Proceso de salchicha
En matemáticas, el proceso de Wiener es un proceso estocástico de tiempo continuo de valor real llamado así en honor al matemático estadounidense Norbert Wiener por sus investigaciones sobre las propiedades matemáticas del movimiento browniano unidimensional. A menudo también se le llama movimiento browniano debido a su conexión histórica con el proceso físico del mismo nombre observado originalmente por el botánico escocés Robert Brown. Es uno de los procesos de Lévy más conocidos (procesos estocásticos de càdlàg con incrementos independientes estacionarios) y ocurre con frecuencia en matemáticas puras y aplicadas, economía, finanzas cuantitativas, biología evolutiva y física.
El proceso de Wiener juega un papel importante tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. En matemáticas puras, el proceso de Wiener dio lugar al estudio de las martingalas de tiempo continuo. Es un proceso clave en términos del cual se pueden describir procesos estocásticos más complicados. Como tal, juega un papel vital en el cálculo estocástico, los procesos de difusión e incluso en la teoría potencial. Es el proceso impulsor de la evolución de Schramm-Loewner. En matemáticas aplicadas, el proceso de Wiener se utiliza para representar la integral de un proceso gaussiano de ruido blanco y, por lo tanto, es útil como modelo de ruido en ingeniería electrónica (ver ruido browniano), errores de instrumentos en la teoría de filtrado y perturbaciones en la teoría de control.
El proceso de Wiener tiene aplicaciones en todas las ciencias matemáticas. En física se utiliza para estudiar el movimiento browniano, la difusión de partículas diminutas suspendidas en un fluido y otros tipos de difusión a través de las ecuaciones de Fokker-Planck y Langevin. También forma la base para la formulación rigurosa de la integral de caminos de la mecánica cuántica (mediante la fórmula de Feynman-Kac, una solución a la ecuación de Schrödinger se puede representar en términos del proceso de Wiener) y el estudio de la inflación eterna en la cosmología física. También es prominente en la teoría matemática de las finanzas, en particular el modelo de valoración de opciones de Black-Scholes.
Caracterizaciones del proceso Wiener
El proceso de Wiener Wt{displaystyle ¿Qué? se caracteriza por las siguientes propiedades:
- W0=0{displaystyle W_{0}=0}
- W{displaystyle W. tiene incrementos independientes: por cada 0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">t■0,{displaystyle t título0,}
0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2159aad37e35b69930ad3b3afe15dab07ef52a4" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.747ex; height:2.509ex;"/> los futuros incrementos Wt+u− − Wt,{displaystyle ¿Qué? u≥ ≥ 0,{displaystyle ugeq 0,} son independientes de los valores anteriores Ws{displaystyle ¿Qué?, <math alttext="{displaystyle ss.t.{displaystyle s wont.}<img alt="{displaystyle s
- W{displaystyle W. tiene aumentos gaussianos: Wt+u− − Wt{displaystyle ¿Qué? se distribuye normalmente con media 0{displaystyle 0} y diferencia u{displaystyle u}, Wt+u− − Wt♪ ♪ N()0,u).{displaystyle W_{t+u}-W_{t}sim {mathcal}(0,u). }
- W{displaystyle W. tiene caminos continuos: Wt{displaystyle ¿Qué? es continuo t{displaystyle t}.
Que el proceso tenga incrementos independientes significa que si 0 ≤ s1 < t1 ≤ s2 < t2 luego Wt1 − Ws1 y Wt2 − Ws2 son variables aleatorias independientes, y la condición similar se cumple para incrementos de n.
Una caracterización alternativa del proceso de Wiener es la llamada caracterización de Lévy que dice que el proceso de Wiener es una martingala continua casi segura con W0 = 0 y variación cuadrática [Wt, Wt] = t (lo que significa que Wt2 − t también es una martingala).
Una tercera caracterización es que el proceso de Wiener tiene una representación espectral como una serie sinusoidal cuyos coeficientes son variables aleatorias N(0, 1) independientes. Esta representación se puede obtener utilizando el teorema de Karhunen-Loève.
Otra caracterización de un proceso de Wiener es la integral definida (desde el tiempo cero hasta el tiempo t) de un proceso gaussiano de media cero, varianza unitaria, delta correlacionado ("blanco").
El proceso de Wiener se puede construir como el límite de escala de una caminata aleatoria u otros procesos estocásticos de tiempo discreto con incrementos independientes estacionarios. Esto se conoce como el teorema de Donsker. Al igual que el paseo aleatorio, el proceso de Wiener es recurrente en una o dos dimensiones (lo que significa que regresa casi con seguridad a cualquier vecindad fija del origen infinitamente a menudo) mientras que no es recurrente en dimensiones tres y superiores. A diferencia de la caminata aleatoria, es invariante de escala, lo que significa que
Proceso de Wiener como límite de paseo aleatorio
Vamos .. 1,.. 2,...... {displaystyle xi _{1},xi _{2},ldots } ser i.i.d. variables aleatorias con media 0 y varianza 1. Para cada uno n, definir un proceso estocástico de tiempo continuo
Propiedades de un proceso de Wiener unidimensional
Propiedades básicas
La función de densidad de probabilidad incondicional sigue una distribución normal con media = 0 y varianza = t, en un tiempo fijo t:
La expectativa es cero:
La varianza, utilizando la fórmula computacional, es t:
Estos resultados se derivan inmediatamente de la definición de que los incrementos tienen una distribución normal, centrada en cero. De este modo
Covarianza y correlación
La covariancia y correlación (donde s≤ ≤ t{displaystyle sleq t}):
Estos resultados se derivan de la definición de que los incrementos no superpuestos son independientes, de los cuales sólo se utiliza la propiedad que no están relacionados. Supongamos que t1≤ ≤ t2{displaystyle t_{1}leq T_{2}.
Sustitución
Desde Wt1=Wt1− − Wt0{displaystyle ¿Qué? y Wt2− − Wt1{displaystyle ¿Qué? son independientes,
Así
Un corolario útil para la simulación es que podemos escribir, para t1 < t2:
Representación de Viena
Wiener (1923) también dio una representación de un camino marroniano en términos de una serie Fourier al azar. Si .. n{displaystyle xi _{n} son variables gaisianas independientes con media cero y varianza uno, entonces
Máxima corriente
La distribución conjunta del máximo móvil
Para obtener la distribución incondicional de fMt{displaystyle F_{M_{t}}, integrar sobre ♦ w ≤ m:
la función de densidad de probabilidad de una distribución seminormal. la expectativa es
Si a la vez t{displaystyle t} el proceso de Wiener tiene un valor conocido Wt{displaystyle ¿Qué?, es posible calcular la distribución de probabilidad condicional del máximo en intervalo [0,t]{displaystyle [0,t]} (cf. Probability distribution of extreme points of a Wiener stochastic process). La función de distribución de probabilidad acumulativa del valor máximo, condicionada por el valor conocido Wt{displaystyle ¿Qué?, es:
Autosimilitud
Escala browniana
Por todos c ■ 0 el proceso Vt=()1/c)Wct{displaystyle ¿Qué? es otro proceso de Wiener.
Reversión del tiempo
El proceso Vt=W1− − W1− − t{displaystyle V_{t}=W_{1}-W_{1-t} para 0 ≤ t ≤ 1 se distribuye como Wt para 0 ≤ t ≤ 1.
Inversión de tiempo
El proceso Vt=tW1/t{displaystyle V_{t}=tW_{1/t} es otro proceso de Wiener.
Una clase de martingalas brownianas
Si un polinomio p(x, t) satisface la ecuación diferencial parcial
Ejemplo: Wt2− − t{displaystyle ¿Qué? es un martingale, que muestra que la variación cuadrática de W on [0, t] es igual a t. Se deduce que el tiempo previsto de la primera salida W de las Naciones Unidasc, c) es igual a c2.
Más generalmente, para cada polinomio p(x, t) lo siguiente proceso estocástico es una martingala:
Ejemplo: p()x,t)=()x2− − t)2,{displaystyle p(x,t)=left(x^{2}-tright)^{2} a()x,t)=4x2;{displaystyle a(x,t)=4x^{2} el proceso
Acerca de las funciones p(xa, t) más generales que los polinomios, consulte martingalas locales.
Algunas propiedades de las rutas de muestra
El conjunto de todas las funciones w con estas propiedades es de medida Wiener completa. Es decir, un camino (función de muestra) del proceso de Wiener tiene casi con seguridad todas estas propiedades.
Propiedades cualitativas
- Para cada ε > 0, la función w toma ambos valores (strictamente) positivos y (strictamente) negativos en (0, ε).
- La función w es continua en todas partes pero diferenciable en ninguna parte (como la función Weierstrass).
- Puntos de máximo local de la función w son un conjunto denso contable; los valores máximos son iguales; cada máximo local es agudo en el siguiente sentido: si w tiene un máximo local t entonces Lo mismo ocurre con la minima local.lims→ → tSilenciow()s)− − w()t)SilencioSilencios− − tSilencio→ → JUEGO JUEGO .{displaystyle lim _{sto t}{frac { sometidaw(s)-w(t) sometida}{ vidas-t habit}}to infty.}
- La función w no tiene puntos de aumento local, es decir, no t 0 satisfice lo siguiente para algunos ε en (0, t): primero, w()s≤ w()t) para todos s ent − ε, t), y segundo, w()s) ≥ w()t) para todos s ent, t + ε). (El aumento local es una condición más débil que esa w está aumentando en (t − ε, t + ε). Lo mismo ocurre con la disminución local.
- La función w es de variación sin límites en cada intervalo.
- La variación cuadrática de w [0,t] es t.
- Cero de la función w son un conjunto denso perfecto de la medida Lebesgue 0 y la dimensión Hausdorff 1/2 (antes, incontable).
Propiedades cuantitativas
Ley del logaritmo iterado
Módulo de continuidad
Módulo local de continuidad:
Módulo de continuidad global (Lévy):
Teorema de duplicación de dimensiones
Los teoremas de duplicación de dimensiones dicen que la dimensión de Hausdorff de un conjunto bajo un movimiento browniano se duplica casi con seguridad.
Hora local
La imagen de la medida de Lebesgue en [0, t] debajo del mapa w (la medida de avance) tiene una densidad Lt. De este modo,
Estas propiedades de continuidad no son triviales. Considere que la hora local también se puede definir (como la densidad de la medida de avance) para una función suave. Entonces, sin embargo, la densidad es discontinua, a menos que la función dada sea monótona. En otras palabras, existe un conflicto entre el buen comportamiento de una función y el buen comportamiento de su hora local. En este sentido, la continuidad del tiempo local del proceso de Wiener es otra manifestación de la falta de suavidad de la trayectoria.
Tasa de información
La tasa de información del proceso de Wiener con respecto a la distancia de error al cuadrado, es decir, su función de distorsión de tasa cuadrática, viene dada por
En muchos casos, es imposible codificar el proceso de Wiener sin mostrarlo primero. Cuando el proceso de Wiener se muestra a intervalos Ts{displaystyle T_{s} antes de aplicar un código binario para representar estas muestras, el comercio óptimo entre la tasa de código R()Ts,D){displaystyle R(T_{s},D)} y esperado error cuadrado D{displaystyle D} (en la estimación del proceso continuo de Wiener) sigue la representación paramétrica
Procesos relacionados
El proceso estocástico definido por
A grandes rasgos, aparecen dos procesos aleatorios en el intervalo de tiempo [0, 1] cuando se condiciona el proceso de Wiener para que desaparezca en ambos extremos de [0,1]. Sin más condicionamiento, el proceso toma valores tanto positivos como negativos en [0, 1] y se denomina puente browniano. Condicionado también a permanecer positivo en (0, 1), el proceso se llama excursión browniana. En ambos casos un tratamiento riguroso implica un procedimiento limitante, ya que la fórmula P(A|B) = P (A ∩ B)/P(B) no se aplica cuando P (B) = 0.
Se puede escribir un movimiento browniano geométrico
Es un proceso estocástico que se utiliza para modelar procesos que nunca pueden tomar valores negativos, como el valor de las acciones.
El proceso estocástico
El tiempo de golpear un solo punto x > 0 por el proceso de Wiener es una variable aleatoria con la distribución de Lévy. La familia de estas variables aleatorias (indexadas por todos los números positivos x) es una modificación continua por la izquierda de un proceso de Lévy. La modificación continua por la derecha de este proceso viene dada por los tiempos de la primera salida de los intervalos cerrados [0, x].
La hora local L = (Lxt)x ∈ R, t ≥ 0 de un movimiento browniano describe el tiempo que el proceso pasa en el punto x. Formalmente
Martingalas brownianas
Sea A un evento relacionado con el proceso de Wiener (más formalmente: un conjunto, medible con respecto a la medida de Wiener, en el espacio de funciones), y X t la probabilidad condicional de A dado el proceso de Wiener en el intervalo de tiempo [0, t] (más formalmente: la medida de Wiener de la conjunto de trayectorias cuya concatenación con la trayectoria parcial dada en [0, t] pertenece a A). Entonces el proceso Xt es una martingala continua. Su propiedad de martingala se sigue inmediatamente de las definiciones, pero su continuidad es un hecho muy especial, un caso especial de un teorema general que establece que todas las martingalas brownianas son continuas. Una martingala browniana es, por definición, una martingala adaptada a la filtración browniana; y la filtración browniana es, por definición, la filtración generada por el proceso de Wiener.
Movimiento browniano integrado
La integral temporal del proceso de Wiener
Para el caso general del proceso definido por
Cambio de hora
Cada martingala continua (comenzando en el origen) es un proceso de Wiener con cambio de tiempo.
Ejemplo: 2Wt = V(4 t) donde V es otro proceso de Wiener (diferente de W pero distribuido como W).
Ejemplo. Wt2− − t=VA()t){displaystyle ¿Qué? Donde A()t)=4∫ ∫ 0tWs2ds{displaystyle A(t)=4int _{0}{t} ¿Qué? y V es otro proceso de Wiener.
En general, si M es un martingale continuo entonces Mt− − M0=VA()t){displaystyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)} Donde A()t) es la variación cuadrática de M [0, t], y V es un proceso de Wiener.
Corolario. (Véase también los teoremas de convergencia de la martingala de Doob) Sea Mt una martingala continua, y
Entonces solo son posibles los siguientes dos casos:
Especialmente, una martingala continua no negativa tiene un límite finito (como t → ∞) casi seguro.
Todo lo establecido (en esta subsección) para las martingalas también se aplica a las martingalas locales.
Cambio de medida
Una amplia clase de semimartingalas continuas (especialmente, de procesos de difusión) está relacionada con el proceso de Wiener a través de una combinación de cambio de tiempo y cambio de medida.
Usando este hecho, las propiedades cualitativas establecidas anteriormente para el proceso de Wiener se pueden generalizar a una amplia clase de semimartingalas continuas.
Proceso de Wiener de valor complejo
El proceso de Wiener de valor complejo puede definirse como un proceso aleatorio de valor complejo de la forma Zt=Xt+iYt{displaystyle Z_{t}=X_{t}+iY_{t} Donde Xt{displaystyle X_{t} y Yt{displaystyle Y... son procesos independientes de Wiener (valor real).
Autosimilitud
Escala browniana, inversión de tiempo, inversión de tiempo: lo mismo que en el caso de valor real.
Invariancia de rotación: para cada número complejo c{displaystyle c} tales que SilenciocSilencio=1{displaystyle Silencioso el proceso c⋅ ⋅ Zt{displaystyle ccdot Z_{t} es otro proceso de Wiener de valor complejo.
Cambio de hora
Si f{displaystyle f} es una función entera entonces el proceso f()Zt)− − f()0){displaystyle f(Z_{t})-f(0)} es un proceso de Wiener de valor complejo cambiado de tiempo.
Ejemplo: Zt2=()Xt2− − Yt2)+2XtYti=UA()t){displaystyle ¿Qué? Donde
En contraste con el caso real, un martingale de valor complejo generalmente no es un proceso de Wiener de valor complejo cambiado de tiempo. Por ejemplo, el martingale 2Xt+iYt{displaystyle 2X_{t}+iY_{t} no es (aquí Xt{displaystyle X_{t} y Yt{displaystyle Y... son procesos independientes Wiener, como antes).