Problema de Basilea

El problema de Basilea es un problema de análisis matemático relevante para la teoría de números, relacionado con una suma infinita de cuadrados inversos. Fue planteado por primera vez por Pietro Mengoli en 1650 y resuelto por Leonhard Euler en 1734, y leído el 5 de diciembre de 1735 en la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Dado que el problema había resistido los ataques de los principales matemáticos de la época, la solución de Euler le dio fama inmediata cuando tenía veintiocho años. Euler generalizó considerablemente el problema y sus ideas fueron retomadas más de un siglo después por Bernhard Riemann en su artículo fundamental de 1859 "Sobre el número de primos menores que una magnitud dada", en el que definió su función zeta. y demostró sus propiedades básicas. El problema lleva el nombre de Basilea, ciudad natal de Euler, así como de la familia Bernoulli, que atacó el problema sin éxito.

El problema de Basilea pide la suma precisa de los recíprocos de los cuadrados de los números naturales, es decir, la suma precisa de la serie infinita:

$${displaystyle sum _{n=1}{infty }{frac {1}{n^{2}={frac} {1}{2}}+{frac} {2}{2}}+{frac} {1}{3^{2}}+cdots.}$$

La suma de la serie es aproximadamente igual a 1.644934. El problema de Basilea pide el exacta suma de esta serie (en forma cerrada), así como una prueba de que esta suma es correcta. Euler encontró la suma exacta ${displaystyle pi ^{2}/6}$ y anunció este descubrimiento en 1735. Sus argumentos se basaron en manipulaciones que no estaban justificadas en ese momento, aunque más tarde se comprobó correctamente. Produjo una prueba aceptada en 1741.

La solución a este problema se puede utilizar para estimar la probabilidad de que dos grandes números aleatorios sean coprime. Dos números enteros en el rango de 1 a 1 ${displaystyle n}$, en el límite como ${displaystyle n}$ va al infinito, son relativamente primos con una probabilidad que se acerca ${displaystyle 6/pi ^{2}$, el recíproco de la solución al problema de Basilea.

El enfoque de Euler

Derivación original de Euler del valor ${displaystyle pi ^{2}/6}$ Observaciones esencialmente extendidas sobre polinomios finitos y supuso que estas mismas propiedades son verdaderas para series infinitas.

Por supuesto, el razonamiento original de Euler requiere justificación (100 años después, Karl Weierstrass demostró que la representación de Euler de la función seno como un producto infinito es válida, mediante el teorema de factorización de Weierstrass), pero incluso sin justificación, simplemente obteniendo el valor correcto, pudo verificarlo numéricamente contra sumas parciales de la serie. El acuerdo que observó le dio suficiente confianza para anunciar su resultado a la comunidad matemática.

Para seguir el argumento de Euler, recuerde la expansión en serie de Taylor de la función seno

$${displaystyle sin x=x-{frac {x^{3}{3}}}+{frac {x^{5}{5}} {frac {x^{7} {7}}}+cdots }$$

${displaystyle x}$

$${displaystyle {frac {fnMicroc}sin # {x}=1-{frac {x^{2}{3}}}+{frac {x^{4} {5}} {frac {x^{6} {7}}+cdots.}$$

El teorema de factorización Weierstrass muestra que el lado izquierdo es el producto de factores lineales dados por sus raíces, así como para polinomios finitos. Euler asumió esto como una heurística para expandir un polinomio de grado infinito en términos de sus raíces, pero de hecho no siempre es verdad para general ${displaystyle P(x)}$. Esta factorización expande la ecuación en:

$${displaystyle {begin{aligned}{frac {sin x}{x} {begin{aligned}{frac {f}{f} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}} {f}f}f}}}}}}}}}}}} {f}b}}}}}}}}}}}}}}b}}}}}}b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}b} {f}}b}}}}}}b}}}}}}}}b} {f}}}b}b}b}}b}}}}}}}b}b}b}b}b}b}}}}b}}b}}}}}}b}}}}}b}}}}}b}}}}}}}}}} }right)left(1+{frac {x}{pi) ¿Qué? {fnMicroc {x}{3pi}}derecha)left(1+{frac {x}{3pi}}derecha)cdots\\cdots=left(1-{frac {x^{2}{pi}{pi}}{pi}}}{i}}}}dere)i}dere)derech}dere)i}i}dere)dere)i}dere)i}i}i}i}i)i)i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i)i}i}i}i}i}i}i}i}i)i}i)i}i}i}i}i}i}i}i}i}i} ¿Qué? {2}}derecha)cdots end{aligned}}$$

Si multiplicamos formalmente este producto y recopilamos todos los términos x² (se nos permite hacerlo debido a las identidades de Newton), vemos por inducción que el coeficiente x² de sin x/ x es

$${displaystyle -left({frac {1}{pi} ^{2}}+{frac {1}{4pi {fnMicroc {1}}cdots right)=-{frac {1}{pi ^{2}}sum _{n=1}{infty }{frac} {fn=0} {fn0} {fn0}}fnfnKfnKfnK}fnKf}fnKf}}fnKfnKfnKf9}fnKfnKfnKfnKfnKfnKfn9fn9}fnKfnKfnKfnfnKf9}fn9}fnKfnfnfnKfnfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnK}fnK {1}{n^{2}}}}$$

Pero a partir de la expansión original en serie infinita de sin x /x, el coeficiente de x² es −1/3! = −1/6. Estos dos coeficientes deben ser iguales; de este modo,

$${displaystyle -{frac {1}{6}=-{frac {1}{pi ^{2}sum _{n=1} {infty}{frac}{frac}} {fn=1}} {fn} {fn} {fn}} {fnf}} {fnfnKf}}} {f}}}}f}}f}f}fnfnfnfn9} {fnfnfn}fnfn}}f}fnfnfn}fnfnfn}fnfnfnfnfn}fnfnfnfn}fnfn}fnfnfnfn}fnfn}fn}fn}fnfnfnfnfnfn}}}fn} {1}{n^{2}}}}$$

Multiplicar ambos lados de esta ecuación por −π² da la suma de los recíprocos de los enteros cuadrados positivos.

$${displaystyle sum _{n=1}{infty }{frac {1}{n^{2}={frac} {pi ^{2} {6}}}}$$

Este método de cálculo ${displaystyle zeta (2)}$ está detallado en la moda expositivo más notable en Havil's Gamma libro que detalla muchas funciones zeta y series e integrales relacionadas con logarithm, así como una perspectiva histórica, relacionada con la constante Euler gamma.

Generalizaciones del método de Euler utilizando polinomios simétricos elementales

Usando fórmulas obtenidas de polinomios simétricos elementales, este mismo enfoque se puede utilizar para enumerar fórmulas para las constantes zeta pares con índice par que tienen la siguiente fórmula conocida expandida por los números de Bernoulli:

$${displaystyle zeta (2n)={frac {(-1)^{n-1}(2pi)^{2n}{2cdot (2n)}} B_{2n}.$$

Por ejemplo, deja que el producto parcial para ${displaystyle sin(x)}$ ampliado como se define anteriormente ${displaystyle {frac {S_{n}(x)}{x}:=prod limits ¿Por qué? {x^{2} {k^{2}cdot pi ^{2}}right)}$. Luego utilizando fórmulas conocidas para polinomios simétricos elementales (a.k.a., las fórmulas de Newton se expanden en términos de identidades de la suma de poder), podemos ver (por ejemplo) que

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {6}{6}{6}}=-3cdot pi ^{6}{6}{frac {sin(x)}{x}-{frac} {2}{3}{f} {f} {f} {f}} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f} {f}} {f}f}}} {f}}}}} {f} {f}} {f}f}}}}}f} {f} {f} {f} {f}f} {f} {f} {f} {f}}f}f}}f}}f}f}f} {f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}}f}f}f}f}f}f}f}}}}}}}} # {4}{4} {fnK}} {fnK} {f}}}end{aligned}}}$$

y así sucesivamente para los coeficientes posteriores de ${displaystyle [x^{2k}{frac {S_{n}{x}}{x} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {f}}}}}$. Hay otras formas de las identidades de Newton expresando las sumas de poder (finitas) ${displaystyle H_{n}{(2k)}$ en términos de los polinomios simétricos elementales, ${displaystyle E_{i}equiv e_{i}left(-{frac {pi} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?$ pero podemos ir una ruta más directa para expresar fórmulas no recursivas para ${displaystyle zeta (2k)}$ utilizando el método de los polinomios simétricos elementales. Es decir, tenemos una relación de recurrencia entre los polinomios simétricos elementales y la suma de potencia polinomios dados como en esta página por

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnfn}]=sum _{j=1} {k}(-1)^{k-j-1}p_{j}p_}(x_{1},ldotsx_{n})e_{k-j}(x_{1},ldotsx_}$$

que en nuestra situación equivale a la relación de recurrencia limitante (o función generadora de convolución, o producto) expandida como

$${displaystyle {frac {fnfnfnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fn\\fn\\\fn\fn\fn\\\\\fn\fn\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\fn\\\\\\\fn\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {2k}{2k}} {cdot {frac {(2k)cdot (-1)^{k}{(2k+1)}}}=-[x^{2k}]{frac {sin(pi x)}{i x}}times sum _{igeq 1}zeta (2i)x}{i} {}} {}}} {i}}}}}c}c}}}c}c}}c}c}c}c}c}c}c}}c}c}cdot}c}c}c}c}c}cdot} {c} {c}cdot}cdot}c}cdot}cdot}cdot} {c}c}cdot}c}c}c}cdot}c}c}c}cdotc$$

Luego, por diferenciación y reordenamiento de los términos de la ecuación anterior, obtenemos que

$${displaystyle zeta (2k)=[x^{2k}{frac {1}left(1-pi xcot(pi x)right). }$$

Consecuencias de la prueba de Euler

Por los resultados anteriores, podemos concluir que ${displaystyle zeta (2k)}$ es siempre un múltiplo racional ${displaystyle pi ^{2k}$. En particular, desde ${displaystyle pi}$ y poderes enteros de ella son trascendental, podemos concluir en este punto que ${displaystyle zeta (2k)}$ es irracional, y más precisamente, trascendental para todos ${displaystyle kgeq 1}$. Por el contrario, las propiedades de las constantes de zeta raras, incluyendo la constante de Apéry ${displaystyle zeta (3)}$, son casi completamente desconocidos.

La función zeta de Riemann

La función zeta de Riemann ζ(s) es una de las funciones más importantes en matemáticas debido a su relación a la distribución de los números primos. La función zeta se define para cualquier número complejo s con parte real mayor que 1 mediante la siguiente fórmula:

$${displaystyle zeta (s)=sum _{n=1}{infty }{frac {1}{n^{s}}}}$$

Tomando s = 2, vemos que ζ(2) es igual a la suma de los recíprocos de los cuadrados de todos los números enteros positivos:

$${displaystyle zeta (2)=sum _{n=1}{infty }{frac {1}{n^{2}={frac} {1}{2}}+{frac} {2}{2}}+{frac} {1}{2}}+{frac} {1}{4^{2}}+cdots ={frac {pi ^{2}{6}approx 1.644934.}$$

La convergencia se puede demostrar mediante la prueba integral o mediante la siguiente desigualdad:

$${displaystyle {begin{aligned}sum ¿Por qué? {1}{n^{2} {1+}} {fn1}\fn1}\\fn1}\fn1+sum ¿Por qué? {1}{n-1}-{frac {1} {n}right)\\\fn1+1-{frac {1}{N};{fn} {Nto infty}{longrightarrow };2.$$

Esto nos da el límite superior 2, y debido a que la suma infinita no contiene términos negativos, debe converger a un valor estrictamente entre 0 y 2. Se puede demostrar que ζ (s) tiene una expresión simple en términos de los números de Bernoulli siempre que s sea un número entero par positivo. Con s = 2n:

$${displaystyle zeta (2n)={frac {(2pi)^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2cdot (2n)}}}} {c]}$$

Una prueba usando la fórmula de Euler y la regla de L'Hôpital

La función sinc normalizada ${displaystyle {text{sinc}(x)={frac {sin(pi x)}{pi x}}}}$ tiene una representación de factorización Weierstrass como un producto infinito:

$${displaystyle {frac {sin(pi x)}{pi x}=prod _{n=1}{infty }left(1-{frac {x^{2}{n^{2}}derecha).}$$

El producto infinito es analítico, por lo que tomando el logaritmo natural de ambos lados y diferenciando los rendimientos

$${displaystyle {frac {pi cos(pi x)}{sin(pi x)}-{frac {1}{x}=-sum _{n=1}{infty }{frac {2x}{n^{2}-x^{2}}}}}}}}}}}}}} {$$

(por convergencia uniforme, el intercambio de la serie derivada e infinita es permisible). Después de dividir la ecuación por ${displaystyle 2x}$ y reagrupar uno consigue

$${displaystyle {frac {1}{2x^{2}}}-{frac {pi cot(pi x)}{2x}=sum _{n=1}{infty }{frac {1}{n^{2}-x^{2}}}$$

Hacemos un cambio de variables (${displaystyle x=-it}$):

$${displaystyle -{frac {1}{2t^{2}}}+{frac {pi cot(-pi it)}{2it}=sum ¿Qué? {1}{2}+t^{2}}}$$

Se puede utilizar la fórmula de Euler para deducir que

$${displaystyle {frac {pi cot}{2it}={frac {pi} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {2pi}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnh}= {fnMicroc {fnh} }{2t}+{frac {pi}{tleft(e^{2pi t}}}}}}$$

$${displaystyle {frac {pi cot}{2it}={frac {pi} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Entonces

$${displaystyle sum _{n=1}{infty }{frac {1}{2}+t^{2}}}={frac {pi left(te^{2pi t}+tright)-e^{2pi t}+1}{2left(t^{2}e^{2pi)} ¿Qué? {1}{2t^{2}}+{frac {pi }}coth(pi t).}$$

Ahora tomamos el límite como ${displaystyle t}$ se acerca a cero y usa la regla de L'Hôpital thrice. Por el teorema de Tannery aplicado a ${textstyle lim _{tto infty }sum _{n=1}{infty }1/(n^{2}+1/t^{2}}$, podemos intercambiar el límite y la serie infinita para que ${textstyle lim _{tto 0}sum _{n=1}{infty }1/(n^{2}+t^{2})=sum ¿Qué? }1/n^{2}$ y por la regla de L'Hôpital

$${displaystyle {begin{aligned}sum {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn} {fn}} {fnfn}} {fnfnfnfn}}}} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}}}}}fnfn}}}fnfn9}}}}}}nnfnKfn9}}fnfnKnnnfnnnnnnnnnnnnnfnnnfnfn}}}}nnnnnnnnnnnnnn {}{4}{frac {2pi} te^{2pi t}-e^{2pi t}+1}{2}e^{2pi t}+te^{2pi t}}[6pt] Conden=lim _{tto 0}{frac {pi ^{3}te^{2pi t}{2pileft(pi t^{2}e^{2pi t}+2te^{2pi t}right)+e^{2pi ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

Una prueba usando series de Fourier

Usa la identidad de Parseval (aplicada a la función f(x) = x ) para obtener

$${displaystyle sum _{n=-infty. {1}{2pi}int _{-pi }x^{2},dx,}$$

$${displaystyle {begin{aligned}c_{n} {1}{2pi}int _{-pi}{pi} {i}{i} {i}}int }xe^{-inx},dx[4pt] correspond={frac {npi cos(npi)-sin(npi)}{pi ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

para n ≠ 0 y c_{0 = 0}. De este modo,