Problema del amanecer

El problema del amanecer se puede expresar de la siguiente manera: "¿Cuál es la probabilidad de que el sol salga mañana?" El problema del amanecer ilustra la dificultad de utilizar la teoría de la probabilidad al evaluar la plausibilidad de afirmaciones o creencias.

Según la interpretación bayesiana de la probabilidad, la teoría de la probabilidad se puede utilizar para evaluar la verosimilitud de la afirmación: "El sol saldrá mañana".

El enfoque de Laplace

El problema del amanecer fue introducido por primera vez en el siglo XVIII por Pierre-Simon Laplace, quien lo trató mediante su regla de sucesión. Sea p la frecuencia de salidas del sol a largo plazo, es decir, el sol sale el 100 × p% de los días. Antes de conocer cualquier amanecer, uno ignora por completo el valor de p. Laplace representó esta ignorancia previa mediante una distribución de probabilidad uniforme en p.

Por ejemplo, la probabilidad de que p esté entre el 20 % y el 50 % es sólo del 30 %. Esto no debe interpretarse en el sentido de que en el 30% de los casos, p esté entre el 20% y el 50%. Más bien, significa que el estado de conocimiento (o ignorancia) de uno justifica estar 30% seguro de que el sol sale entre el 20% y el 50% del tiempo. Dado el valor de p, y ninguna otra información relevante a la pregunta de si el sol saldrá mañana, la probabilidad de que el sol salga mañana es p. Pero no "nos da el valor de p". Lo que nos dan son los datos observados: el sol ha salido todos los días registrados. Laplace dedujo el número de días diciendo que el universo fue creado hace unos 6.000 años, basándose en una lectura creacionista de la Biblia de la Tierra joven.

Para encontrar la distribución de probabilidad condicional de p dados los datos, se utiliza el método Bayes' teorema, que algunos llaman regla de Bayes-Laplace. Habiendo encontrado la distribución de probabilidad condicional de p dados los datos, se puede calcular la probabilidad condicional, dados los datos, de que el sol salga mañana. Esa probabilidad condicional viene dada por la regla de sucesión. La probabilidad de que el sol salga mañana aumenta con el número de días en los que ha salido el sol hasta el momento. Específicamente, suponiendo que p tiene una distribución a priori que es uniforme en el intervalo [0,1] y que, dado el valor de p, el sol sale independientemente cada día con probabilidad p, la probabilidad condicional deseada es:

${displaystyle Pr({text{Sun rises tomorrow}mid {text{ Ha subido }k{text{ times previously}})={frac {int ¿Qué? ¿Por qué? {k+1}{k+2}}$

Por esta fórmula, si se ha observado que el sol se eleva 10000 veces antes, la probabilidad que se eleva al día siguiente es ${displaystyle 10001/10002approx 0.99990002}$. Expresado como porcentaje, esto es aproximadamente un ${displaystyle 99.990002}$ azar.

Sin embargo, Laplace reconoció que se trataba de una mala aplicación de la regla de sucesión al no tener en cuenta toda la información previa disponible inmediatamente después de derivar el resultado:

Pero este número [la probabilidad del sol que viene mañana] es mucho mayor para él que, viendo en la totalidad de los fenómenos el principio que regula los días y las estaciones, se da cuenta de que nada en este momento puede detener el curso de él.

E.T. Jaynes señaló que los trabajadores del campo habían hecho caso omiso de la advertencia de Laplace.

Surge un problema de clase de referencia: la plausibilidad inferida dependerá de si tomamos la experiencia pasada de una persona, de la humanidad o de la tierra. Una consecuencia es que cada referente tendría una plausibilidad diferente de la afirmación. En el bayesianismo, cualquier probabilidad es una probabilidad condicional dado lo que se sabe. Eso varía de una persona a otra.