Problema de Waring

En teoría de números, el problema de Waring pregunta si cada número natural k tiene asociado un entero positivo s tal que todo número natural número es la suma de como máximo s números naturales elevados a la potencia k. Por ejemplo, todo número natural es la suma de como máximo 4 cuadrados, 9 cubos o 19 cuartas potencias. El problema de Waring fue propuesto en 1770 por Edward Waring, de quien toma su nombre. Su respuesta afirmativa, conocida como el teorema de Hilbert-Waring, fue proporcionada por Hilbert en 1909. El problema de Waring tiene su propia clasificación de materias matemáticas, 11P05, 'Waring's problema y variantes".

Relación con el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

Mucho antes de que Waring planteara su problema, Diofanto había preguntado si todo número entero positivo podía representarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos mayores o iguales a cero. Esta pregunta más tarde se conoció como la conjetura de Bachet, después de la traducción de Diofanto de 1621 por Claude Gaspard Bachet de Méziriac, y fue resuelta por Joseph-Louis Lagrange en su teorema de los cuatro cuadrados en 1770, el mismo año en que Waring hizo su conjetura. Waring buscó generalizar este problema tratando de representar todos los números enteros positivos como la suma de cubos, números enteros a la cuarta potencia, etc., para mostrar que cualquier número entero positivo puede representarse como la suma de otros números enteros elevados a un exponente específico, y que siempre había un número máximo de números enteros elevados a cierto exponente requerido para representar todos los números enteros positivos de esta manera.

El número g(k)

Por todos k{displaystyle k}, vamos g()k){displaystyle g(k)} denota el número mínimo s{displaystyle s} de k{displaystyle k}los poderes de los naturales necesarios para representar a todos los enteros positivos. Cada entero positivo es la suma de un primer poder, en sí mismo, así que g()1)=1{displaystyle g(1)=1}. Algunos computaciones simples muestran que 7 requiere 4 plazas, 23 requiere 9 cubos, y 79 requiere 19 cuartas potencias; estos ejemplos muestran que g()2)≥ ≥ 4{displaystyle g(2)geq 4}, g()3)≥ ≥ 9{displaystyle g(3)geq 9}, y g()4)≥ ≥ 19{displaystyle g(4)geq 19}. Waring conjetura que estos límites inferiores eran en realidad valores exactos.

El teorema de cuatro cuadras de Lagrange de 1770 declara que cada número natural es la suma de la mayoría de cuatro plazas. Puesto que tres cuadrados no son suficientes, este teorema establece g()2)=4{displaystyle g(2)=4}. El teorema de cuatro cuadras de Lagrange fue conjeturado en la edición 1621 de Bachet de Arithmetica de Diophantus; Fermat afirmó tener una prueba, pero no la publicó.

A lo largo de los años se establecieron varios límites, utilizando técnicas de prueba cada vez más sofisticadas y complejas. Por ejemplo, Liouville mostró que g()4){displaystyle g(4)} al menos 53. Hardy y Littlewood demostraron que todos los números suficientemente grandes son la suma de la mayoría de 19 cuartas potencias.

Que g()3)=9{displaystyle g(3)=9} fue establecido de 1909 a 1912 por Wieferich y A. J. Kempner, g()4)=19{displaystyle g(4)=19} en 1986 por R. Balasubramanian, F. Dress, y J.-M. Deshouillers, g()5)=37{displaystyle g(5)=37} en 1964 por Chen Jingrun, y g()6)=73{displaystyle g(6)=73} en 1940 por Pillai.

Vamos ⌊ ⌊ x⌋ ⌋ {displaystyle lfloor xrfloor } y {}x}{displaystyle {x}} respectivamente denota la parte integral y fraccional de un número real positivo x{displaystyle x}. Dado el número <math alttext="{displaystyle c=2^{k}lfloor (3/2)^{k}rfloor -1c=2k⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ − − 1.3k{displaystyle c=2^{k}lfloor (3/2)^{k}rfloor - 1 = 0}<img alt="{displaystyle c=2^{k}lfloor (3/2)^{k}rfloor -1, sólo 2k{displaystyle 2^{k} y 1k{displaystyle 1^{k} se puede utilizar para representar c{displaystyle c}; la representación más económica requiere ⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ − − 1{displaystyle lfloor (3/2)}rfloor -1} términos de 2k{displaystyle 2^{k} y 2k− − 1{displaystyle 2^{k}-1} términos de 1k{displaystyle 1^{k}. De ello se desprende que g()k){displaystyle g(k)} es al menos tan grande como 2k+⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ − − 2{displaystyle 2^{k}+lfloor (3/2)}rfloor -2}. Esto fue señalado por J. A. Euler, hijo de Leonhard Euler, en aproximadamente 1772. Trabajos posteriores de Dickson, Pillai, Rubugunday, Niven y muchos otros han demostrado que

2^{k}{text{ and }}lfloor (4/3)^{k}rfloor lfloor (3/2)^{k}rfloor +lfloor (4/3)^{k}rfloor +lfloor (3/2)^{k}rfloor =2^{k},\2^{k}+lfloor (3/2)^{k}rfloor +lfloor (4/3)^{k}rfloor -3&{text{if}}quad 2^{k}{(3/2)^{k}}+lfloor (3/2)^{k}rfloor >2^{k}{text{ and }}lfloor (4/3)^{k}rfloor lfloor (3/2)^{k}rfloor +lfloor (4/3)^{k}rfloor +lfloor (3/2)^{k}rfloor >2^{k}.end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">g()k)={}2k+⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ − − 2si2k{}()3/2)k}+⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ ≤ ≤ 2k,2k+⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ +⌊ ⌊ ()4/3)k⌋ ⌋ − − 2si2k{}()3/2)k}+⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ ■2ky⌊ ⌊ ()4/3)k⌋ ⌋ ⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ +⌊ ⌊ ()4/3)k⌋ ⌋ +⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ =2k,2k+⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ +⌊ ⌊ ()4/3)k⌋ ⌋ − − 3si2k{}()3/2)k}+⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ ■2ky⌊ ⌊ ()4/3)k⌋ ⌋ ⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ +⌊ ⌊ ()4/3)k⌋ ⌋ +⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ ■2k.{displaystyle g(k)={cases}2^{k}+lfloor (3/2)^{k}rfloor -2 {text{if}quad 2^{k}{k}\2\\fnK}rfloor leq 2^{k},2^{k}+lfloor (3/2)^{k}rfloor +lfloor (4/3)^{k}rfloor}rfloor -2 {text{if}quad 2^{k}{(3/2)}\\lfloor (3/2)^{k}rfloor =2^{k},2^{k}+lfloor (3/2)^{k}rfloor +lfloor (4/3)^{k}rfloor -3 {text{if}quad ################################################################################################################################################################################################################################################################2^{k}{text{ and }}lfloor (4/3)^{k}rfloor lfloor (3/2)^{k}rfloor +lfloor (4/3)^{k}rfloor +lfloor (3/2)^{k}rfloor =2^{k},\2^{k}+lfloor (3/2)^{k}rfloor +lfloor (4/3)^{k}rfloor -3&{text{if}}quad 2^{k}{(3/2)^{k}}+lfloor (3/2)^{k}rfloor >2^{k}{text{ and }}lfloor (4/3)^{k}rfloor lfloor (3/2)^{k}rfloor +lfloor (4/3)^{k}rfloor +lfloor (3/2)^{k}rfloor >2^{k}.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6384c6014da0ae4aa0674ccfffda6af92b3465" style="vertical-align: -4.171ex; width:122.88ex; height:9.509ex;"/>

No hay valor k{displaystyle k} es conocido por 2^{k}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">2k{}()3/2)k}+⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ ■2k{fnMicrosoft Sans Serif}\fnMicrosoft Sans Serif}\fnMicrosoft Sans Serif}.2^{k}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54cdaee28a0d8edff65c6743fa873b10709948f8" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.602ex; height:3.176ex;"/>. Mahler demostró que sólo puede haber un número finito de tales k{displaystyle k}, y Kubina y Wunderlich han demostrado que k{displaystyle k} debe satisfacer 471,600,000}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k■471600000{displaystyle k confiar471,600,000}471,600,000}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4afe4ed3da3347055fc112d8ebaf157c249518b7" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.546ex; height:2.176ex;"/>. Así se conjetura que esto nunca sucede, es decir, g()k)=2k+⌊ ⌊ ()3/2)k⌋ ⌋ − − 2{displaystyle g(k)=2^{k}+lfloor (3/2)}rfloor -2} para cada entero positivo k{displaystyle k}.

Los primeros valores de g()k){displaystyle g(k)} son:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899,... (secuencia) A002804 en el OEIS).

El número G(k)

A partir del trabajo de Hardy y Littlewood, se estudió la cantidad relacionada G(k) con g(k). G(k) se define como el menor entero positivo s tal que todo entero suficientemente grande (es decir, todo entero mayor que alguna constante) puede representarse como una suma de como máximo s enteros positivos a la potencia de k. Claramente, G(1) = 1. Dado que los cuadrados son congruentes con 0, 1 o 4 (mod 8), ningún entero congruente con 7 (mod 8) puede representarse como una suma de tres cuadrados, lo que implica que G(2) ≥ 4. Dado que G(k) ≤ g(k) para todos los k, esto muestra que G(2) = 4. Davenport demostró que G(4) = 16 en 1939, al demostrar que cualquier número suficientemente grande congruente con 1 a 14 mod 16 podría escribirse como un suma de 14 cuartas potencias (Vaughan en 1985 y 1989 redujo las 14 sucesivamente a 13 y 12). Se desconoce el valor exacto de G(k) para cualquier otro k, pero existen límites.

Límites inferiores para G(k)

El número G(k) es mayor o igual que

2r+2	si k = 2r con r ≥ 2, o k = 3 × 2r;
pr+ 1	si p es un primo mayor de 2 y k = pr()p − 1);
()pr+ 1 −1)/2	si p es un primo mayor de 2 y k = pr(p −1)/2;
k + 1	para todos los enteros k superior a 1.

En ausencia de restricciones de congruencia, un argumento de densidad sugiere que G(k) debería ser igual a k + 1.

Límites superiores para G(k)

G(3) es al menos 4 (ya que los cubos son congruentes con 0, 1 o −1 mod 9); para números inferiores a 1,3×10⁹, 1290740 es el último en requerir 6 cubos, y la cantidad de números entre N y 2N que requieren 5 cubos caen al aumentar N a una velocidad suficiente para que la gente crea que G(3) = 4; el número más grande que ahora se sabe que no es una suma de 4 cubos es 7373170279850, y los autores dan argumentos razonables para que esto sea lo más grande posible. El límite superior G(3) ≤ 7 se debe a Linnik en 1943. (Todos los enteros no negativos requieren como máximo 9 cubos, y los enteros más grandes requieren Se conjetura que 9, 8, 7, 6 y 5 cubos son 239, 454, 8042, 1290740 y 7373170279850, respectivamente).

13792 es el número más grande que requiere 17 cuartas potencias (Deshouillers, Hennecart y Landreau demostraron en 2000 que cada número entre 13 793 y 10²⁴⁵ requeridos como máximo 16, y Kawada, Wooley y Deshouillers extendieron Davenport's resultado de 1939 para mostrar que cada número por encima de 10²²⁰ requiere no más de 16). Los números de la forma 31·16ⁿ siempre requieren 16 cuartas potencias.

617597724 es el último número menor que 1.3×10 ⁹ que requiere 10 quintas potencias y 51033 617 es el último número menor que 1,3×10⁹ que requiere 11.

Los límites superiores a la derecha con k = 5, 6,..., 20 se deben a Vaughan y Wooley.

Usando su método mejorado de Hardy-Littlewood, I. M. Vinogradov publicó numerosos refinamientos que llevaron a

G()k)≤ ≤ k()3log⁡ ⁡ k+11){displaystyle G(k)leq k(3log k+11)}

en 1947 y, finalmente,

G()k)≤ ≤ k()2log⁡ ⁡ k+2log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ k+Clog⁡ ⁡ log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ k){displaystyle G(k)leq k(2log k+2log log k+ Clog log log k)}

para una constante C no especificada y k suficientemente grande en 1959.

Aplicando su forma p-adic del método Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov para estimar las sumas trigonométricas, en las que se toma la suma sobre números con divisores primos pequeños, Anatolii Alexeevitch Karatsuba obtuvo (1985) una nueva estimación de la función Hardy G()k){displaystyle G(k)} (por k≥ ≥ 400{displaystyle kgeq 400}):

<math alttext="{displaystyle G(k)G()k).2klog⁡ ⁡ k+2klog⁡ ⁡ log⁡ ⁡ k+12k.{displaystyle G(k) obtenidos2klog k+2klog log k+12k.}<img alt="{displaystyle G(k)

Vaughan obtuvo mejoras adicionales en 1989.

Wooley luego estableció que para alguna C constante,

G()k)≤ ≤ klog⁡ ⁡ k+klog⁡ ⁡ log⁡ ⁡ k+Ck.{displaystyle G(k)leq klog k+klog log k+Ck.}

Vaughan y Wooley han escrito un artículo de encuesta completo.