Problema de la meseta

En matemáticas, el problema de Plateau es mostrar la existencia de una superficie mínima con un límite dado, un problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, lleva el nombre de Joseph Plateau, que experimentó con películas de jabón. El problema se considera parte del cálculo de variaciones. Los problemas de existencia y regularidad son parte de la teoría de la medida geométrica.

Historia

Se resolvieron varias formas especializadas del problema, pero fue solo en 1930 que Jesse Douglas y Tibor Radó encontraron soluciones generales en el contexto de mapeos (inmersiones) de forma independiente. Sus métodos eran bastante diferentes; El trabajo de Radó se basó en el trabajo anterior de René Garnier y se mantuvo solo para curvas cerradas simples rectificables, mientras que Douglas usó ideas completamente nuevas y su resultado se mantuvo para una curva cerrada simple arbitraria. Ambos se basaron en establecer problemas de minimización; Douglas minimizó la ahora llamada integral de Douglas mientras que Radó minimizó la 'energía'. Douglas pasó a recibir la Medalla Fields en 1936 por sus esfuerzos.

En dimensiones superiores

La extensión del problema a dimensiones superiores (es decir, para k{displaystyle k}- superficies dimensionales en n{displaystyle n}-espacio dimensional) resulta ser mucho más difícil de estudiar. Además, si bien las soluciones al problema original son siempre regulares, resulta que las soluciones al problema extendido pueden tener singularidades si las soluciones pueden tener k≤ ≤ n− − 2{displaystyle kleq n-2}. En el caso hipersuperficie donde k=n− − 1{displaystyle k=n-1}, singularidades ocurren sólo para n≥ ≥ 8{displaystyle ngeq 8}. Un ejemplo de tal solución singular del problema de la meseta es el cono de Simons, un cono sobre S3× × S3{displaystyle S^{3}times S^{3} dentro R8{displaystyle mathbb {R} {8}} que fue descrito por primera vez por Jim Simons y se mostró como un minimizador de área por Bombieri, De Giorgi y Giusti. Para resolver el problema extendido en algunos casos especiales, se ha desarrollado la teoría de los perímetros (De Giorgi) para la codimensión 1 y la teoría de las corrientes rectificables (Federer y Fleming). La teoría garantiza la existencia de soluciones de codimensión 1 que se suavizan de un conjunto cerrado de dimensión Hausdorff n− − 8{displaystyle n-8}. En el caso de la codimensión superior Almgren demostró la existencia de soluciones con singular conjunto de dimensión en la mayoría k− − 2{displaystyle k-2} en su teorema de regularidad. S. X. Chang, a estudiante de Almgren, construido sobre la obra de Almgren para demostrar que las singularidades de la zona 2-dimensional minimizar las corrientes integrales (en codimensión arbitraria) forman un conjunto discreto finito.

El enfoque axiomático de Jenny Harrison y Harrison Pugh trata una amplia variedad de casos especiales. En particular, resuelven el problema de la meseta anisótropa en dimensión y codimensión arbitrarias para cualquier colección de conjuntos rectificables que satisfagan una combinación de condiciones de expansión homológicas, cohomológicas u homotópicas generales. Camillo De Lellis, Francesco Ghiraldin y Francesco Maggi obtuvieron una prueba diferente de los resultados de Harrison-Pugh.

Aplicaciones físicas

Las películas de jabón físico son más precisas ()M,0,Δ Δ ){displaystyle (M,0,Delta)}- conjuntos mínimos de Frederick Almgren, pero la falta de un teorema de compactación hace difícil demostrar la existencia de un minimizador de área. En este contexto, una pregunta abierta persistente ha sido la existencia de una película de jabón de menor superficie. Ernst Robert Reifenberg resolvió un "problema universal de meseta" para límites que son homeomorfos a esferas incrustadas individuales.