Principio de superposición

El principio de superposición, también conocido como propiedad de superposición, establece que, para todos los sistemas lineales, la respuesta neta causada por dos o más estímulos es la suma de las respuestas que habría sido causado por cada estímulo individualmente. De modo que si la entrada A produce la respuesta X y la entrada B produce la respuesta Y, entonces la entrada (A + B) produce la respuesta (X + Y).

Una función ${\displaystyle F(x)}$ que satisface el principio de la superposición se llama una función lineal. La superposición se puede definir por dos propiedades más simples: aditividad

$${\displaystyle F(x_{1}+x_{2})=F(x_{1})+F(x_{2}\,}$$

$${\displaystyle F(ax)=aF(x)\,}$$

Este principio tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería porque muchos sistemas físicos se pueden modelar como sistemas lineales. Por ejemplo, una viga se puede modelar como un sistema lineal donde el estímulo de entrada es la carga sobre la viga y la respuesta de salida es la deflexión de la viga. La importancia de los sistemas lineales es que son más fáciles de analizar matemáticamente; Existe un gran conjunto de técnicas matemáticas, métodos de transformación lineal en el dominio de la frecuencia, como las transformadas de Fourier y Laplace, y la teoría del operador lineal, que son aplicables. Debido a que los sistemas físicos generalmente son sólo aproximadamente lineales, el principio de superposición es sólo una aproximación del verdadero comportamiento físico.

El principio de superposición se aplica a cualquier sistema lineal, incluidas ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones de esas formas. Los estímulos y respuestas podrían ser números, funciones, vectores, campos vectoriales, señales variables en el tiempo o cualquier otro objeto que satisfaga ciertos axiomas. Tenga en cuenta que cuando se trata de vectores o campos vectoriales, una superposición se interpreta como una suma vectorial. Si la superposición se cumple, entonces también se cumple automáticamente para todas las operaciones lineales aplicadas a estas funciones (debido a la definición), como gradientes, diferenciales o integrales (si existen).

Relación con el análisis de Fourier y métodos similares

Al escribir un estímulo muy general (en un sistema lineal) como la superposición de estímulos de una forma específica y simple, a menudo la respuesta se vuelve más fácil de calcular.

Por ejemplo, en el análisis de Fourier, el estímulo se escribe como la superposición de infinitas sinusoides. Debido al principio de superposición, cada una de estas sinusoides se puede analizar por separado y se puede calcular su respuesta individual. (La respuesta es en sí misma una sinusoide, con la misma frecuencia que el estímulo, pero generalmente con una amplitud y fase diferentes). Según el principio de superposición, la respuesta al estímulo original es la suma (o integral) de todas las respuestas sinusoidales individuales. .

Como otro ejemplo común, en el análisis de funciones de Green, el estímulo se escribe como la superposición de infinitas funciones de impulso, y la respuesta es entonces una superposición de respuestas de impulso.

El análisis de Fourier es particularmente común para las ondas. Por ejemplo, en la teoría electromagnética, la luz ordinaria se describe como una superposición de ondas planas (ondas de frecuencia, polarización y dirección fijas). Mientras se cumpla el principio de superposición (lo cual ocurre a menudo, pero no siempre; ver óptica no lineal), el comportamiento de cualquier onda de luz puede entenderse como una superposición del comportamiento de estas ondas planas más simples.

Superposición de ondas

Las ondas generalmente se describen mediante variaciones en algunos parámetros a través del espacio y el tiempo; por ejemplo, la altura de una onda de agua, la presión de una onda de sonido o el campo electromagnético de una onda de luz. El valor de este parámetro se llama amplitud de la onda y la onda misma es una función que especifica la amplitud en cada punto.

En cualquier sistema con ondas, la forma de onda en un momento dado es una función de las fuentes (es decir, fuerzas externas, si las hay, que crean o afectan la onda) y las condiciones iniciales del sistema. En muchos casos (por ejemplo, en la ecuación de onda clásica), la ecuación que describe la onda es lineal. Cuando esto es cierto, se puede aplicar el principio de superposición. Eso significa que la amplitud neta causada por dos o más ondas que atraviesan el mismo espacio es la suma de las amplitudes que habrían sido producidas por las ondas individuales por separado. Por ejemplo, dos ondas que viajan una hacia la otra se atravesarán sin ninguna distorsión en el otro lado. (Ver imagen en la parte superior).

Difracción de ondas versus interferencia de ondas

Con respecto a la superposición de ondas, Richard Feynman escribió:

Nadie ha podido definir satisfactoriamente la diferencia entre interferencia y difusión. Es sólo una cuestión de uso, y no hay diferencia física específica e importante entre ellos. Lo mejor que podemos hacer, aproximadamente hablando, es decir que cuando sólo hay unas pocas fuentes, digamos dos, interfiriendo, entonces el resultado suele llamarse interferencia, pero si hay un gran número de ellas, parece que la palabra difracción se utiliza más a menudo.

Otros autores elaboran:

La diferencia es una de conveniencia y convención. Si las olas que se superponen proceden de algunas fuentes coherentes, digamos, dos, el efecto se llama interferencia. Por otro lado, si las olas que se superponen se originan subdividiendo una onda en olas coherentes infinitesimal (fuentes), el efecto se llama difracción. Esa es la diferencia entre los dos fenómenos es [un asunto] de grado solamente, y básicamente, son dos casos limitantes de efectos de superposición.

Otra fuente coincide:

En tanto que los flecos de interferencia observados por Young fueron el patrón de difusión de la doble abertura, este capítulo [Fraunhofer diffraction] es, por lo tanto, una continuación del Capítulo 8 [Interferencia]. Por otra parte, pocos ópticos considerarían al interferómetro Michelson como un ejemplo de difracción. Algunas de las categorías importantes de difracción se relacionan con la interferencia que acompaña la división del frente de onda, por lo que la observación de Feynman refleja en cierta medida la dificultad que podemos tener en distinguir la división de amplitud y división del frente de onda.

Interferencia de ondas

El fenómeno de la interferencia entre ondas se basa en esta idea. Cuando dos o más ondas atraviesan el mismo espacio, la amplitud neta en cada punto es la suma de las amplitudes de las ondas individuales. En algunos casos, como en los auriculares con cancelación de ruido, la variación sumada tiene una amplitud menor que las variaciones de los componentes; esto se llama interferencia destructiva. En otros casos, como en un arreglo lineal, la variación sumada tendrá una amplitud mayor que cualquiera de los componentes individualmente; esto se llama interferencia constructiva.

combinados onda
onda 1
onda 2
	Dos ondas en fase	Dos olas 180° de la fase

Desviaciones de la linealidad

En situaciones físicas más realistas, la ecuación que rige la onda es sólo aproximadamente lineal. En estas situaciones, el principio de la superposición sólo tiene aproximadamente. Como regla, la precisión de la aproximación tiende a mejorar a medida que la amplitud de la onda se vuelve más pequeña. Para ejemplos de fenómenos que surgen cuando el principio de la superposición no se mantiene exactamente, vea los artículos óptica no lineal y acústica no lineal.

Superposición cuántica

En mecánica cuántica, una tarea principal es calcular cómo se propaga y se comporta un determinado tipo de onda. La onda se describe mediante una función de onda y la ecuación que gobierna su comportamiento se llama ecuación de Schrödinger. Un enfoque principal para calcular el comportamiento de una función de onda es escribirla como una superposición (llamada "superposición cuántica") de (posiblemente infinitas) otras funciones de onda de un cierto tipo: estados estacionarios cuyo comportamiento es particularmente simple. Dado que la ecuación de Schrödinger es lineal, el comportamiento de la función de onda original se puede calcular de esta manera mediante el principio de superposición.

La naturaleza proyectiva del espacio cuántico-mecánico-estado causa cierta confusión, porque un estado mecánico cuántico es un Rayo en espacio proyector Hilbert, no vector. Según Dirac: "si el vector de cet correspondiente a un estado se multiplica por cualquier número complejo, no cero, el vector de cet resultante corresponderá al mismo estado [italics in original]." Sin embargo, la suma de dos rayos para componer un rayo superpuesto no está definida. Como resultado, Dirac mismo utiliza las representaciones vectoriales de cet de estados para descomponer o dividir, por ejemplo, un vector de ket ${\displaystyle ← _{i}\rangle }$en la superposición de vectores de ket componente ${\displaystyle Silencio\phi _{j}\rangle }$ como:

$${\displaystyle ← _{i}\rangle =\sum - Hola. ¿Qué?$$

${\displaystyle C_{j}\in {\textbf} {C}}$

${\displaystyle ← _{i}\rangle }$

${\displaystyle C_{j}$

${\displaystyle C_{j}$

${\displaystyle C_{j}$

${\displaystyle ← _{i}\rangle }$

Existen correspondencias exactas entre la superposición presentada en el capítulo principal de esta página y la superposición cuántica. Por ejemplo, la esfera de Bloch para representar el estado puro de un sistema mecánico cuántico de dos niveles. (qubit) también se conoce como la esfera de Poincaré y representa diferentes tipos de clásicos estados de polarización pura.

Sin embargo, sobre el tema de la superposición cuántica, Kramers escribe: "El principio de la superposición [cuántica]... no tiene analogía en la física clásica". Según Dirac: "la superposición que ocurre en la mecánica cuántica es de una naturaleza esencialmente diferente de cualquier que ocurra en la teoría clásica [cursiva en el original]." Aunque el razonamiento de Dirac incluye la atomicidad de la observación, que es válida, como para la fase, en realidad se refieren a simetría de traducción de fase derivada de la simetría de traducción temporal, que también es aplicable a estados clásicos, como se muestra arriba con estados de polarización clásicos.

Problemas de valores límite

Un tipo común de problema de valores límite es (para decirlo de manera abstracta) encontrar una función y que satisfaga alguna ecuación

$${\displaystyle F(y)=0}$$

$${\displaystyle G(y)=z}$$

En el caso de que F y G sean ambos operadores lineales, entonces el principio de superposición dice que una superposición de soluciones a la primera ecuación es otra solución a la primera ecuación. :

$${\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2}=\cdots =0\ \Rightarrow \ F(y_{1}+y_{2}+\cdots)=0}$$

$${\displaystyle G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2}}$$

Descomposición de estado aditivo

Considere un sistema lineal simple:

$${\displaystyle {\dot {x}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),x(0)=x_{0}$$

Por el principio de superposición, el sistema se puede descomponer en

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot} {x}_{1} {0}=Ax_{1}+Bu_{1} } {0)=x_{0},\\\{\dot {x}_{2}=0\end{aligned}}$$

$${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}$$

El principio de superposición solo está disponible para sistemas lineales. Sin embargo, la descomposición de estados aditiva se puede aplicar tanto a sistemas lineales como no lineales. A continuación, considere un sistema no lineal.

$${\displaystyle {\dot {x}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi \left(c^{\mathsf {T}x\right),\qquad x(0)=x_{0}}$$

${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot} {x}_{1}=Ax_{1}+Bu_{1}+\fi (y_{d}), recurx_{1}(0)=x_{0},\[1.5ex]{\dot {x}_{2}=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x_{1}+c^{\mathsf {T}x_{2}\right)-\phi (y_{d}), pulmonarx_{2}(0)=0.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}$$

Esta descomposición puede ayudar a simplificar el diseño del controlador.

Otras aplicaciones de ejemplo

• En la ingeniería eléctrica, en un circuito lineal, la entrada (una señal de voltaje de vacío de tiempo aplicada) está relacionada con la salida (una corriente o voltaje en cualquier lugar del circuito) por una transformación lineal. Así, una superposición (es decir, suma) de las señales de entrada dará la superposición de las respuestas. El uso del análisis de Fourier sobre esta base es particularmente común. Para otro, una técnica relacionada en el análisis de circuitos, vea el teorema de Superposición.
• En física, las ecuaciones de Maxwell implican que las distribuciones (posiblemente de tiempo-varios) de cargas y corrientes están relacionadas con los campos eléctricos y magnéticos por una transformación lineal. Así, el principio de superposición se puede utilizar para simplificar la computación de campos que surgen de una carga determinada y distribución actual. El principio también se aplica a otras ecuaciones diferenciales lineales que surgen en la física, como la ecuación de calor.
• En la ingeniería, la superposición se utiliza para resolver las desviaciones de la viga y la estructura de las cargas combinadas cuando los efectos son lineales (es decir, cada carga no afecta los resultados de las otras cargas, y el efecto de cada carga no altera significativamente la geometría del sistema estructural). El método de superposición de modo utiliza las frecuencias naturales y formas de modo para caracterizar la respuesta dinámica de una estructura lineal.
• En hidrogeología, el principio de superposición se aplica a la reducción de dos o más pozos de agua bombeando en un acuífero ideal. Este principio se utiliza en el método de elemento analítico para desarrollar elementos analíticos capaces de combinarse en un solo modelo.
• En el control de procesos, el principio de superposición se utiliza en el control predictivo modelo.
• El principio de superposición se puede aplicar cuando las pequeñas desviaciones de una solución conocida a un sistema no lineal se analizan por linearización.
• En la música, el teórico Joseph Schillinger utilizó una forma del principio de la superposición como base de su Teoría de Rhythm en su Sistema Schillinger de Composición Musical.
• En la computación, superposición de múltiples rutas de código, código y datos, o múltiples estructuras de datos se observan a veces en memoria compartida, binarios de grasa, así como instrucciones superpuestas en código automodificador altamente optimizado y texto ejecutable.

Historia

Según Léon Brillouin, el principio de superposición fue enunciado por primera vez por Daniel Bernoulli en 1753: "El movimiento general de un sistema vibratorio está dado por una superposición de sus vibraciones propias." El principio fue rechazado por Leonhard Euler y luego por Joseph Lagrange. Bernoulli argumentó que cualquier cuerpo sonoro podría vibrar en una serie de modos simples con una frecuencia de oscilación bien definida. Como había indicado anteriormente, estos modos podrían superponerse para producir vibraciones más complejas. En su reacción a las memorias de Bernoulli, Euler elogió a su colega por haber desarrollado mejor la parte física del problema de las cuerdas vibrantes, pero negó la generalidad y superioridad de la solución multimodo.

Más tarde fue aceptado, en gran parte gracias al trabajo de Joseph Fourier.