Problema de kepler

En mecánica clásica, el problema de Kepler es un caso especial del problema de dos cuerpos, en el que los dos cuerpos interactúan mediante una fuerza central F que varía en intensidad. como el cuadrado inverso de la distancia r entre ellos. La fuerza puede ser atractiva o repulsiva. El problema es encontrar la posición o velocidad de los dos cuerpos a lo largo del tiempo dadas sus masas, posiciones y velocidades. Utilizando la mecánica clásica, la solución se puede expresar como una órbita de Kepler utilizando seis elementos orbitales.

El problema de Kepler lleva el nombre de Johannes Kepler, quien propuso las leyes del movimiento planetario de Kepler (que son parte de la mecánica clásica y resolvieron el problema de las órbitas de los planetas) e investigó los tipos de fuerzas que resultarían en órbitas que obedecen esas leyes (llamado problema inverso de Kepler).

Para una discusión sobre el problema de Kepler específico de las órbitas radiales, consulte Trayectoria radial. La relatividad general proporciona soluciones más precisas al problema de los dos cuerpos, especialmente en campos gravitacionales fuertes.

Aplicaciones

El problema de Kepler surge en muchos contextos, algunos más allá de la física estudiada por el propio Kepler. El problema de Kepler es importante en la mecánica celeste, ya que la gravedad newtoniana obedece a una ley del cuadrado inverso. Los ejemplos incluyen un satélite que se mueve alrededor de un planeta, un planeta alrededor de su sol o dos estrellas binarias una alrededor de la otra. El problema de Kepler también es importante en el movimiento de dos partículas cargadas, ya que la ley electrostática de Coulomb también obedece a una ley del cuadrado inverso.

El problema de Kepler y el problema del oscilador armónico simple son los dos problemas más fundamentales de la mecánica clásica. Son los únicos problemas que tienen órbitas cerradas para cada conjunto posible de condiciones iniciales, es decir, regresan a su punto de partida con la misma velocidad (teorema de Bertrand). El problema de Kepler también conserva el vector de Laplace-Runge-Lenz, que desde entonces se ha generalizado para incluir otras interacciones. La solución del problema de Kepler permitió a los científicos demostrar que el movimiento planetario podía explicarse enteramente mediante la mecánica clásica y la ley de gravedad de Newton; La explicación científica del movimiento planetario jugó un papel importante en el inicio de la Ilustración.

Definición matemática

La fuerza central F entre dos objetos varía en fuerza como el cuadrado inverso de la distancia r entre ellos:

F=kr2r^ ^ {displaystyle mathbf {F} ={frac} {k}{2}}mathbf {fnK}

Donde k es una constante r^ ^ {displaystyle mathbf {hat {r} representa el vector unitario a lo largo de la línea entre ellos. La fuerza puede ser atractiva (ko repulsivo (k√0). El potencial de escalar correspondiente es:

V()r)=kr{displaystyle V(r)={frac {k} {r}}

Solución del problema de Kepler

La ecuación del movimiento para el radio r{displaystyle r} de una partícula de masa m{displaystyle m} en movimiento en un potencial central V()r){displaystyle V(r)} es dado por las ecuaciones de Lagrange

md2rdt2− − mr⋅ ⋅ 2=md2rdt2− − L2mr3=− − dVdr{displaystyle m{frac {}mromega ^{2}=m{frac {fnMicroc} {L^{2} {mr^{3}}=-{frac} {dV} {dr}}

⋅ ⋅ ↑ ↑ dSilencio Silencio dt{displaystyle omega equiv {frac {dtheta } {dt}} y el impulso angular L=mr2⋅ ⋅ {displaystyle L=mr^{2}omega } se conserva. Para ilustrar, el primer término del lado izquierdo es cero para órbitas circulares, y la fuerza interna aplicada dVdr{displaystyle {frac {}{dr}} equivale al requisito de la fuerza centrípeta mr⋅ ⋅ 2{displaystyle mromega ^{2}Como se esperaba.

Si L no es cero la definición de impulso angular permite un cambio de variable independiente de t{displaystyle t} a Silencio Silencio {displaystyle theta }

ddt=Lmr2ddSilencio Silencio {displaystyle {frac {}{}={frac} {L}{mr^{2} {frac} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}} {f} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}f}}}}f}}}}}}}f}}}} {f}f}}}}}}} {f} {d}{dtheta }

dando la nueva ecuación de movimiento que es independiente del tiempo

Lr2ddSilencio Silencio ()Lmr2drdSilencio Silencio )− − L2mr3=− − dVdr{displaystyle {frac {f}{2} {f} {f} {f} {f} {f}} {f}} {fn}}} {f}}} {fn}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {fnf}}}}}}}} {f} {f}}} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} { ¿Qué? {L^{2} {mr^{3}}=-{frac} {f} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}}} {f}} {f}}} {f}}}}} {f} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}f}}}}}f}f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}f} {f}f}}}}}f}f}}}f}f}f}}f}f}f}f}}f}f}f}f}}}f} {dV} {dr}}

La expansión del primer término es

Lr2ddSilencio Silencio ()Lmr2drdSilencio Silencio )=− − 2L2mr5()drdSilencio Silencio )2+L2mr4d2rdSilencio Silencio 2{displaystyle {frac {f}{2} {f} {f} {f} {f} {f}} {f}} {fn}}} {f}}} {fn}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {fnf}}}}}}}} {f} {f}}} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} { {fn} {f} {f}} {f}}} {f}}} {f}} {f} {f}}} {f}}} {f}} {f}}} {f}} {f} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}} {f} {f}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f} {f}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f} {f}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}f}f}}}}}}}

Esta ecuación se vuelve cuasilinear al hacer el cambio de variables u↑ ↑ 1r{displaystyle uequiv {fnMicroc {1} {} {}}} y multiplicar ambos lados por mr2L2{displaystyle {frac {fnK} {f}} {f}}}} {f}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}}

dudSilencio Silencio =− − 1r2drdSilencio Silencio {displaystyle {frac {}{dtheta }={frac {-1}{2} {f} {fnMic}} {fnK}} {f}} {f}}} {f}}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}} {f}} {f} {f}}} {f}}} {f}}}}}} {f} {f}} {f}f}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f} {f} {f}}f} {f}f}}}}}}}}}}f} {f} {f} {f}f}f}f}f} {f} {f}f}f}f}f}f}}}}}}}}} {dr}{dtheta }

d2udSilencio Silencio 2=2r3()drdSilencio Silencio )2− − 1r2d2rdSilencio Silencio 2{displaystyle {frac {fnK}u}{dtheta {fnK}} {fnK}} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn}}}}}}} {m} {fn}} {fn}} {fn}} {f}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Después de la sustitución y reordenamiento:

d2udSilencio Silencio 2+u=− − mL2dduV()1u){displaystyle {frac {fnK}u}{dtheta ^{2}+u=-{frac {m}{L^{2} {frac} {fnMic}}} {fnMic}}} {f}} {f}}} {fn}}} {fnMic}}}}} {fnK}}}} {f}}} {f}}}}} {fnMic}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}} {f} {f}}}} {f}}} {f} {f} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}} {f}} {f}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {}}Vleft({frac {1}derecha)}

Para una ley de fuerza del cuadrado inverso, como el potencial gravitacional o electrostático, el potencial se puede escribir

V()r)=kr=ku{displaystyle V(mathbf {r})={frac {k}=ku}

La órbita u()Silencio Silencio ){displaystyle u(theta)} puede derivarse de la ecuación general

d2udSilencio Silencio 2+u=− − mL2dduV()1u)=− − kmL2{displaystyle {frac {fnK}u}{dtheta ^{2}+u=-{frac {m}{L^{2} {frac} {fnMic}}} {fnMic}}} {f}} {f}}} {fn}}} {fnMic}}}}} {fnK}}}} {f}}} {f}}}}} {fnMic}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}} {f} {f}}}} {f}}} {f} {f} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}} {f}} {f}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {fn}Vleft({frac {1}{u}right)=-{frac {km} {L^{2}}

cuya solución es la constante − − kmL2{displaystyle -{frac {km} {L^{2}} más un simple sinusoid

u↑ ↑ 1r=− − kmL2[1+e#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − Silencio Silencio 0)]{displaystyle uequiv {fnMicroc {1} {}=-{frac} {km}{L^{2}left[1+ecos(theta -theta _{0})right]

Donde e{displaystyle e} ( excentricidad) y Silencio Silencio 0{displaystyle theta ¿Qué? ( Reducción de la fase) son constantes de integración.

Esta es la fórmula general para una sección cónica que tiene un enfoque en el origen; e=0{displaystyle e=0} corresponde a un círculo, <math alttext="{displaystyle eec)1{displaystyle e won1}<img alt="{displaystyle e corresponde a un elipse, e=1{displaystyle e=1} corresponde a una parabola, y 1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">e■1{displaystyle e confía1}1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9605ca17e3915b659685c0326fbbcbfb522f11b3" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/> corresponde a una hiperbola. La excentricidad e{displaystyle e} está relacionado con la energía total E{displaystyle E} (cf. vector Laplace-Runge-Lenz)

e=1+2EL2k2m{displaystyle e={sqrt {1+{2EL^{2}{2} {2}m}}} {}}}}

Comparando estas fórmulas muestra que <math alttext="{displaystyle EEc)0{displaystyle E won0}<img alt="{displaystyle E corresponde a un elipse (todas las soluciones que son órbitas cerradas son elipses), E=0{displaystyle E=0} corresponde a una parabola, y 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">E■0{displaystyle E fiel0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f04631216d2e15429be4a35d29eeca15ade4fe7" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.037ex; height:2.176ex;"/> corresponde a una hiperbola. En particular, E=− − k2m2L2{displaystyle E=-{frac {k^{2}m}{2L^{2}}} para órbitas perfectamente circulares (la fuerza central equivale exactamente al requisito de fuerza centrípeta, que determina la velocidad angular necesaria para un radio circular dado).

Para una fuerza repulsiva (k > 0) solo e > 1 se aplica.