Probabilidad de póquer

En el póquer, la probabilidad de cada tipo de mano de 5 cartas se puede calcular calculando la proporción de manos de ese tipo entre todas las manos posibles.

Historia

La probabilidad y el juego han sido ideas desde mucho antes de la invención del póquer. El desarrollo de la teoría de la probabilidad a fines del siglo XV se atribuyó al juego; al jugar un juego con apuestas altas, los jugadores querían saber cuál sería la probabilidad de ganar. En 1494, Fra Luca Paccioli publicó su obra Summa de arithmetica, geometria,proporcioni e proporcionalita, que fue la primera escrita texto sobre probabilidad. Motivado por el trabajo de Paccioli, Girolamo Cardano (1501-1576) realizó nuevos desarrollos en la teoría de la probabilidad. Su obra de 1550, titulada Liber de Ludo Aleae, discutía los conceptos de probabilidad y cómo estaban directamente relacionados con los juegos de azar. Sin embargo, su obra no recibió ningún reconocimiento inmediato ya que no fue publicada hasta después de su muerte. Blaise Pascal (1623-1662) también contribuyó a la teoría de la probabilidad. Su amigo, Chevalier de Méré, era un ávido jugador con el objetivo de enriquecerse con ello. De Méré probó un nuevo enfoque matemático para un juego de apuestas, pero no obtuvo los resultados deseados. Decidido a saber por qué su estrategia no tuvo éxito, consultó con Pascal. El trabajo de Pascal sobre este problema inició una importante correspondencia entre él y su colega matemático Pierre de Fermat (1601-1665). Comunicándose a través de cartas, los dos continuaron intercambiando sus ideas y pensamientos. Estas interacciones llevaron a la concepción de la teoría básica de la probabilidad. Hasta el día de hoy, muchos jugadores aún confían en los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad para tomar decisiones informadas mientras juegan.

Frecuencias

Manos de póquer de 5 cartas

Un diagrama de Euler que representa las manos de póquer y sus probabilidades de un americano 9/6 Jacks o Mejor máquina

En el póquer directo y el sorteo de cinco cartas, donde no hay cartas ocultas, los jugadores simplemente reciben cinco cartas de una baraja de 52.

La siguiente tabla enumera la frecuencia (absoluta) de cada mano, dadas todas las combinaciones de cinco cartas extraídas al azar de una baraja completa de 52 sin reemplazo. No se consideran comodines. En este cuadro:

• Manos distintivas es el número de diferentes maneras de dibujar la mano, sin contar diferentes trajes.
• Frecuencia es el número de maneras de dibujar la mano, incluido los mismos valores de tarjeta en trajes diferentes.
• El Probabilidad de dibujo una mano determinada se calcula dividiendo el número de formas de dibujo de la mano (Frecuencia) por el número total de manos de 5 tarjetas (el espacio muestral; ()525)=2,598,960{textstyle {52 choose 5}=2,598,960}). Por ejemplo, hay 4 maneras diferentes de dibujar una flauta real (una para cada traje), por lo que la probabilidad es 4/2.598.960, o uno en 649.740. Uno esperaría entonces dibujar esta mano una vez en cada 649.740 sorteos, o casi 0.00000154% del tiempo.
• Probabilidad acumulativa se refiere a la probabilidad de dibujar una mano tan buena como o mejor que el especificado. Por ejemplo, la probabilidad de dibujar tres de un tipo es aproximadamente 2.11%, mientras que la probabilidad de dibujar una mano al menos tan bueno como tres de un tipo es alrededor del 2,87%. La probabilidad acumulativa se determina añadiendo la probabilidad de una mano con las probabilidades de todas las manos sobre ella.
• El Odds se define como la proporción del número de formas no para dibujar la mano, al número de maneras de dibujarla. En las estadísticas, esto se llama contra. Por ejemplo, con una flauta real, hay 4 maneras de dibujar uno, y 2.598.956 maneras de dibujar algo más, por lo que las probabilidades contra el dibujo de una flauta real son 2.598.956: 4, o 649.739: 1. La fórmula para establecer las probabilidades también se puede decir como (1/p) - 1: 1, donde p es la probabilidad mencionada.
• Los valores dados Probabilidad, Probabilidad acumulativa, y Odds son redondeados para la simplicidad; Manos distintivas y Frecuencia los valores son exactos.

El nCr función en la mayoría de las calculadoras científicas se puede utilizar para calcular frecuencias de mano; entrar nCr con 52 y 5, por ejemplo, rendimientos ()525)=2,598,960{textstyle {52 choose 5}=2,598,960} como arriba.

Mano	Manos distintivas	Frecuencia	Probabilidad	Probabilidad acumulativa	Odds against	Expresión matemática de frecuencia absoluta
Flush real	1	4	0,000154%	0,000154%	649.739: 1	()41){displaystyle {4 choose 1}
Estrecho recto (excluyendo la erupción real)	9	36	0,00139%	0,0015%	72,192.33: 1	()101)()41)− − ()41){displaystyle {10 choose 1}{4 choose 1}-{4 choose 1}
Cuatro de una especie	156	624	0,02401%	0,0256%	4,165: 1	()131)()44)()121)()41){displaystyle {13 choose 1}{4 choose 4}{12 choose 1}{4 choose 1}
Casa completa	156	3.744	0.1441%	0,17%	693.1667: 1	()131)()43)()121)()42){displaystyle {13 choose 1}{4 choose 3}{12 choose 1}{4 choose 2}}
Flush (excluyendo el flujo real y el flujo recto)	1.277	5,108	0,1965%	0,367%	508.8019: 1	()135)()41)− − ()101)()41){displaystyle {13 choose 5}{4 choose 1}-{10 choose 1}{4 choose 1}
Directo (excluyendo la flauta real y la flauta recta)	10	10.200	0,925%	0,76%	253.8: 1	()101)()41)5− − ()101)()41){displaystyle {10 choose 1}{4 choose 1}{5}-{10 choose 1}{4 choose 1}
Tres de una especie	858	54.912	2.1128%	2.87%	46.32955: 1	()131)()43)()122)()41)2{displaystyle {13 choose 1}{4 choose 3}{12 choose 2}{4 choose 1}^{2}}
Dos pares	858	123.552	4,7539%	7.62%	20.03535: 1	()132)()42)2()111)()41){displaystyle {13 choose 2}{4 choose 2}{2}{11 choose 1}{4 choose 1}
Un par	2.860	1.098.240	42.2569%	49,9%	1.366477: 1	()131)()42)()123)()41)3{displaystyle {13 choose 1}{4 choose 2}{12 choose 3}{4 choose 1}^{3}}}
No par / tarjeta alta	1.277	1,302,540	50.1177%	100%	0,953015: 1	[()135)− − ()101)][()41)5− − ()41)]{displaystyle left[{13 choose 5}-{10 choose 1}right]left[{4 choose 1}^{5}-{4 choose 1}right]}
Total	7,462	2.598.960	100%	-...	0: 1	()525){displaystyle {52 choose 5}

La escalera real es un caso de escalera de color. Se puede formar de 4 formas (una para cada palo), dándole una probabilidad de 0.000154% y cuotas de 649,739: 1.

Cuando las escaleras de as bajo y las escaleras de color as bajo no se cuentan, las probabilidades de cada una se reducen: las escaleras y los colores rectos se vuelven 9/10 tan comunes como lo serían de otra manera. Las 4 escaleras de color perdidas se convierten en colores y las 1.020 escaleras perdidas se convierten en ningún par.

Tenga en cuenta que dado que los palos no tienen un valor relativo en el póquer, dos manos pueden considerarse idénticas si una mano se puede transformar en la otra intercambiando palos. Por ejemplo, la mano 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ es idéntica a 3♦ 7♦ 8♦ Q♥ A♥ porque reemplazar todos los tréboles de la primera mano con diamantes y todas las picas con corazones produce la segunda mano. Entonces, eliminando manos idénticas que ignoran los valores relativos de los palos, solo hay 134,459 manos distintas.

El número de manos de póquer distintas es aún menor. Por ejemplo, 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ y 3♦ 7♣ 8♦ Q♥ A♥ no son manos idénticas cuando se ignoran las asignaciones de palos porque una mano tiene tres palos, mientras que la otra mano tiene solo dos; esa diferencia podría afectar el valor relativo de cada mano cuando haya más cartas por venir. Sin embargo, aunque las manos no son idénticas desde esa perspectiva, todavía forman manos de póquer equivalentes porque cada mano es una mano de carta alta A-Q-8-7-3. Hay 7.462 manos de póquer distintas.

Manos de póquer de 7 cartas

En algunas variaciones populares de póquer, como Texas Hold 'em, la variante de póquer más extendida en general', un jugador usa la mejor mano de póquer de cinco cartas de siete cartas.

Las frecuencias se calculan de una manera similar a la que se muestra en manos de 5 cartas, excepto complicaciones adicionales surgen debido a las dos cartas adicionales en la mano de poker de 7 cartas. El número total de manos distintas de 7 tarjetas es ()527)=133,784,560{textstyle {52 choose 7}=133,784,560}. Es notable que la probabilidad de una mano no-pair es inferior que la probabilidad de una mano de uno o dos puntos.

La escalera de color con as alto o escalera real es un poco más frecuente (4324) que las escaleras de color más bajas (4140 cada una) porque las dos cartas restantes pueden tener cualquier valor; una escalera de color con rey alto, por ejemplo, no puede tener el as de su palo en la mano (ya que eso lo convertiría en un as alto).

Mano	Frecuencia	Probabilidad	Cumulative	Odds against	Expresión matemática de frecuencia absoluta
Flush real	4.324	0,0032%	0,0032%	30,939: 1	()41)()472){displaystyle {4 choose 1}{47 choose 2}}
Estrecho recto (excluyendo la erupción real)	37.260	0,0279%	0,0311%	3.589,6: 1	()91)()41)()462){displaystyle {9 choose 1}{4 choose 1}{46 choose 2}}
Cuatro de una especie	224,848	0,168%	0,199%	594: 1	()131)()483){displaystyle {13 choose 1}{48 choose 3}}
Casa completa	3,473,184	2.60%	2.80%	37,5: 1	[()132)()43)2()441)]+[()131)()122)()43)()42)2]+[()131)()121)()112)()43)()42)()41)2]{displaystyle {begin{aligned} {{13 choose 2}{4 choose 3}^{2}{44 choose 1}right]+ implicaleft[{13 choose 1}{12 choose 2}{4 choose 3}{4choose 3}{4choose 2}{2}derecha]\+demnleft[{13 choose 1}{12 choose 1}{11 choose 2}{4choose 3}{4choose 2}{4choose 2}{4choose ################################################################################################################################################################################################################################################################
Flush (excluyendo el flujo real y el flujo recto)	4,047,644	3,3%	5,82%	32.1: 1	[()41)× × [()137)− − 217]]+[()41)× × [()136)− − 71]× × 39]+[()41)× × [()135)− − 10]× × ()392)]{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans
Directo (excluyendo la flauta real y la flauta recta)	6,180,020	4,62%	10,4%	20.6: 1	[217× × [47− − 756− − 4− − 84]]+[71× × 36× × 990]+[10× × 5× × 4× × [256− − 3]+10× × ()52)× × 2268]{displaystyle {begin{aligned} limitesleft[217times left[4^{7}-756-4-84right]right]\+ limites[71times 36times 990right]+ implicadoleft[10times 5times 4timesleend[256-3right]
Tres de una especie	6,461,620	4,83%	15,3%	19.7: 1	[()135)− − 10]()51)()41)[()41)4− − 3]{displaystyle left[{13 choose 5}-10right]{5 choose 1}{4 choose 1}left[{4 choose] 1} {4}-3right]}
Dos pares	31.433.400	23.5%	38.8%	3.26: 1	[1277× × 10× × [6× × 62+24× × 63+6× × 64]]+[()133)()42)3()401)]{displaystyle {begin{aligned} ventajaleft[1277times 10times left[6times 62+24times 63+6times 64right]right]\+ implicaleft[{13choose 3}{4choose 2}{3}{40 choose 1}right]end{aligned}}
Un par	58.627.800	43.8%	82,6%	1.28: 1	[()136)− − 71]× × 6× × 6× × 990{displaystyle left[{13 choose 6}-71right]times 6times 6times 990}
No par / tarjeta alta	23.294.460	17.4%	100%	4.74: 1	1499× × [47− − 756− − 4− − 84]{displaystyle 1499times left[4^{7}-756-4-84right]
Total	133,784,560	100%	-...	0: 1	()527){displaystyle {52 choose 7}

(Las frecuencias proporcionadas son exactas; las probabilidades y probabilidades son aproximadas).

Dado que los palos no tienen un valor relativo en el póquer, dos manos pueden considerarse idénticas si una mano se puede transformar en la otra intercambiando palos. La eliminación de manos idénticas que ignoran los valores relativos de los palos deja 6.009.159 manos distintas de 7 cartas.

El número de manos distintas de póquer de 5 cartas que son posibles a partir de 7 cartas es 4.824. Quizás sorprendentemente, esto es menos que el número de manos de póquer de 5 cartas de 5 cartas, ya que algunas manos de 5 cartas son imposibles con 7 cartas (por ejemplo, 7 de alto y 8 de alto).

Manos de poker lowball de 5 cartas

Algunas variantes de póquer, llamadas lowball, usan una mano baja para determinar la mano ganadora. En la mayoría de las variantes de bola baja, el as se cuenta como la tarjeta más baja y las rectas y los flaushes no cuentan contra una mano baja, por lo que la mano más baja es la mano de cinco-alta A-2-3-4-5, también llamado a rueda. La probabilidad se calcula sobre la base de ()525)=2,598,960{textstyle {52 choose 5}=2,598,960}, el número total de combinaciones de 5 tarjetas. (Las frecuencias dadas son exactas; las probabilidades y las probabilidades son aproximadas.)

Mano	Manos distintivas	Frecuencia	Probabilidad	Cumulative	Odds against
5-alto	1	1.024	0,0394%	0,0394%	2,537.05: 1
6-alto	5	5,120	0,197%	0,23%	506.61: 1
7-alto	15	15.360	0,591%	0,827%	168.20: 1
8-alto	35	35.840	1.38%	2.21%	71.52: 1
9-alto	70	71.680	2.76%	4,96%	35.26: 1
10-alto	126	129.024	4,96%	9.93%	19.14: 1
Jack-alto	210	215.040	8,27%	18.2%	11.09: 1
Queen-high	330	337.920	13,0%	31,2%	6.69: 1
King-high	495	506,880	19.5%	50,7%	4.13: 1
Total	1.287	1,317,888	50,7%	50,7%	0.97: 1

Como se puede ver en la tabla, un poco más de la mitad de las veces un jugador obtiene una mano que no tiene pares, tríos o cuatros del mismo tipo. (50,7%)

Si los ases no son bajos, simplemente rote las descripciones de las manos para que 6 alto reemplace 5 alto como la mejor mano y as alto reemplace al rey alto como la peor mano.

Algunos jugadores no ignoran las escaleras y los colores cuando calculan la mano baja en lowball. En este caso, la mano más baja es A-2-3-4-6 con al menos dos palos. Las probabilidades se ajustan en la tabla anterior de modo que "5-high" no está en la lista", "6-high" tiene una mano distinta y "King-high" teniendo 330 manos distintas, respectivamente. La línea Total también necesita ajustes.

Manos de póquer lowball de 7 cartas

En algunas variantes de póquer un jugador utiliza la mejor mano baja de cinco cartas seleccionada de siete cartas. En la mayoría de las variantes de bola baja, el as se cuenta como la tarjeta más baja y las rectas y los flaushes no cuentan contra una mano baja, por lo que la mano más baja es la mano de cinco-alta A-2-3-4-5, también llamado a rueda. La probabilidad se calcula sobre la base de ()527)=133,784,560{textstyle {52 choose 7}=133,784,560}, el número total de combinaciones de 7 tarjetas.

La mesa no se extiende para incluir manos de cinco cartas con al menos un par. Su "Total" representa el 95,4% de las veces que un jugador puede seleccionar una mano baja de 5 cartas sin ningún par.

Mano	Frecuencia	Probabilidad	Cumulative	Odds against
5-alto	781,824	0,584%	0,584%	170.12: 1
6-alto	3,151,360	2.36%	2.94%	41.45: 1
7-alto	7.426.560	5,55%	8,49%	17.01: 1
8-alto	13,171.200	9.85%	18.3%	9.16: 1
9-alto	19.174.400	14,3%	32,7%	5.98: 1
10-alto	23,675,904	17.7%	50,4%	4.65: 1
Jack-alto	24,837,120	18.6%	68,9%	4.39: 1
Queen-high	21,457,920	16.0%	85,0%	5.23: 1
King-high	13.939.200	10,4%	95,4%	8.60: 1
Total	127,615,488	95,4%	95,4%	0,05: 1

(Las frecuencias proporcionadas son exactas; las probabilidades y probabilidades son aproximadas).

Si los ases no son bajos, simplemente rote las descripciones de las manos para que 6 alto reemplace 5 alto como la mejor mano y as alto reemplace al rey alto como la peor mano.

Algunos jugadores no ignoran las escaleras y los colores cuando calculan la mano baja en lowball. En este caso, la mano más baja es A-2-3-4-6 con al menos dos palos. Las probabilidades se ajustan en la tabla anterior de modo que "5-high" no está en la lista, "6-high" tiene 781.824 manos distintas y "King-high" tiene 21.457.920 manos distintas, respectivamente. La línea Total también necesita ajustes.