ ⋯ . . kn=0kn− − 1a1,kna2,kn− − 1− − kn⋯ ⋯ an,k1− − k2{displaystyle sum - ¿Qué? ¿Qué? sum ¿Por qué? A_{n,k_{1}-k_{2}}
∏ ∏ j=1n+1(). . kj=0JUEGO JUEGO aj,kj)=(). . kn+1=0JUEGO JUEGO an+1,kn+1⏞ ⏞ =akn+1)(). . k1=0JUEGO JUEGO . . k2=0k1⋯ ⋯ . . kn=0kn− − 1a1,kna2,kn− − 1− − kn⋯ ⋯ an,k1− − k2⏞ ⏞ =bk1)=(). . k1=0JUEGO JUEGO . . k2=0k1. . k3=0k2⋯ ⋯ . . kn=0kn− − 1a1,kna2,kn− − 1− − kn⋯ ⋯ an,k1− − k2⏞ ⏞ =ak1)(). . kn+1=0JUEGO JUEGO an+1,kn+1⏞ ⏞ =bkn+1)=(). . k1=0JUEGO JUEGO . . k3=0k1. . k4=0k3⋯ ⋯ . . kn+1=0kna1,kn+1a2,kn− − kn+1⋯ ⋯ an,k1− − k3⏞ ⏞ =ak1)(). . k2=0JUEGO JUEGO an+1,k2⏞ ⏞ =bn+1,k2=bk2)=(). . k1=0JUEGO JUEGO ak1)(). . k2=0JUEGO JUEGO bk2)=(). . k1=0JUEGO JUEGO . . k2=0k1ak2bk1− − k2)=(). . k1=0JUEGO JUEGO . . k2=0k1(). . k3=0k2⋯ ⋯ . . kn+1=0kna1,kn+1a2,kn− − kn+1⋯ ⋯ an,k2− − k3⏞ ⏞ =ak2)()an+1,k1− − k2⏞ ⏞ =bk1− − k2))=(). . k1=0JUEGO JUEGO . . k2=0k1. . k3=0k2⋯ ⋯ . . kn+1=0kna1,kn+1a2,kn− − kn+1⋯ ⋯ an,k2− − k3⏞ ⏞ =ak2an+1,k1− − k2⏞ ⏞ =bk1− − k2)=. . k1=0JUEGO JUEGO . . k2=0k1an+1,k1− − k2. . k3=0k2⋯ ⋯ . . kn+1=0kna1,kn+1a2,kn− − kn+1⋯ ⋯ an,k2− − k3{displaystyle {begin{aligned}prod ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? }a_{j,k_{j}right) # {k_{n+1}=0} {infty}overbrace {a_{n+1,k_{n+1}} ^{=:a_{k_{n+1}right)left(sum) ¿Qué? ¿Qué? sum ¿Por qué? A_{n,k_{1}-k_{2}} ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? - ¿Por qué? ¿Por qué? A_{n,k_{1}-k_{2}} ^{=:a_{k_{1}}right)left(sum) # {k_{n+1}=0} {infty}overbrace {a_{n+1,k_{n+1}} ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? ## {k_{4}=0} {k_{3}cdots sum ¿Por qué? A_{n,k_{1}-k_{3}} ^{=:a_{k_{1}}right)left(sum) ¿Qué? {a_{n+1,k_{2}} ^{=:b_{n+1,k_{2}=:b_{k_{2}right)\=left(sum) ¿Qué? }a_{k_{1}right)left(sum) ¿Qué? ¿Qué? - ¿Qué? ## {k_{2}=0}} {k_{1}a_{k_{2}b_{1}-k_{2}}right)\\=sum - ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? sum ¿Por qué? A_{n,k_{2}-k_{3}} ^{=:a_{k_{2}}right)left(overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}} ¿Qué? - ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? sum ¿Por qué? A_{n,k_{2}-k_{3}} ^{=:a_{k_{2}overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}} ¿Qué? - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Por qué? ¿Por qué? A_{n,k_{2}-k_{3}end{aligned}
n+1{displaystyle n+1}

Relación con la convolución de funciones

Una secuencia finita puede ser vista como una secuencia infinita con sólo términos finitos no cero, o en otras palabras como una función f:N→ → C{displaystyle f:mathbb {N} to mathbb {C} con apoyo finito. Para cualquier función de valor complejo f, g on N{displaystyle mathbb {N} con apoyo finito, uno puede tomar su convolución:

()fAlternativa Alternativa g)()n)=. . i+j=nf()i)g()j).{displaystyle (f*g)(n)=sum _{i+j=n}f(i)g(j).}
. . ()fAlternativa Alternativa g)()n){textstyle sum (f*g)(n)}. . f()n){textstyle sum f(n)}. . g()n){textstyle sum g(n)}

Más generalmente, dado un monoide S, uno puede formar el álgebra semigrupo C[S]{displaystyle mathbb {C} [S] de S, con la multiplicación dada por la convolución. Si uno toma, por ejemplo, S=Nd{displaystyle S=mathbb {N} }, entonces la multiplicación en C[S]{displaystyle mathbb {C} [S] es una generalización del producto Cauchy a la dimensión superior.