Problema de dirichlet

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En matemáticas, un problema de Dirichlet es el problema de encontrar una función que resuelva una ecuación diferencial parcial (PDE) específica en el interior de una región dada que toma valores prescritos en el límite de la región..

El problema de Dirichlet se puede resolver para muchas PDE, aunque originalmente se planteó para la ecuación de Laplace. En ese caso el problema se puede plantear de la siguiente manera:

Dada la función f que tiene valores en todas partes en el límite de una región Rⁿ, hay una función continua única u dos veces continuamente diferenciable en el interior y continua en el límite, tal que u es armónico en el interior y u=f ¿En el límite?

Este requisito se llama condición de frontera de Dirichlet. La cuestión principal es demostrar la existencia de una solución; La unicidad se puede demostrar utilizando el principio de máxima.

Historia

El problema de Dirichlet se remonta a George Green, quien estudió el problema en dominios generales con condiciones de contorno generales en su Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo, publicado en 1828.... Redujo el problema a un problema de construcción de lo que ahora llamamos funciones de Green y argumentó que la función de Green existe para cualquier dominio. Sus métodos no eran rigurosos para los estándares actuales, pero sus ideas influyeron mucho en los desarrollos posteriores. Los siguientes pasos en el estudio del problema de Dirichlet fueron dados por Karl Friedrich Gauss, William Thomson (Lord Kelvin) y Peter Gustav Lejeune Dirichlet, quienes dieron nombre al problema, y la solución al problema (al menos para la pelota) utilizando el núcleo de Poisson era conocido por Dirichlet (a juzgar por su artículo de 1850 presentado a la academia prusiana). Lord Kelvin y Dirichlet sugirieron una solución al problema mediante un método variacional basado en la minimización de la "energía de Dirichlet". Según Hans Freudenthal (en el Diccionario de biografía científica, vol. 11), Bernhard Riemann fue el primer matemático que resolvió este problema variacional basándose en un método al que llamó principio de Dirichlet. La existencia de una solución única es muy plausible según el "argumento físico": cualquier distribución de carga en la frontera debería, según las leyes de la electrostática, determinar un potencial eléctrico como solución. Sin embargo, Karl Weierstrass encontró un error en el argumento de Riemann, y David Hilbert no encontró una prueba rigurosa de su existencia hasta 1900, utilizando su método directo en el cálculo de variaciones. Resulta que la existencia de una solución depende delicadamente de la suavidad de la frontera y de los datos prescritos.

Solución general

Para un dominio ${displaystyle D}$ tener un límite suficientemente liso ${displaystyle partial D}$ , la solución general al problema Dirichlet es dada por

{displaystyle u(x)=int _{partial D}nu (s){frac {partial G(x,s)}{partial D} ¿Qué?

Donde ${displaystyle G(x,y)}$ es la función de Green para la ecuación diferencial parcial, y

{displaystyle {frac {partial G(x,s)}{partial {fn}cdot nabla _{s}G(x,s)=sum ¿Por qué? - Sí.

es el derivado de la función del Verde a lo largo de la unidad de localización interna vector normal ${displaystyle {widehat {n}}$ . La integración se realiza en el límite, con medida ${displaystyle ds}$ . La función ${displaystyle nu (s)}$ es dada por la solución única a la ecuación integral de Fredholm del segundo tipo,

{displaystyle f(x)=-{frac {nu (x)}{2}+int _{partial D}nu (s){frac {partial G(x,s)}{partial n},ds.}

La función de Green que se utilizará en la integral anterior es una que desaparece en el límite:

{displaystyle G(x,s)=0}

para ${displaystyle sin partial D}$ y ${displaystyle xin D}$ . Tal función de Green es generalmente una suma de la función de campo libre Green y una solución armónica a la ecuación diferencial.

Existencia

El problema Dirichlet para las funciones armónicas siempre tiene una solución, y esa solución es única, cuando el límite es suficientemente suave y ${displaystyle f(s)}$ es continuo. Más precisamente, tiene una solución cuando

{displaystyle partial Din C^{1,alpha }

para algunos ${displaystyle alpha in (0,1)}$ , donde ${displaystyle C^{1,alpha }$ denota la condición Hölder.

Ejemplo: el disco unitario en dos dimensiones

En algunos casos sencillos, el problema de Dirichlet se puede resolver explícitamente. Por ejemplo, la solución al problema de Dirichlet para el disco unitario en R² viene dada por la fórmula integral de Poisson.

Si ${displaystyle f}$ es una función continua en el límite ${displaystyle partial D}$ del disco de unidad abierta ${displaystyle D}$ , entonces la solución al problema Dirichlet es ${displaystyle u(z)}$ dado por

{displaystyle u(z)={begin{cases}displaystyle {frac {1}{2pi}int ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?

La solución ${displaystyle u}$ es continuo en el disco de unidad cerrada ${displaystyle {bar}}$ y armónico en ${displaystyle D.}$

El integrando se conoce como núcleo de Poisson; esta solución se deriva de la función de Green en dos dimensiones:

{displaystyle G(z,x)=-{frac {1}{2pi }log Нели ваниванивования неные, }

Donde ${displaystyle gamma (z,x)}$ es armónico ( ${displaystyle Delta _{x}gamma (z,x)=0}$ ) y elegido tal que ${displaystyle G(z,x)=0}$ para ${displaystyle xin partial D}$ .

Métodos de solución

Para dominios acotados, el problema de Dirichlet se puede resolver utilizando el método de Perron, que se basa en el principio de máximo para funciones subarmónicas. Este enfoque se describe en muchos libros de texto. No es adecuado para describir la suavidad de soluciones cuando el límite es suave. Otro enfoque clásico del espacio de Hilbert a través de espacios de Sobolev proporciona dicha información. La solución del problema de Dirichlet utilizando espacios de Sobolev para dominios planos se puede utilizar para demostrar la versión fluida del teorema de mapeo de Riemann. Bell (1992) ha esbozado un enfoque diferente para establecer el teorema de mapeo suave de Riemann, basado en los núcleos reproductores de Szegő y Bergman, y a su vez lo utilizó para resolver el problema de Dirichlet. Los métodos clásicos de la teoría de potenciales permiten resolver el problema de Dirichlet directamente en términos de operadores integrales, para los cuales es aplicable la teoría estándar de los operadores compactos y de Fredholm. Los mismos métodos funcionan igualmente para el problema de Neumann.

Generalizaciones

Los problemas de Dirichlet son típicos de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas, de la teoría del potencial y de la ecuación de Laplace en particular. Otros ejemplos incluyen la ecuación biarmónica y ecuaciones relacionadas en la teoría de la elasticidad.

Son uno de varios tipos de clases de problemas PDE definidos por la información proporcionada en el límite, incluidos los problemas de Neumann y los problemas de Cauchy.

Ejemplo: ecuación de una cuerda finita unida a una pared en movimiento

Considere el problema de Dirichlet para la ecuación de onda que describe una cuerda atada entre paredes con un extremo sujeto permanentemente y el otro moviéndose con velocidad constante, es decir, la ecuación de d'Alembert en la región triangular del producto cartesiano del espacio y el tiempo: