Problema de cabeza blanca

En la teoría de grupos, una rama del álgebra abstracta, el problema de Whitehead es la siguiente pregunta:

Es cada grupo abeliano A con Ext¹()A, Z¿Un grupo abeliano libre?

Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead es independiente de ZFC, los axiomas estándar de la teoría de conjuntos.

Refinamiento

Suponga que A es un grupo abeliano tal que cada sucesión exacta corta

0→ → Z→ → B→ → A→ → 0{displaystyle 0rightarrow mathbb {Z} rightarrow Brightarrow Arightarrow 0}

debe dividirse si B también es abeliano. Entonces, el problema de Whitehead pregunta: ¿debe A ser libre? Este requisito de división es equivalente a la condición Ext¹(A, Z) = 0. Grupos abelianos A que satisfacen esta condición a veces se denominan grupos de Whitehead, por lo que el problema de Whitehead pregunta: ¿todos los grupos de Whitehead son gratuitos? Cabe mencionar que si esta condición se fortalece al exigir que la secuencia exacta

0→ → C→ → B→ → A→ → 0{displaystyle 0rightarrow Crightarrow Brightarrow Arightarrow 0}

debe dividirse para cualquier grupo abeliano C, entonces es bien sabido que esto equivale a que A sea libre.

Precaución: Lo contrario del problema de Whitehead, es decir, que todo grupo abeliano libre es Whitehead, es un hecho bien conocido de la teoría de grupos. Algunos autores llaman al grupo Whitehead solo un grupo no libre A que satisface Ext¹(A, Z) = 0. El problema de Whitehead entonces pregunta: ¿existen grupos de Whitehead?

Prueba de Sela

Saharon Shelah demostró que, dado el sistema canónico de axiomas ZFC, el problema es independiente de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos. Más precisamente, demostró que:

• Si cada conjunto es constructible, entonces cada grupo Whitehead es libre;
• Si el axioma de Martin y la negación de la hipótesis continua ambos sostienen, entonces hay un grupo Whitehead no libre.

Dado que la consistencia de ZFC implica la consistencia de los dos siguientes:

• El axioma de la constructibilidad (que afirma que todos los conjuntos son constructibles);
• El axioma de Martin más la negación de la hipótesis continua,

El problema de Whitehead no se puede resolver en ZFC.

Discusión

J. H. C. Whitehead, motivado por el problema del primo segundo, planteó el problema por primera vez en la década de 1950. Stein respondió afirmativamente a la pregunta para grupos contables. El progreso para grupos más grandes fue lento y el problema se consideró importante en álgebra durante algunos años.

El resultado de Shelah fue completamente inesperado. Si bien la existencia de enunciados indecidibles se conocía desde el teorema de incompletud de Gödel de 1931, los ejemplos anteriores de enunciados indecidibles (como la hipótesis del continuo) habían sido todos en teoría de conjuntos puros. El problema de Whitehead fue el primer problema puramente algebraico que se demostró indecidible.

Shelah demostró más tarde que el problema de Whitehead sigue siendo indecidible incluso si se asume la hipótesis del continuo. La conjetura de Whitehead es cierta si todos los conjuntos son construibles. Que esta y otras declaraciones sobre grupos abelianos incontables sean demostrablemente independientes de ZFC muestra que la teoría de tales grupos es muy sensible a la supuesta teoría de conjuntos subyacente.