Problema de tres cuerpos

En física y mecánica clásica, el problema de los tres cuerpos es el problema de tomar las posiciones y velocidades iniciales (o momentos) de tres masas puntuales y resolver su movimiento posterior según Newton. Las leyes del movimiento y la ley de gravitación universal de Newton. El problema de los tres cuerpos es un caso especial del problema de los n cuerpos. A diferencia de los problemas de dos cuerpos, no existe una solución general de forma cerrada, ya que el sistema dinámico resultante es caótico para la mayoría de las condiciones iniciales y generalmente se requieren métodos numéricos.

Históricamente, el primer problema específico de tres cuerpos que recibió un estudio extenso fue el que involucra a la Luna, la Tierra y el Sol. En un sentido moderno ampliado, un problema de tres cuerpos es cualquier problema de la mecánica clásica o la mecánica cuántica que modele el movimiento de tres partículas.

Descripción matemática

La declaración matemática del problema de tres cuerpos se puede dar en términos de las ecuaciones Newtonianas de movimiento para posiciones vectoriales ${\displaystyle \mathbf {} =(x_{i},y_{i},z_{i}}$ de tres cuerpos de interacción gravitacional con masas ${\displaystyle m_{i}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\fnMitbf} ♪♪♪ {1} } {\fnK} - Mamá. Oh, Dios mío. - Mamá. Silencio. {\fnK} - Mathbf {r_{3} Oh, Dios mío. - Matt. ♪♪♪ {2} {\fnK} - Mathbf {r_{3} Oh, Dios mío. - Mathbf {r_{3} Silencio. {\fnK} - Mamá. Oh, Dios mío. - Mamá. Silencio. }_{\mathbf {3} } {=-Gm_{1}{\frac {\fnK} - Mamá. Oh, Dios mío. - Mamá. Silencio. {\fnK} - Mamá. Oh, Dios mío. - Mathbf {r_{2} {3}}$

Donde ${\displaystyle G.$ es la constante gravitacional. Este es un conjunto de nueve ecuaciones diferenciales de segundo orden. El problema también se puede decir equivalentemente en el formalismo Hamiltoniano, en cuyo caso se describe por un conjunto de 18 ecuaciones diferenciales de primer orden, una para cada componente de las posiciones ${\displaystyle \mathbf {}}$ and momenta ${\displaystyle \mathbf {}}$:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {}}} {\fnK}= {\fnMicroc {\fnMitcal {H}}{\partial \mathbf {\fnMicroc} {d\Mathbf {} } {dt}=-{\frac {\fnMitcal {\f} {\fnMithbf {}}}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}$

Donde ${\displaystyle {\Mathcal {H}}$ es el Hamiltonian:

${\fnMicroc}= {Gm_{1}m_{2} {\fnMitbf} {} - Mamá. Silencio. {Gm_{2}m_{3} {\fnMitbf} {} - Mamá. Silencio. {Gm_{3}m_{1} {\fnMitbf} {} - Mamá. Silencio. {p_{1} ¿Qué? {\fnMicrosoft} {p_{2} ^{2}{2m_{2}}+{\frac {\fnMicrosoft} {p_{3} ^{2}{2m_{3}}}$

En este caso ${\displaystyle {\Mathcal {H}}$ es simplemente la energía total del sistema, gravitacional más cinético.

Problema restringido de tres cuerpos

En el Problema de tres cuerpos restringido, un cuerpo de masa insignificante (la "planetoide") se mueve bajo la influencia de dos cuerpos masivos. Tener una masa insignificante, la fuerza que el planetaoide ejerce sobre los dos cuerpos masivos puede ser descuidada, y el sistema puede ser analizado y puede ser descrito en términos de un movimiento de dos cuerpos. Con respecto a un marco de referencia giratorio, los dos cuerpos coorbitantes son estacionarios, y el tercero puede ser estacionario también en los puntos de Lagrangia, o moverse a su alrededor, por ejemplo en una órbita herradura. Puede ser útil considerar el potencial eficaz. Normalmente este movimiento de dos cuerpos se toma para consistir en órbitas circulares alrededor del centro de masa, y se supone que el planetaide se mueve en el plano definido por las órbitas circulares.

El problema restringido de los tres cuerpos es más fácil de analizar teóricamente que el problema completo. También es de interés práctico, ya que describe con precisión muchos problemas del mundo real, siendo el ejemplo más importante el sistema Tierra-Luna-Sol. Por estas razones, ha ocupado un papel importante en el desarrollo histórico del problema de los tres cuerpos.

Matemáticamente, el problema se declara como sigue. Vamos. ${\displaystyle m_{1,2}}$ ser las masas de los dos cuerpos masivos, con (planar) coordenadas ${\displaystyle (x_{1},y_{1}$ y ${\displaystyle (x_{2},y_{2}$, y dejar ${\displaystyle (x,y)}$ sean las coordenadas del planetaide. Para la simplicidad, elija unidades tales que la distancia entre los dos cuerpos masivos, así como la constante gravitacional, son ambos iguales a ${\displaystyle 1}$. Entonces, el movimiento del planeta es dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac} {2}x} {dt^{2}}=-m_{1}{\frac} {\f} {\f} {\f}} {\f} {\fn}}}} {\f}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}} {\f}}}}}} {\fn\f}}} {\f}}}} {\f}}\f}}}}}}}}}}}}}\f} {\f} {\f} {\f} {\f}\f} {\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f} {x-x_{1}{1} {3}-m_{2}{2}{\frac} {x-x_{2} {r_{2}}}}\\{\\fnMic {\fnK} {\fnMicroc} {\fnK}}} {\fnMicroc}} {\f}}} {\f}}} {\f} {\f}}} {\fn}}}}}}} {\f}} {\f} {\f}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}\f}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f}} {\f}}} {\f} {\f}\f}\f}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {y-y_{1}{1} {3}-m_{2}{\frac} {\f} {\fnK} {\f}} {\fnK}} {y-y_{2}{2}} {}} {\fnK}}} {\fnK}} {\f}}} {\f}}} {\fn}}} {\fnK}}}}}}}} {\fn\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Donde ${\displaystyle [R_{i}={\sqrt {x-x_{i}{2}+(y-y-y_{i}}}}}$. En esta forma las ecuaciones de movimiento llevan una dependencia temporal explícita a través de las coordenadas ${\displaystyle x_{i}(t),y_{i}(t)}$. Sin embargo, esta dependencia temporal se puede eliminar mediante una transformación a un marco de referencia giratorio, que simplifica cualquier análisis posterior.

Soluciones

Solución general

No hay una solución general de forma cerrada al problema de tres cuerpos, lo que significa que no hay una solución general que pueda expresarse en términos de un número finito de operaciones matemáticas estándar. Moreover, the motion of three bodies is generally non-repeating, except in special cases.

Sin embargo, en 1912 el matemático finlandés Karl Fritiof Sundman demostró que existe una solución analítica al problema de tres cuerpos en forma de una serie Puiseux, específicamente una serie de poder en términos de poderes de t^1/3. Esta serie converge para todo lo real t, excepto las condiciones iniciales correspondientes a cero impulso angular. En la práctica, esta última restricción es insignificante ya que las condiciones iniciales con cero impulso angular son raras, teniendo Lebesgue medida cero.

Una cuestión importante a la hora de probar este resultado es el hecho de que el radio de convergencia de esta serie está determinado por la distancia a la singularidad más cercana. Por tanto, es necesario estudiar las posibles singularidades de los problemas de los tres cuerpos. Como se analiza brevemente a continuación, las únicas singularidades en el problema de los tres cuerpos son las colisiones binarias (colisiones entre dos partículas en un instante) y las colisiones triples (colisiones entre tres partículas en un instante).

Las colisiones, ya sean binarias o triples (de hecho, cualquier número), son algo improbables, ya que se ha demostrado que corresponden a un conjunto de condiciones iniciales de medida cero. Sin embargo, no se conoce ningún criterio que se pueda aplicar al estado inicial para evitar colisiones en la solución correspondiente. Entonces la estrategia de Sundman consistió en los siguientes pasos:

1. Utilizando un cambio adecuado de variables para seguir analizando la solución más allá de la colisión binaria, en un proceso conocido como regularización.
2. Probando que las colisiones triples sólo ocurren cuando el impulso angular L desaparece. Limitando los datos iniciales a L ل 0, él quitó todo real singularidades de las ecuaciones transformadas para el problema de tres cuerpos.
3. Mostrar eso si L ل 0, entonces no sólo puede no haber una colisión triple, pero el sistema está estrictamente atado lejos de una colisión triple. Esto implica, usando el teorema de existencia de Cauchy para ecuaciones diferenciales, que no hay singularidades complejas en una tira (dependiendo del valor de L) en el plano complejo centrado alrededor del eje real (shades de Kovalevskaya).
4. Encuentra una transformación conformal que mapea esta tira en el disco de unidad. Por ejemplo, si s = t^1/3 (la nueva variable después de la regularización) y si SilencioIn s■ ≤ β, entonces este mapa es dado por
   $${\displaystyle \sigma ={\frac {\fnMicroc} {\pi s}{2\beta - Sí. {\pi s}{2\beta - Sí.$$

   

Esto termina la prueba del teorema de Sundman.

La serie correspondiente, sin embargo, converge muy lentamente. Es decir, obtener un valor de precisión significativa requiere tantos términos que esta solución es de poco uso práctico. De hecho, en 1930, David Beloriszky calculó que si la serie de Sundman fuera utilizada para las observaciones astronómicas, entonces las computaciones implicarían al menos 10^8000000 términos.

Soluciones para casos especiales

En 1767, Leonhard Euler encontró tres familias de soluciones periódicas en las que las tres masas son colineales en cada instante. Véase el problema de los tres cuerpos de Euler.

En 1772, Lagrange encontró una familia de soluciones en las que las tres masas forman un triángulo equilátero en cada instante. Junto con las soluciones colineales de Euler, estas soluciones forman las configuraciones centrales del problema de los tres cuerpos. Estas soluciones son válidas para cualquier relación de masas y las masas se mueven en elipses keplerianas. Estas cuatro familias son las únicas soluciones conocidas para las que existen fórmulas analíticas explícitas. En el caso especial del problema circular restringido de tres cuerpos, estas soluciones, vistas en un marco que gira con los primarios, se convierten en puntos denominados L₁, L₂, L₃, L₄ y L₅, y llamados puntos lagrangianos, con L₄ y L₅ siendo instancias simétricas de la solución de Lagrange.

En un trabajo resumido en 1892-1899, Henri Poincaré estableció la existencia de un número infinito de soluciones periódicas al problema restringido de los tres cuerpos, junto con técnicas para continuar estas soluciones en el problema general de los tres cuerpos.

En 1893, Meissel planteó lo que ahora se llama el problema pitagórico de los tres cuerpos: tres masas en la proporción 3:4:5 se colocan en reposo en los vértices de un triángulo rectángulo de 3:4:5. Burrau investigó más a fondo este problema en 1913. En 1967, Victor Szebehely y C. Frederick Peters establecieron una posible salida para este problema mediante la integración numérica, y al mismo tiempo encontraron una solución periódica cercana.

En la década de 1970, Michel Hénon y Roger A. Broucke encontraron cada uno un conjunto de soluciones que forman parte de la misma familia de soluciones: la familia Broucke-Henon-Hadjidemetriou. En esta familia, los tres objetos tienen la misma masa y pueden exhibir formas tanto retrógradas como directas. En algunas de las soluciones de Broucke, dos de los cuerpos siguen el mismo camino.

En 1993, el físico Cris Moore del Instituto Santa Fe descubrió numéricamente una solución de momento angular cero con tres masas iguales moviéndose alrededor de una forma de ocho. Su existencia formal fue demostrada posteriormente en 2000 por los matemáticos Alain Chenciner y Richard Montgomery. Se ha demostrado numéricamente que la solución es estable ante pequeñas perturbaciones de la masa y los parámetros orbitales, lo que hace posible que tales órbitas puedan observarse en el universo físico. Sin embargo, se ha argumentado que esto es poco probable ya que el dominio de estabilidad es pequeño. Por ejemplo, se ha estimado que la probabilidad de que un evento de dispersión binario-binario dé como resultado una órbita en forma de 8 es una pequeña fracción de un porcentaje.

En 2013, los físicos Milovan Šuvakov y Veljko Dmitrašinović del Instituto de Física de Belgrado descubrieron 13 nuevas familias de soluciones para el problema de tres cuerpos de igual masa y momento angular cero.

En 2015, la física Ana Hudomal descubrió 14 nuevas familias de soluciones para el problema de tres cuerpos de igual masa y momento angular cero.

En 2017, los investigadores Xiaoming Li y Shijun Liao encontraron 669 nuevas órbitas periódicas del problema de tres cuerpos de igual masa y momento angular cero. A esto le siguieron en 2018 1223 nuevas soluciones adicionales para un sistema de momento angular cero de masas desiguales.

En 2018, Li y Liao informaron 234 soluciones al fenómeno de "caída libre" de masa desigual. problema de los tres cuerpos. La formulación de caída libre del problema de los tres cuerpos comienza con los tres cuerpos en reposo. Debido a esto, las masas en una configuración de caída libre no orbitan en un "bucle" cerrado, sino que viajan hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una "pista" abierta.

En 2023, Ivan Hristov, Radoslava Hristova, Dmitrašinović y Kiyotaka Tanikawa publicaron una búsqueda de "órbitas periódicas de caída libre" problema de tres cuerpos, limitado al caso de igual masa, en el que encontraron 12.409 soluciones distintas.

Enfoques numéricos

Utilizando una computadora, el problema se puede resolver con una precisión arbitrariamente alta mediante integración numérica, aunque la alta precisión requiere una gran cantidad de tiempo de CPU. Ha habido intentos de crear programas de computadora que resuelvan numéricamente el problema de los tres cuerpos (y, por extensión, el problema de los n cuerpos) que involucren interacciones electromagnéticas y gravitacionales, e incorporen teorías modernas de la física como la relatividad especial. Además, utilizando la teoría de los paseos aleatorios, se puede calcular una probabilidad aproximada de diferentes resultados.

Historia

El problema gravitacional de tres cuerpos en su sentido tradicional data esencialmente de 1687, cuando Isaac Newton publicó su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, cuando Newton intentaba descubrir si es posible una estabilidad a largo plazo. , especialmente el sistema de nuestra Tierra, la Luna y el Sol. Los grandes astrónomos del Renacimiento, Nicolás Copérnico, Tycho Brahe y Johannes Kepler lo guiaron hasta el comienzo del problema gravitacional de los tres cuerpos. En la Proposición 66 del Libro 1 de los Principia y sus 22 Corolarios, Newton dio los primeros pasos en la definición y estudio del problema de los movimientos de tres cuerpos masivos sujetos a sus atracciones gravitacionales mutuamente perturbadoras. En las Proposiciones 25 a 35 del Libro 3, Newton también dio los primeros pasos al aplicar sus resultados de la Proposición 66 a la teoría lunar, el movimiento de la Luna bajo la influencia gravitacional de la Tierra y el Sol. Posteriormente, este problema también se aplicó a otros planetas. Interacciones con la Tierra y el Sol.

El problema físico fue abordado por primera vez por Amerigo Vespucci y posteriormente por Galileo Galilei, así como por Simon Stevin, pero no se dieron cuenta de lo que aportaban. Aunque Galileo determinó que la velocidad de caída de todos los cuerpos cambia uniformemente y de la misma manera, no lo aplicó a los movimientos planetarios. Mientras que en 1499, Vespucci utilizó el conocimiento de la posición de la Luna para determinar su posición en Brasil. Adquirió importancia técnica en la década de 1720, ya que una solución precisa sería aplicable a la navegación, específicamente para la determinación de la longitud en el mar, resuelta en la práctica con la invención del cronómetro marino de John Harrison. Sin embargo, la precisión de la teoría lunar era baja debido al efecto perturbador del Sol y los planetas sobre el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra.

Jean le Rond d'Alembert y Alexis Clairaut, quienes desarrollaron una rivalidad de larga data, intentaron analizar el problema con cierto grado de generalidad; presentaron sus primeros análisis competitivos a la Académie Royale des Sciences en 1747. Fue en relación con su investigación, en París durante la década de 1740, que surgió el nombre "problema de los tres cuerpos". (Francés: Problème des trois Corps) comenzó a usarse comúnmente. Un relato publicado en 1761 por Jean le Rond d'Alembert indica que el nombre se utilizó por primera vez en 1747.

Desde finales del siglo XIX hasta principios del siglo XX, los científicos desarrollaron el enfoque para resolver el problema de los tres cuerpos mediante el uso de fuerzas atractivas de dos cuerpos de corto alcance, que ofrecieron a P.F. Bedaque, H.-W. Hammer y U. van Kolck idearon una idea para renormalizar el problema de los tres cuerpos de corto alcance, lo que proporcionó a los científicos un raro ejemplo de un ciclo límite de grupo de renormalización a principios del siglo XXI. George William Hill trabajó en el problema restringido a finales del siglo XIX con una aplicación del movimiento de Venus y Mercurio.

A principios del siglo XX, Karl Sundman abordó el problema matemática y sistemáticamente proporcionando una prueba teórica de función válida para todos los valores del tiempo. Fue la primera vez que los científicos resolvieron teóricamente el problema de los tres cuerpos. Sin embargo, debido a que no había suficiente solución cualitativa para este sistema y los científicos tardaron demasiado en aplicarlo en la práctica, esta solución aún dejó algunos problemas sin resolver. En la década de 1970, V. Efimov descubrió la implicación de las fuerzas de tres cuerpos a partir de dos cuerpos, lo que fue denominado efecto Efimov.

En 2017, Shijun Liao y Xiaoming Li aplicaron una nueva estrategia de simulación numérica para sistemas caóticos llamada simulación numérica limpia (CNS), con el uso de una supercomputadora nacional, para obtener con éxito 695 familias de soluciones periódicas de las tres sistema corporal con igual masa.

En 2019, Breen et al. anunció un solucionador rápido de redes neuronales para el problema de los tres cuerpos, entrenado utilizando un integrador numérico.

Según los informes, en septiembre de 2023 se encontraron varias soluciones posibles al problema.

Otros problemas que involucran tres cuerpos

El término "problema de los tres cuerpos" A veces se utiliza en el sentido más general para referirse a cualquier problema físico que implique la interacción de tres cuerpos.

Un análogo mecánico-cuántico del problema gravitacional de los tres cuerpos en la mecánica clásica es el átomo de helio, en el que un núcleo de helio y dos electrones interactúan según la interacción de Coulomb del cuadrado inverso. Como el problema gravitacional de tres cuerpos, el átomo de helio no se puede resolver exactamente.

Sin embargo, tanto en la mecánica clásica como en la cuántica, existen leyes de interacción no triviales además de la fuerza del cuadrado inverso que conducen a soluciones analíticas exactas de tres cuerpos. Uno de esos modelos consiste en una combinación de atracción armónica y una fuerza repulsiva del cubo inverso. Este modelo se considera no trivial ya que está asociado con un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales que contienen singularidades (en comparación, por ejemplo, con interacciones armónicas solas, que conducen a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de fácil solución). En estos dos aspectos, es análogo a los modelos (insolubles) que tienen interacciones de Coulomb y, como resultado, se ha sugerido como una herramienta para comprender intuitivamente sistemas físicos como el átomo de helio.

Dentro del modelo de vórtice puntual, el movimiento de los vórtices en un fluido ideal bidimensional se describe mediante ecuaciones de movimiento que contienen sólo derivadas temporales de primer orden. Es decir. A diferencia de la mecánica newtoniana, es la velocidad y no la aceleración la que está determinada por sus posiciones relativas. Como consecuencia, el problema de los tres vórtices sigue siendo integrable, mientras que se requieren al menos cuatro vórtices para obtener un comportamiento caótico. Se pueden establecer paralelos entre el movimiento de una partícula trazadora pasiva en el campo de velocidades de tres vórtices y el problema restringido de los tres cuerpos de la mecánica newtoniana.

El problema gravitacional de los tres cuerpos también se ha estudiado utilizando la relatividad general. Físicamente, un tratamiento relativista se vuelve necesario en sistemas con campos gravitacionales muy fuertes, como cerca del horizonte de sucesos de un agujero negro. Sin embargo, el problema relativista es considerablemente más difícil que en la mecánica newtoniana y se requieren técnicas numéricas sofisticadas. Incluso el problema completo de dos cuerpos (es decir, de una relación arbitraria de masas) no tiene una solución analítica rigurosa en la relatividad general.

Problema de N-cuerpos

El problema de los tres cuerpos es un caso especial del problema de los n cuerpos, que describe cómo n objetos se mueven bajo uno. de las fuerzas físicas, como la gravedad. Estos problemas tienen una solución analítica global en forma de una serie de potencias convergentes, como lo demostraron Karl F. Sundman para n = 3 y Qiudong. Wang para n > 3 (ver problema de n cuerpos para más detalles). Sin embargo, las series de Sundman y Wang convergen tan lentamente que resultan inútiles para fines prácticos; por lo tanto, actualmente es necesario aproximar soluciones mediante análisis numérico en forma de integración numérica o, para algunos casos, aproximaciones de series trigonométricas clásicas (ver simulación de n cuerpos). Sistemas atómicos, p.e. átomos, iones y moléculas pueden tratarse en términos del problema cuántico de n-cuerpo. Entre los sistemas físicos clásicos, el problema de los n suele referirse a una galaxia o a un cúmulo de galaxias; Los sistemas planetarios, como estrellas, planetas y sus satélites, también pueden tratarse como sistemas n. Algunas aplicaciones se tratan convenientemente mediante la teoría de la perturbación, en la que el sistema se considera como un problema de dos cuerpos más fuerzas adicionales que causan desviaciones de una trayectoria hipotética de dos cuerpos no perturbados.