Problema de numero de clase

En matemáticas, la Problema del número de clase Gauss ()para campos cuadráticos imaginarios), como se entiende generalmente, es proveer para cada uno n≥ 1 lista completa de campos cuadráticos imaginarios ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {d})}$ (para números enteros negativos dTener número de clase n. Es nombrado por Carl Friedrich Gauss. También se puede decir en términos de discriminantes. Hay preguntas relacionadas para campos cuadráticos reales y para el comportamiento como ${displaystyle dto -infty$.

La dificultad está en el cálculo efectivo de los límites: para un discriminante dado, es fácil calcular el número de clase, y hay varios límites inferiores ineficaces en el número de clase (lo que significa que implican una constante que no se calcula), pero los límites efectivos (y las pruebas explícitas de integridad de las listas) son más difíciles.

Las conjeturas originales de Gauss

Los problemas se plantean en las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss de 1801 (Sección V, Artículos 303 y 304).

Gauss analiza los campos cuadráticos imaginarios en el artículo 303, estableciendo las dos primeras conjeturas, y analiza los campos cuadráticos reales en el artículo 304, estableciendo la tercera conjetura.

Conjetura de Gauss (número de clase tiende a la infinidad)

${displaystyle h(d)to infty {text{ as }dto -infty.}$

Problema del número de clase Gauss (listas de números de clase baja)

Para el número de clase baja dado (como 1, 2, y 3), Gauss da listas de campos cuadráticos imaginarios con el número de clase dado y cree que están completos.

Infinitamente muchos campos cuadráticos reales con la clase número uno

Gauss conjetura que hay infinitamente muchos campos cuadráticos reales con la clase número uno.

El problema original de números de clase de Gauss para campos cuadráticos imaginarios es significativamente diferente y más fácil que la declaración moderna: restringió a discriminantes pares y permitió discriminantes no fundamentales.

Estado

Conjetura de Gauss

resuelto, Heilbronn, 1934.

Listas de números de clase baja

clase número 1: resuelto, Baker (1966), Stark (1967), Heegner (1952).

Clase número 2: resuelto, Baker (1971), Stark (1971)

Clase número 3: resuelto, Oesterlé (1985)

Números de clase h hasta 100: resuelto, Watkins 2004

Infinitamente muchos campos cuadráticos reales con la clase número uno

Abre.

Listas de discriminantes de la clase número 1

Para campos de números cuadráticos imaginarios, los discriminantes (fundamentales) de la clase número 1 son:

${displaystyle d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163.}$

Los discriminantes no fundamentales de la clase número 1 son:

${displaystyle d=-12,-16,-27,-28.}$

Así, los discriminantes pares de la clase número 1, fundamental y no fundamental (pregunta original de Gauss) son:

${displaystyle d=-4,-8,-12,-16,-28.}$

Desarrollos modernos

En 1934, Hans Heilbronn demostró la conjetura de Gauss. De manera equivalente, para cualquier número de clase dado, solo hay un número finito de campos de números cuadráticos imaginarios con ese número de clase.

También en 1934, Heilbronn y Edward Linfoot demostraron que había como máximo 10 campos de números cuadráticos imaginarios con clase número 1 (los 9 conocidos, y como máximo uno más). El resultado fue ineficaz (ver resultados efectivos en teoría de números): no dio límites al tamaño del campo restante.

En desarrollos posteriores, el caso n = 1 fue discutido por primera vez por Kurt Heegner, utilizando formas modulares y ecuaciones modulares para mostrar que no podría existir ningún campo similar. Este trabajo no fue aceptado inicialmente; Sólo con el trabajo posterior de Harold Stark y Bryan Birch (por ejemplo, sobre el teorema de Stark-Heegner y el número de Heegner) se aclaró la posición y se entendió el trabajo de Heegner. Prácticamente al mismo tiempo, Alan Baker demostró lo que ahora conocemos como el teorema de Baker sobre formas lineales en logaritmos de números algebraicos, lo que resolvió el problema con un método completamente diferente. El caso n = 2 fue abordado poco después, al menos en principio, como una aplicación del trabajo de Baker.

La lista completa de campos cuadráticos imaginarios con número de clase 1 es ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {d})}$ Donde d es uno de

${displaystyle -1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.}$

El caso general esperaba el descubrimiento de Dorian Goldfeld en 1976 de que el problema del número de clase podría conectarse a las funciones L de curvas elípticas. Esto redujo efectivamente la cuestión de la determinación efectiva a uno acerca de establecer la existencia de un cero múltiple de tal tipo L- Función. Con la prueba del teorema Gross-Zagier en 1986, una lista completa de campos cuadráticos imaginarios con un número de clase dado podría ser especificada por un cálculo finito. Todos los casos hasta n = 100 fueron computados por Watkins en 2004. El número de clase ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {-d})}$ para d = 1, 2, 3, es...

${displaystyle 1.1,1,2,1,1,1,1,2,1,2,4,1,4,1,1,1,2,4,2,3,2,1,6,1,6,4,3,1,...$ (secuencia) A202084 en el OEIS).

Campos cuadráticos reales

El caso contrastante de los campos cuadráticos reales es muy diferente y se sabe mucho menos. Esto se debe a que lo que entra en la fórmula analítica para el número de clase no es h, el número de clase, por sí solo, sino h log ε, donde ε es una unidad fundamental. Este factor adicional es difícil de controlar. Bien puede darse el caso de que la clase número 1 para campos cuadráticos reales ocurra con una frecuencia infinita.

Las heurísticas de Cohen-Lenstra son un conjunto de conjeturas más precisas sobre la estructura de grupos de clases de campos cuadráticos. Para campos reales, predicen que alrededor del 75,45% de los campos obtenidos al unir la raíz cuadrada de un primo tendrán la clase número 1, un resultado que concuerda con los cálculos.