Principio de indiferencia

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El principio de indiferencia (también llamado principio de razón insuficiente) es una regla para asignar probabilidades epistémicas. El principio de indiferencia establece que, en ausencia de evidencia relevante, los agentes deben distribuir su credibilidad (o 'grados de creencia') por igual entre todos los posibles resultados bajo consideración.

En la probabilidad bayesiana, este es el anterior no informativo más simple. El principio de indiferencia no tiene sentido bajo la interpretación de frecuencia de la probabilidad, en la que las probabilidades son frecuencias relativas en lugar de grados de creencia en proposiciones inciertas, condicionadas a la información del estado.

Ejemplos

Los ejemplos de libros de texto para la aplicación del principio de indiferencia son monedas, dados y cartas.

En un sistema macroscópico, al menos, se debe suponer que las leyes físicas que gobiernan el sistema no se conocen lo suficientemente bien como para predecir el resultado. Como observó hace algunos siglos John Arbuthnot (en el prefacio de Of the Laws of Chance, 1692),Es imposible que un Dado, con una fuerza y dirección tan determinadas, no caiga en un lado tan determinado, solo que no sé la fuerza y dirección que lo hace caer en un lado tan determinado, y por lo tanto yo llámalo Azar, que no es más que la falta de arte...

Dado el tiempo y los recursos suficientes, no existe una razón fundamental para suponer que no se pueden realizar mediciones adecuadamente precisas, lo que permitiría predecir el resultado de monedas, dados y cartas con gran precisión: el trabajo de Persi Diaconis con máquinas para lanzar monedas es un ejemplo práctico de esto.

Monedas

Una moneda simétrica tiene dos lados, cabezas etiquetadas arbitrariamente (muchas monedas tienen la cabeza de una persona representada en un lado) y cruces. Suponiendo que la moneda debe caer de un lado o del otro, los resultados de un lanzamiento de moneda son mutuamente excluyentes, exhaustivos e intercambiables. Según el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los posibles resultados una probabilidad de 1/2.

Está implícito en este análisis que las fuerzas que actúan sobre la moneda no se conocen con precisión. Si se conociera con suficiente precisión el impulso impartido a la moneda cuando se lanza, el vuelo de la moneda podría predecirse de acuerdo con las leyes de la mecánica. Así, la incertidumbre en el resultado del lanzamiento de una moneda se deriva (en su mayor parte) de la incertidumbre con respecto a las condiciones iniciales. Este punto se analiza con más detalle en el artículo sobre el lanzamiento de monedas.

Dado

Un dado simétrico tiene n caras, arbitrariamente etiquetadas del 1 al n. Un dado cúbico ordinario tiene n = 6 caras, aunque se puede construir un dado simétrico con diferente número de caras; ver Dados. Suponemos que el dado caerá con una cara u otra hacia arriba y no hay otros resultados posibles. Aplicando el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los posibles resultados una probabilidad de 1/ n. Al igual que con las monedas, se supone que las condiciones iniciales del lanzamiento de los dados no se conocen con suficiente precisión para predecir el resultado de acuerdo con las leyes de la mecánica. Los dados se lanzan típicamente para rebotar en una mesa u otra superficie (s). Esta interacción hace que la predicción del resultado sea mucho más difícil.

La suposición de simetría es crucial aquí. Supongamos que se nos pide apostar a favor o en contra del resultado "6". Podríamos razonar que hay dos resultados relevantes aquí "6" o "no 6", y que estos son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Esto sugiere asignar la probabilidad 1/2 a cada uno de los dos resultados.

Tarjetas

Una baraja estándar contiene 52 cartas, cada una de las cuales recibe una etiqueta única de forma arbitraria, es decir, ordenada arbitrariamente. Sacamos una carta de la baraja; aplicando el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los posibles resultados una probabilidad de 1/52.

Este ejemplo, más que los demás, muestra la dificultad de aplicar el principio de indiferencia en situaciones reales. Lo que realmente queremos decir con la frase "ordenado arbitrariamente" es simplemente que no tenemos ninguna información que nos lleve a favorecer una tarjeta en particular. En la práctica real, este rara vez es el caso: una nueva baraja de cartas ciertamente no está en un orden arbitrario, y tampoco lo está una baraja inmediatamente después de una mano de cartas. En la práctica, por lo tanto, barajamos las cartas; esto no destruye la información que tenemos, sino que (con suerte) hace que nuestra información sea prácticamente inutilizable, aunque todavía es utilizable en principio. De hecho, algunos jugadores expertos de blackjack pueden seguir la pista de los ases en la baraja; para ellos, la condición para aplicar el principio de indiferencia no se cumple.

Aplicación a variables continuas

La aplicación incorrecta del principio de indiferencia puede conducir fácilmente a resultados sin sentido, especialmente en el caso de variables continuas multivariadas. Un caso típico de mal uso es el siguiente ejemplo:

Supongamos que hay un cubo escondido en una caja. Una etiqueta en la caja dice que el cubo tiene una longitud de lado de entre 3 y 5 cm.
No conocemos la longitud real del lado, pero podemos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 4 cm.
La información de la etiqueta nos permite calcular que la superficie del cubo está entre 54 y 150 cm. No conocemos el área de la superficie real, pero podemos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 102 cm.
La información de la etiqueta nos permite calcular que el volumen del cubo está entre 27 y 125 cm. No conocemos el volumen real, pero podemos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 76 cm.
Sin embargo, ahora hemos llegado a la conclusión imposible de que el cubo tiene una longitud de lado de 4 cm, un área de superficie de 102 cm y un volumen de 76 cm.

En este ejemplo, surgen estimaciones mutuamente contradictorias de la longitud, el área de superficie y el volumen del cubo porque hemos asumido tres distribuciones mutuamente contradictorias para estos parámetros: una distribución uniforme para cualquiera de las variables implica una distribución no uniforme para la otra dos. En general, el principio de indiferencia no indica qué variable (por ejemplo, en este caso, longitud, área de superficie o volumen) debe tener una distribución de probabilidad epistémica uniforme.

Otro ejemplo clásico de este tipo de mal uso es la paradoja de Bertrand. Edwin T. Jaynes introdujo el principio de los grupos de transformación, que puede generar una distribución de probabilidad epistémica para este problema. Esto generaliza el principio de indiferencia, al decir que uno es indiferente entre problemas equivalentesen lugar de indiferente entre las proposiciones. Esto todavía se reduce al principio ordinario de indiferencia cuando se considera que una permutación de las etiquetas genera problemas equivalentes (es decir, usando el grupo de transformación de permutación). Para aplicar esto al ejemplo del cuadro anterior, tenemos tres variables aleatorias relacionadas por ecuaciones geométricas. Si no tenemos ninguna razón para favorecer un trío de valores sobre otro, entonces nuestras probabilidades previas deben estar relacionadas por la regla para cambiar variables en distribuciones continuas. Sea L la longitud y V el volumen. Entonces debemos tener ${displaystyle f_{L}(L)=left|{parcial V sobre parcial L}right|f_{V}(V)=3L^{2}f_{V}(L^{3})}$ ,

donde ${ estilo de visualización f_ {L}, , f_ {V}}$ están las funciones de densidad de probabilidad (pdf) de las variables indicadas. Esta ecuación tiene solución general: $f(L)={K sobre L}$ , donde K es una constante de normalización, determinada por el rango de L, en este caso igual a: $K^{-1}=int_{3}^{5}{dL sobre L} = logleft({5 sobre 3}right)$

Para poner esto "a prueba", preguntamos por la probabilidad de que la longitud sea menor que 4. Esto tiene probabilidad de: $Pr(L<4)=int _{{3}}^{{4}}{dL sobre Llog({5 sobre 3})}={log({4 sobre 3}) sobre log({5 sobre 3})}aprox. 0,56$ .

Para el volumen, esto debe ser igual a la probabilidad de que el volumen sea menor que 4 = 64. El pdf del volumen es $f(V^{{{1 sobre 3}}}){1 sobre 3}V^{{-{2 sobre 3}}}={1 sobre 3Vlog({5 sobre 3}) }$ .

Y entonces la probabilidad de volumen menor que 64 es $Pr(V<64)=int _{{27}}^{{64}}{dV sobre 3Vlog({5 sobre 3})}={log({64 sobre 27}) sobre 3log({5 sobre 3})}={3log({4 sobre 3}) sobre 3log({5 sobre 3})}={log({4 sobre 3 }) sobre log({5 sobre 3})}aproximadamente 0,56$ .

Así hemos logrado la invariancia con respecto al volumen y la longitud. También se puede mostrar la misma invariancia con respecto al área de superficie menor que 6(4) = 96. Sin embargo, tenga en cuenta que esta asignación de probabilidad no es necesariamente "correcta". Pues la distribución exacta de longitudes, volumen o superficie dependerá de cómo se lleve a cabo el "experimento".

La hipótesis fundamental de la física estadística, que dos microestados cualesquiera de un sistema con la misma energía total son igualmente probables en equilibrio, es en cierto sentido un ejemplo del principio de indiferencia. Sin embargo, cuando los microestados se describen mediante variables continuas (como posiciones y momentos), se necesita una base física adicional para explicar bajo qué parametrización la densidad de probabilidad será uniforme. El teorema de Liouville justifica el uso de variables conjugadas canónicamente, como las posiciones y sus momentos conjugados.

La paradoja vino/agua muestra un dilema con variables vinculadas y cuál elegir.

Historia

Los escritores originales sobre probabilidad, principalmente Jacob Bernoulli y Pierre Simon Laplace, consideraron que el principio de indiferencia era intuitivamente obvio y ni siquiera se molestaron en darle un nombre. Laplace escribió:La teoría del azar consiste en reducir todos los sucesos de la misma especie a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, a aquellos sobre los que podemos estar igualmente indecisos acerca de su existencia, y en determinar el número de casos favorable al evento cuya probabilidad se busca. La razón de este número al de todos los casos posibles es la medida de esta probabilidad, que es así simplemente una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número de todos los casos posibles.

Estos escritores anteriores, Laplace en particular, ingenuamente generalizaron el principio de indiferencia al caso de parámetros continuos, dando la llamada "distribución de probabilidad previa uniforme", una función que es constante en todos los números reales. Usó esta función para expresar una falta total de conocimiento sobre el valor de un parámetro. Según Stigler (página 135), la suposición de Laplace de probabilidades previas uniformes no era una suposición metafísica. Era una suposición implícita hecha para facilitar el análisis.

El principio de razón insuficiente fue su primer nombre, dado por Johannes von Kries, posiblemente como un juego sobre el principio de razón suficiente de Leibniz. Estos escritores posteriores (George Boole, John Venn y otros) se opusieron al uso del uniforme anterior por dos razones. La primera razón es que la función constante no es normalizable y, por lo tanto, no es una distribución de probabilidad adecuada. La segunda razón es su inaplicabilidad a variables continuas, como se describió anteriormente.

El "principio de razón insuficiente" fue rebautizado como "principio de indiferencia" por John Maynard Keynes (1921), quien tuvo cuidado de señalar que se aplica solo cuando no hay conocimiento que indique probabilidades desiguales.

Los intentos de poner la noción sobre una base filosófica más firme generalmente han comenzado con el concepto de equiposibilidad y han progresado desde él hasta la equiprobabilidad.

Al principio de indiferencia se le puede dar una justificación lógica más profunda al señalar que a los estados de conocimiento equivalentes se les deben asignar probabilidades epistémicas equivalentes. Este argumento fue propuesto por Edwin Thompson Jaynes: conduce a dos generalizaciones, a saber, el principio de los grupos de transformación como en el anterior de Jeffreys y el principio de máxima entropía.

De manera más general, se habla de antecedentes no informativos.