Problema bien planteado
El término matemático problema bien planteado proviene de una definición dada por el matemático francés del siglo XX Jacques Hadamard. Él creía que los modelos matemáticos de los fenómenos físicos deberían tener las propiedades que:
- existe una solución,
- la solución es única,
- el comportamiento de la solución cambia continuamente con las condiciones iniciales.
Ejemplos de problemas arquetípicos bien planteados incluyen el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace y la ecuación del calor con condiciones iniciales específicas. Estos podrían considerarse como 'naturales' problemas en los que hay procesos físicos modelados por estos problemas.
Los problemas que no están bien planteados en el sentido de Hadamard se denominan mal planteados. Los problemas inversos suelen estar mal planteados. Por ejemplo, la ecuación inversa del calor, que deduce una distribución previa de temperatura a partir de los datos finales, no está bien planteada porque la solución es muy sensible a los cambios en los datos finales.
Los modelos continuos a menudo deben discretizarse para obtener una solución numérica. Si bien las soluciones pueden ser continuas con respecto a las condiciones iniciales, pueden sufrir inestabilidad numérica cuando se resuelven con precisión finita o con errores en los datos. Incluso si un problema está bien planteado, aún puede estar mal planteado, lo que significa que un pequeño error en los datos iniciales puede dar lugar a errores mucho mayores en las respuestas. Los problemas en sistemas complejos no lineales (los llamados sistemas caóticos) proporcionan ejemplos bien conocidos de inestabilidad. Un problema mal condicionado se indica mediante un gran número de condición.
Si el problema está bien planteado, entonces tiene una buena posibilidad de solución en una computadora usando un algoritmo estable. Si no está bien planteado, debe reformularse para un tratamiento numérico. Por lo general, esto implica incluir suposiciones adicionales, como la suavidad de la solución. Este proceso se conoce como regularización. La regularización de Tikhonov es una de las más utilizadas para la regularización de problemas lineales mal planteados.
Método de energía
Un método para determinar si un problema está bien planteado es el método de la energía. El método se basa en derivar una estimación de energía para un problema dado.
Ejemplo: Considere la ecuación de advección lineal con condiciones de límites Dirichlet homogéneas y datos iniciales adecuados f()x){displaystyle f(x)}.
<math alttext="{displaystyle {begin{cases}u_{t}+alpha u_{x}=0,0<x0,\u(x,0)=f(x),\u(0,t)=0,\u(1,t)=0,\end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">{}ut+α α ux=0,0.x.1,α α ■0,u()x,0)=f()x),u()0,t)=0,u()1,t)=0,{displaystyle {begin{cases}u_{t}+alpha u_{x}=0,0 seleccionó1,alpha Conf0,\u(x,0)=f(x),u(0,t)=0,\u(1,t)=0,\end{cases}}<img alt="{displaystyle {begin{cases}u_{t}+alpha u_{x}=0,0<x0,\u(x,0)=f(x),\u(0,t)=0,\u(1,t)=0,\end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ddc99906d9a35ed4b60c44b740b66c3920fea5" style="vertical-align: -5.171ex; width:34.379ex; height:11.509ex;"/>
Luego de llevar a cabo el método de energía para este problema, uno multiplicaría la ecuación por u{displaystyle u} e integrar en el espacio a lo largo del intervalo dado.
∂ ∂ t∫ ∫ 0112u2dx=− − α α ∫ ∫ 01uuxdx⇒ ⇒ 12∂ ∂ t.. u.. 22=− − α α u22Silencio01=0{displaystyle partial _{t}int {0} {2}dx=-alpha int ¿Por qué? ¿Por qué? {fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn}} {fn}} {fnK}}}}}} {fnMicroc {fnK}}}}} {Big}}}}}}}}}} {Big}}}} {Big}}}}}} {Big}}}}}}}}}} {Big {Big}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {Big {Big {Big}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {Big {Big {Big {Big { Silencio.
Luego se integraría en el tiempo y se obtendría la estimación de energía
.. u()⋅ ⋅ ,t).. 2≤ ≤ .. f()⋅ ⋅ ).. 2{displaystyle Toddu(cdott) eterna_{2}leqf(cdot) eterna_{2}} (p-norm)
De esta estimación de energía se puede concluir que el problema está bien planteado.