Problema del trigo y el tablero de ajedrez

El problema del trigo y el tablero de ajedrez (a veces expresado en términos de granos de arroz) es un problema matemático expresado en forma textual como:

Si un tablero de ajedrez tuviera trigo colocado sobre cada cuadrado tal que un grano se colocara en la primera plaza, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así sucesivamente (doblando el número de granos en cada cuadrado posterior), ¿cuántos granos de trigo estarían en el tablero de ajedrez en el final?

El problema puede resolverse mediante una simple suma. Con 64 casillas en un tablero de ajedrez, si el número de granos se duplica en casillas sucesivas, entonces la suma de los granos en las 64 casillas es: 1 + 2 + 4 + 8 +... y así sucesivamente para las 64 casillas. Se puede demostrar que el número total de granos es 2⁶⁴−1 o 18.446.744.073.709.551.615 (dieciocho quintillones, cuatrocientos cuarenta y seis cuatrillones, setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil millones, setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil, seiscientos quince, más de 1,4 billones de toneladas métricas), que es más de 2.000 veces la producción mundial anual de trigo.

Este ejercicio se puede utilizar para demostrar la rapidez con la que crecen las secuencias exponenciales, así como para introducir exponentes, potencia cero, notación sigma mayúscula y series geométricas. Actualizada para los tiempos modernos utilizando centavos y una pregunta hipotética como "¿Preferirías tener un millón de dólares o un centavo el primer día, duplicado todos los días hasta el día 30?", la fórmula se ha utilizado para explicar el interés compuesto. (La duplicación daría como resultado más de mil setenta y tres millones de centavos, o más de 10 millones de dólares: 2³⁰−1=1.073.741.823).

El problema aparece en diferentes historias sobre la invención del ajedrez. Una de ellas incluye el problema de la progresión geométrica. Se sabe que la primera historia fue registrada en 1256 por Ibn Khallikan. Otra versión cuenta que el inventor del ajedrez (en algunos relatos Sessa, un antiguo ministro indio) le pide a su gobernante que le dé trigo de acuerdo con el problema del trigo y el tablero de ajedrez. El gobernante se ríe de ello como un premio insignificante por una invención brillante, solo para que los tesoreros de la corte informen que la cantidad inesperadamente grande de granos de trigo superaría los recursos del gobernante. Las versiones difieren en cuanto a si el inventor se convierte en un asesor de alto rango o es ejecutado.

Macdonnell también investiga el desarrollo anterior del tema.

[Según la historia temprana de Al-Masudi de la India], shatranj, o ajedrez fue inventado bajo un rey indio, que expresó su preferencia por este juego sobre backgammon. [...] Los indios, añade, también calcularon una progresión aritmética con los cuadrados del tablero de ajedrez. [...] El cariño temprano de los indios por enormes cálculos es bien conocido por los estudiantes de sus matemáticas, y se ejemplifica en los escritos del gran astrónomo ryabaha (nacido 476 A.D.). [...] Un argumento adicional para el origen indio de este cálculo se suministra por el nombre árabe para la plaza del tablero de ajedrez, (بيت, "beit"), "house". [...] Porque esto tiene sin duda una conexión histórica con su denominación india koshāgāra, 'tienda-casa', 'granary' [...].

La solución simple y de fuerza bruta consiste simplemente en duplicar y agregar manualmente cada paso de la serie:

${\displaystyle T_{64}$ = 1 + 2 + 4 +.... + 9,223,372,036,854,775,808 = 18,446,744,073,709,551,615

Donde ${\displaystyle T_{64}$ es el número total de granos.

La serie puede expresarse mediante exponentes:

${\displaystyle T_{64}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}$

y, representado con notación sigma mayúscula como:

${\displaystyle \sum _{k=0}{63}2^{k}$

También se puede solucionar mucho más fácilmente usando:

${\displaystyle T_{64}=2^{64}-1.$

Una prueba de ello es:

${\displaystyle s=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}$

Multiplica cada lado por 2:

${\displaystyle 2s=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}+2^{64}$

Restar la serie original de cada lado:

${\displaystyle {\begin{aligned}2s-s sensible=\qquad \quad {\cancel {2}}+{\cancel {2^{2}}+\cdots +{\cancel {2^{63}}+2^{64}\\\\\\q\quad -2^{0}-\cancel {2^{1}}-{\cancel}-{\cancel {2^{2}}-\cdots -{\cancel {2^{63}}\\\\=2^{64}-2}\\\\\\\\h00}\\\\\fnMicrosoft Sans Serif}$

La solución anterior es un caso particular de la suma de una serie geométrica, dada por

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}=\sum ¿Qué? {1-r^{n} {1-r}}}$

Donde ${\displaystyle a}$ es el primer término de la serie, ${\displaystyle r}$ es la relación común y ${\displaystyle n}$ es el número de términos.

En este problema ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle r=2}$ y ${\displaystyle n=64}$.

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?$

para ${\displaystyle n}$ ser cualquier entero positivo.

El ejercicio de resolver este problema puede utilizarse para explicar y demostrar los exponentes y el rápido crecimiento de las secuencias exponenciales y geométricas. También puede utilizarse para ilustrar la notación sigma. Cuando se expresa como exponentes, la serie geométrica es: 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ +... y así sucesivamente, hasta 2⁶³. La base de cada exponenciación, "2", expresa la duplicación en cada cuadrado, mientras que los exponentes representan la posición de cada cuadrado (0 para el primer cuadrado, 1 para el segundo, y así sucesivamente).

El número de granos es el 64.º número de Mersenne.

En estrategia tecnológica, la "segunda mitad del tablero de ajedrez" es una frase acuñada por Ray Kurzweil en referencia al punto en el que un factor de crecimiento exponencial comienza a tener un impacto económico significativo en la estrategia comercial general de una organización. Si bien la cantidad de granos en la primera mitad del tablero de ajedrez es grande, la cantidad en la segunda mitad es enormemente mayor (2³² > 4 mil millones de veces).

El número de granos de trigo en la primera mitad del tablero de ajedrez es 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2.147.483.648, lo que da un total de 4.294.967.295 (2³² − 1) granos, o aproximadamente 279 toneladas de trigo (suponiendo que la masa de un grano de trigo es de 65 mg).

El número de granos de trigo en la segunda mitad del tablero de ajedrez es 2³² + 2³³ + 2³⁴ +... + 2⁶³, para un total de 2⁶⁴ − 2³² granos. Esto es igual al cuadrado del número de granos en la primera mitad del tablero, más él mismo. Solo el primer cuadrado de la segunda mitad contiene un grano más que toda la primera mitad. Solo en el cuadrado 64 del tablero de ajedrez, habría 2⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808 granos, más de dos mil millones de veces más que en la primera mitad del tablero de ajedrez.

En todo el tablero de ajedrez habría 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo, con un peso aproximado de 1.199.000.000.000 de toneladas métricas. Esto supone más de 1.600 veces la producción mundial de trigo (729 millones de toneladas métricas en 2014 y 780,8 millones de toneladas en 2019).

Carl Sagan tituló el segundo capítulo de su último libro "El tablero de ajedrez persa" y escribió, refiriéndose a las bacterias, que "las bacterias exponenciales no pueden continuar eternamente, porque devorarán todo". De manera similar, "Los límites del crecimiento" utiliza la historia para presentar las consecuencias sugeridas del crecimiento exponencial: "El crecimiento exponencial nunca puede continuar por mucho tiempo en un espacio finito con recursos finitos".

• Leyenda de la Ambalappuzha Paal Payasam
• Modelo de crecimiento malthusiano
• Ley de Moore
• Ordenes de magnitud (datos)
• Estrategia tecnológica
• Los límites al crecimiento

• Weisstein, Eric W. "Problema de calentamiento y pizarra". MathWorld.
• Problema de sal y tablero de ajedrez - Una variación en el problema de trigo y ajedrez con las medidas de cada cuadrado.
• Materiales de aprendizaje relacionados con Math Adventures/Wheat y el Ajedrez en Wikiversity