Proceso estacionario de tendencia
En el análisis estadístico de series temporales, un proceso de tendencia estacionaria es un proceso estocástico del que se puede eliminar una tendencia subyacente (función únicamente del tiempo), dejando un proceso estacionario. La tendencia no tiene por qué ser lineal.
Por el contrario, si el proceso requiere que la diferenciación se haga estacionaria, entonces se llama diferencia estacionaria y posee una o más raíces unitarias. A veces estos dos conceptos pueden confundirse, pero si bien comparten muchas propiedades, son diferentes en muchos aspectos. Es posible que una serie temporal no sea estacionaria, pero no tenga raíz unitaria y sea estacionaria en términos de tendencia. Tanto en los procesos de raíz unitaria como en los de tendencia estacionaria, la media puede crecer o disminuir con el tiempo; sin embargo, en presencia de un shock, los procesos de tendencia estacionaria son de reversión de la media (es decir, transitorios, la serie temporal convergerá nuevamente hacia la media creciente, que no se vio afectada por el shock), mientras que los procesos de raíz unitaria tienen un impacto permanente en la media (es decir, sin convergencia en el tiempo).
Definición formal
Se dice que un proceso {Y} es estacionario en tendencia si
- Yt=f()t)+et,{displaystyle Y...
Donde t es tiempo, f es cualquier asignación de funciones de los reales a los reales, y {eEs un proceso estacionario. El valor f()t){displaystyle f(t)} se dice que es el valor de tendencia del proceso a la vez t.
Ejemplo más simple: estacionariedad alrededor de una tendencia lineal
Supongamos que la variable Y evoluciona según
- Yt=a⋅ ⋅ t+b+et{displaystyle Y... t+b+e_{t}
Donde t es tiempo y et es el término de error, que es hipotetizado para ser ruido blanco o más generalmente para haber sido generado por cualquier proceso estacionario. Entonces se puede utilizar la regresión lineal para obtener una estimación a^ ^ {displaystyle {hat {a}}} de la verdadera pendiente de tendencia subyacente a{displaystyle a} y una estimación b^ ^ {displaystyle {hat {b}} del mandato de interceptación subyacente b; si la estimación a^ ^ {displaystyle {hat {a}}} es significativamente diferente de cero, esto es suficiente para mostrar con alta confianza que la variable Y no es estacionario. Los residuos de esta regresión son dados por
- e^ ^ t=Yt− − a^ ^ ⋅ ⋅ t− − b^ ^ .{displaystyle {hat} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {f}}}}}} {fn}}} {f} {f}} {f}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {a}cdot t-{hat {b}}
Si estos residuos estimados pueden ser estadísticamente mostrados como estacionarios (más precisamente, si se puede rechazar la hipótesis de que los errores subyacentes verdaderos no son estacionarios), entonces los residuales se denominan los detrended datos, y la serie original {YtSe dice que es estacionario de tendencia aunque no sea estacionario.
Estacionariedad en torno a otros tipos de tendencia
Tendencia de crecimiento exponencial
Muchas series temporales económicas se caracterizan por un crecimiento exponencial. Por ejemplo, supongamos que se plantea la hipótesis de que el producto interno bruto se caracteriza por desviaciones estacionarias de una tendencia que implica una tasa de crecimiento constante. Entonces podría modelarse como
- PIBt=BeatUt{displaystyle {text{GDP}_{t}=Be^{at}U_{t}
con Ut ser hipotetizado para ser un proceso de error estacionario. Para estimar los parámetros a{displaystyle a} y B, uno primero toma el logaritmo natural (ln) de ambos lados de esta ecuación:
- In ()PIBt)=In B+at+In ()Ut).{displaystyle ln({text{GDP}_{t})=ln B+at+ln(U_{t}).}
Esta ecuación log-linear está en la misma forma que la ecuación de tendencia lineal anterior y puede ser detrended de la misma manera, dando la estimación ()In U)t{displaystyle (ln U)_{t} como el valor detenido ()In PIB)t{displaystyle (ln {text{GDP}})_{t}, y por lo tanto lo implícito Ut{displaystyle U_{t} como el valor detenido PIBt{displaystyle {text{GDP}_{t}}, suponiendo que uno puede rechazar la hipótesis de que ()In U)t{displaystyle (ln U)_{t} no es estacionario.
Tendencia cuadrática
Las tendencias no tienen que ser lineales o logarítmicas. Por ejemplo, una variable podría tener una tendencia cuadrática:
- Yt=a⋅ ⋅ t+c⋅ ⋅ t2+b+et.{displaystyle Y_{t}=acdot t+ccdot t^{2}+b+e_{t}
Esto puede ser regresado linealmente en los coeficientes usando t y t2 como regredores; de nuevo, si los residuos se muestran estacionarios entonces son los valores detenidos Yt{displaystyle Y....
