Proceso de Gauss-Markov

Los procesos estocásticos de Gauss-Markov (llamados así por Carl Friedrich Gauss y Andrey Markov) son procesos estocásticos que satisfacen los requisitos tanto de los procesos gaussianos como de los procesos de Markov. Un proceso estacionario de Gauss-Markov es único hasta el cambio de escala; dicho proceso también se conoce como proceso de Ornstein-Uhlenbeck.

Los procesos de Gauss-Markov obedecen a las ecuaciones de Langevin.

Propiedades básicas

Todo proceso de Gauss-Markov X(t) posee las siguientes tres propiedades:

1. Si h()t) es una función de escalar no cero t, entonces Z()t) h()t)X()t) es también un proceso Gauss–Markov
2. Si f()t) es una función de escalar que no disminuye t, entonces Z()t) X()f()t) es también un proceso Gauss – Markov
3. Si el proceso es continuo no degenerado y medio cuadrado, entonces existe una función de escalar no cero h()t) y una función de escalar estrictamente creciente f()t. X()t) h()t)W()f()t), donde W()t) es el proceso estándar de Wiener.

La propiedad (3) significa que todos los procesos de Gauss-Markov continuos cuadráticos medios no degenerados se pueden sintetizar a partir del proceso estándar de Wiener (SWP).

Otras propiedades

Proceso de Gauss – Markov con varianza E()X2()t))=σ σ 2{displaystyle {textbf}(X^{2}(t)=sigma ^{2}} y tiempo constante β β − − 1{displaystyle beta ^{-1} tiene las siguientes propiedades.

• Autocorrelación exponencial:
  Rx()τ τ )=σ σ 2e− − β β Silencioτ τ Silencio.{displaystyle {textbf {R}_{x}(tau)=sigma ^{2}e^{-beta Silenciotau ¦}

  
• Una función de densidad espectral de potencia (PSD) que tiene la misma forma que la distribución Cauchy:
  Sx()j⋅ ⋅ )=2σ σ 2β β ⋅ ⋅ 2+β β 2.{displaystyle {textbf {S}_{x}(jomega)={frac {2sigma ^{2}beta } {omega ^{2}+beta ^{2}}}

  
  (Nota que la distribución Cauchy y este espectro difieren por factores de escala.)
• Lo anterior produce la siguiente factorización espectral:
  Sx()s)=2σ σ 2β β − − s2+β β 2=2β β σ σ ()s+β β )⋅ ⋅ 2β β σ σ ()− − s+β β ).{displaystyle {textbf {}_{x}(s)={frac {2sigma ^{2}beta }{-s^{2}+beta ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} },sigma } {(-s+beta)}}

  
  que es importante en el filtrado de Wiener y otras áreas.

También hay algunas excepciones triviales a todo lo anterior.