Principio de suma

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Contando principio en combinatoria
A collection of five dots and one of zero dots merge into one of five dots.
5+0=5 ilustrados con colecciones de puntos.

En combinatoria, la principio o Estado de la suma es un principio básico de contabilidad. Simplemente, es la idea intuitiva que si tenemos A Número de formas de hacer algo y B número de formas de hacer otra cosa y no podemos hacer ambas al mismo tiempo, entonces hay A+B{displaystyle A+B. maneras de elegir una de las acciones. En términos matemáticos, el principio de adición establece que, para conjuntos descomunales A y B, tenemos SilencioA∪ ∪ BSilencio=SilencioASilencio+SilencioBSilencio{displaystyle SilencioAcup B vidas= vivenA sobrevivirA sobrevivir.

La regla de la suma es un hecho sobre la teoría del conjunto.

El principio de adición puede extenderse a varios conjuntos. Si S1,S2,... ... ,Sn{displaystyle S_{1},S_{2},ldotsS_{n} son conjuntos descomunales pares, entonces tenemos:

SilencioS1Silencio+SilencioS2Silencio+⋯ ⋯ +SilencioSnSilencio=SilencioS1∪ ∪ S2∪ ∪ ⋯ ⋯ ∪ ∪ SnSilencio.{displaystyle Silencios_{1} + habitS_{n}Sobrevivir_{1}cup S_{2}cup cdots cup S.
n

Ejemplo sencillo

Five shapes split into a group of three shapes and one of two shapes.
3+2=5 ilustrados con formas.

Una persona ha decidido hoy comprar en una tienda, ya sea en la parte norte o sur de la ciudad. Si visitan la parte norte de la ciudad, comprarán en un centro comercial, una mueblería o una joyería (3 formas). Si visitan la parte sur de la ciudad, comprarán en una tienda de ropa o en una zapatería (2 vías).

Así que hay 3+2=5{displaystyle 3+2=5} tiendas posibles que la persona podría terminar comprando hoy.

Principio de inclusión-exclusión

A series of Venn diagrams illustrating the principle of inclusion-exclusion.
Una serie de diagramas de Venn que ilustran el principio de inclusión-exclusión.

El principio de inclusión-exclusión (también conocido como principio de tamiz) puede considerarse como una generalización de la regla de la suma en el sentido de que también enumera el número de elementos en la unión de algunos conjuntos (pero no requiere que los conjuntos sean disjuntos). Afirma que si A1,..., An son conjuntos finitos, entonces

<math alttext="{displaystyle left|bigcup _{i=1}^{n}A_{i}right|=sum _{i=1}^{n}left|A_{i}right|-sum _{i,j,:,1leq i<jleq n}left|A_{i}cap A_{j}right|+sum _{i,j,k,:,1leq i<jSilencio⋃ ⋃ i=1nAiSilencio=. . i=1nSilencioAiSilencio− − . . i,j:1≤ ≤ ic)j≤ ≤ nSilencioAi∩ ∩ AjSilencio+. . i,j,k:1≤ ≤ ic)jc)k≤ ≤ nSilencioAi∩ ∩ Aj∩ ∩ AkSilencio− − ⋯ ⋯ +()− − 1)n− − 1SilencioA1∩ ∩ ⋯ ⋯ ∩ ∩ AnSilencio.{displaystyle left durablebigcup ¿Por qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ A_{j}right forever+sum _{i,j,k,:,1leq i obedecistekleq n}left habitA_{i}cap A_{j}cap A_{k}right sometida-cdots +(-1)^{n-1}lefttenciónA_{1}cap cdots cap A_{n} 'justo de la vida.}
<img alt="{displaystyle left|bigcup _{i=1}^{n}A_{i}right|=sum _{i=1}^{n}left|A_{i}right|-sum _{i,j,:,1leq i<jleq n}left|A_{i}cap A_{j}right|+sum _{i,j,k,:,1leq i<j

Principio de resta

Del mismo modo, para un determinado conjunto finito S, y dado otro conjunto A, si A⊂ ⊂ S{displaystyle Asubset S}Entonces SilencioAcSilencio=SilencioSSilencio− − SilencioASilencio{displaystyle SilencioA^{c}Principalmente. Para probar esto, note que SilencioAcSilencio+SilencioASilencio=SilencioSSilencio{displaystyle SilencioA^{c}Sobrevivir* por el principio adicional.

aplicaciones

El principio de adición se puede utilizar para probar la regla de Pascal combinatorialmente. Para calcular ()n+1k){displaystyle {binom {n+1}{k}}, se puede ver como el número de maneras de elegir k personas de una habitación que contiene n niños y 1 maestro. Entonces hay ()nk){displaystyle {binom {} {}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} maneras de elegir personas sin elegir al maestro, y ()nk− − 1){displaystyle {binom {n}{k-1}} maneras de elegir personas que incluyen al maestro. Así ()n+1k)=()nk)+()nk− − 1){binom} {binom} {binom}}={binom} {n}{k}+{binom} {n}{k-1}}.

El principio de adición también se puede utilizar para probar el principio de multiplicación.

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