Principio de exclusión de Pauli

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Regla de mecánica cuántica: los fermions idénticos no pueden ocupar el mismo estado cuántico simultáneamente

Wolfgang Pauli formuló la ley declarando que no dos electrones pueden tener el mismo conjunto de números cuánticos.

En mecánica cuántica, el principio de exclusión de Pauli establece que dos o más partículas idénticas con espines semienteros (es decir, fermiones) no pueden ocupar el mismo estado cuántico dentro de un sistema cuántico simultáneamente. Este principio fue formulado por el físico austríaco Wolfgang Pauli en 1925 para electrones, y luego se extendió a todos los fermiones con su teorema de estadística de espín de 1940.

En el caso de los electrones en los átomos, se puede afirmar de la siguiente manera: es imposible que dos electrones de un átomo polielectrónico tengan los mismos valores de los cuatro números cuánticos: n, el número cuántico principal; ℓ, el número cuántico azimutal; m_ℓ, el número cuántico magnético; y m_s, el número cuántico de espín. Por ejemplo, si dos electrones residen en el mismo orbital, entonces sus valores n, ℓ y m_ℓ son lo mismo; por lo tanto, sus m_s deben ser diferentes y, por lo tanto, los electrones deben tener proyecciones de espín semienteras opuestas de 1/2 y −1/2.

Las partículas con espín entero, o bosones, no están sujetas al principio de exclusión de Pauli: cualquier número de bosones idénticos puede ocupar el mismo estado cuántico, como ocurre, por ejemplo, con los fotones producidos por un láser o los átomos en un Bose– Condensado de Einstein.

Una afirmación más rigurosa es que, con respecto al intercambio de dos partículas idénticas, la función de onda total (muchas partículas) es antisimétrica para los fermiones y simétrica para los bosones. Esto significa que si se intercambian las coordenadas espaciales y de espín de dos partículas idénticas, la función de onda total cambia de signo para los fermiones y no cambia para los bosones.

Si dos fermiones estuvieran en el mismo estado (por ejemplo, el mismo orbital con el mismo espín en el mismo átomo), intercambiarlos no cambiaría nada y la función de onda total no cambiaría. La única forma en que la función de onda total puede cambiar de signo como se requiere para los fermiones y también permanecer sin cambios es que esta función debe ser cero en todas partes, lo que significa que el estado no puede existir. Este razonamiento no se aplica a los bosones porque el signo no cambia.

Resumen

El principio de exclusión de Pauli describe el comportamiento de todos los fermiones (partículas con "spin medio entero"), mientras que los bosones (partículas con "espín entero") están sujetos a otros principios. Los fermiones incluyen partículas elementales como quarks, electrones y neutrinos. Además, los bariones como los protones y los neutrones (partículas subatómicas compuestas de tres quarks) y algunos átomos (como el helio-3) son fermiones y, por lo tanto, también se describen mediante el principio de exclusión de Pauli. Los átomos pueden tener un 'espín' general diferente, lo que determina si son fermiones o bosones; por ejemplo, el helio-3 tiene un espín 1/2 y, por lo tanto, es un fermión, mientras que el helio-4 tiene un espín 0 y es un bosón.. El principio de exclusión de Pauli sustenta muchas propiedades de la materia cotidiana, desde su estabilidad a gran escala hasta el comportamiento químico de los átomos.

"Huelga de abono entero" significa que el valor intrínseco del impulso angular de los fermions es $hbar = h/2pi$ (reducido constante de Planck) veces medio entero (1/2, 3/2, 5/2, etc.). En la teoría de la mecánica cuántica, los fermions son descritos por estados antisimétricos. En cambio, las partículas con giro entero (hijos) tienen funciones de onda simétrica y pueden compartir los mismos estados cuánticos. Bosons incluyen el fotón, los pares Cooper responsables de la superconductividad, y los bosons W y Z. Fermions toma su nombre de la distribución estadística Fermi-Dirac, que obedecen, y los bosones toman el suyo de la distribución Bose-Einstein.

Historia

A principios del siglo XX se hizo evidente que los átomos y las moléculas con un número par de electrones son más estables químicamente que aquellos con un número impar de electrones. En el artículo de 1916 "El átomo y la molécula" por Gilbert N. Lewis, por ejemplo, el tercero de sus seis postulados de comportamiento químico establece que el átomo tiende a contener un número par de electrones en cualquier capa dada, y especialmente a contener ocho electrones, que supuso que normalmente estaban dispuestos simétricamente. en las ocho esquinas de un cubo. En 1919, el químico Irving Langmuir sugirió que la tabla periódica podría explicarse si los electrones de un átomo estuvieran conectados o agrupados de alguna manera. Se pensaba que los grupos de electrones ocupaban un conjunto de capas de electrones alrededor del núcleo. En 1922, Niels Bohr actualizó su modelo del átomo asumiendo que cierto número de electrones (por ejemplo, 2, 8 y 18) correspondían a "capas cerradas" estables.

Pauli buscó una explicación para estos números, que al principio eran solo empíricos. Al mismo tiempo intentaba explicar los resultados experimentales del efecto Zeeman en espectroscopia atómica y en ferromagnetismo. Encontró una pista esencial en un artículo de 1924 de Edmund C. Stoner, que señalaba que, para un valor dado del número cuántico principal (n), el número de niveles de energía de un solo electrón en el espectro de metales alcalinos en un campo magnético externo, donde se separan todos los niveles de energía degenerados, es igual al número de electrones en la capa cerrada de los gases nobles para el mismo valor de n. Esto llevó a Pauli a darse cuenta de que la complicada cantidad de electrones en capas cerradas se puede reducir a la simple regla de un electrón por estado si los estados de los electrones se definen usando cuatro números cuánticos. Para ello, introdujo un nuevo número cuántico de dos valores, identificado por Samuel Goudsmit y George Uhlenbeck como espín del electrón.

Conexión con la simetría del estado cuántico

En su conferencia Nobel, Pauli aclaró la importancia de la simetría del estado cuántico en el principio de exclusión:

Entre las diferentes clases de simetría, las más importantes (que por otra parte para dos partículas son las únicas) son la clase simétrica, en la que la función de onda no cambia su valor cuando el espacio y las coordenadas de giro de dos partículas son permutadas, y la clase antisimétrica, en la que para tal permutación la función de onda cambia su signo... [La clase antisimétrica es] la formulación mecánica correcta y general del principio de exclusión.

El principio de exclusión de Pauli con una función de onda de muchas partículas de valor único es equivalente a exigir que la función de onda sea antisimétrica con respecto al intercambio. Si $|xrangle$ y $|yrangle$ gama sobre los vectores base del espacio Hilbert que describen un sistema de una partícula, entonces el producto tensor produce la base vectorial ${displaystyle |x,yrangle =|xrangle otimes |yrangle }$ del espacio Hilbert describiendo un sistema de dos tales partículas. Cualquier estado de dos partículas puede ser representado como una superposición (es decir, suma) de estos vectores de base:

|psi rangle =sum _{{x,y}}A(x,y)|x,yrangle

donde cada A(x,y) es un escalar (complejo) coeficiente. Antisimetría bajo intercambio significa que A(x,y) = −A (y,x). Esto implica A(x,y) = 0 cuando x = y, que es la exclusión de Pauli. Es cierto en cualquier base ya que los cambios locales de base mantienen las matrices antisimétricas antisimétricas.

Por el contrario, si las cantidades diagonales A(x,x) son cero en todas las bases, entonces el componente de función de onda

{displaystyle A(x,y)=langle psi |x,yrangle =langle psi |{Big (}|xrangle otimes |yrangle {Big)}}

es necesariamente antisimétrico. Para probarlo, considere el elemento de la matriz

langle psi |{Big (}(|xrangle +|yrangle)otimes (|xrangle +|yrangle){Big)}.

Esto es cero, porque las dos partículas tienen cero probabilidad de estar en el estado de la superposición $|xrangle +|yrangle$ . Pero esto es igual a

langle psi |x,xrangle +langle psi |x,yrangle +langle psi |y,xrangle +langle psi |y,yrangle.

El primer y último término son elementos diagonales y son cero, y la suma total es igual a cero. Entonces los elementos de la matriz de función de onda obedecen:

langle psi |x,yrangle +langle psi |y,xrangle =0,

A(x,y)=-A(y,x).

Para un sistema con n ■ 2 partículas, los estados de base multipartícula se convierten n-productos de tensores múltiples de estados de base de partículas, y los coeficientes de la función de onda ${displaystyle A(x_{1},x_{2},ldotsx_{n})}$ son identificados por n Estados de una partícula. La condición de antisimetría establece que los coeficientes deben cambiar de signo cuando se intercambian dos estados: ${displaystyle A(ldotsx_{i},ldotsx_{j},ldots)=-A(ldotsx_{j},ldotsx_{i},ldots)}$ para cualquier $ine j$ . El principio de exclusión es la consecuencia de que, si $x_{i}=x_{j}$ para cualquier ${displaystyle ineq j,}$ entonces ${displaystyle A(ldotsx_{i},ldotsx_{j},ldots)=0.}$ Esto demuestra que ninguno de los n las partículas pueden estar en el mismo estado.

Teoría cuántica avanzada

De acuerdo con el teorema de las estadísticas de espín, las partículas con espín entero ocupan estados cuánticos simétricos, y las partículas con espín medio entero ocupan estados antisimétricos; además, los principios de la mecánica cuántica solo permiten valores de espín enteros o semienteros. En la teoría cuántica relativista de campos, el principio de Pauli se deriva de aplicar un operador de rotación en un tiempo imaginario a partículas de espín medio entero.

En una dimensión, los bosones, al igual que los fermiones, pueden obedecer el principio de exclusión. Un gas de Bose unidimensional con interacciones repulsivas de función delta de fuerza infinita es equivalente a un gas de fermiones libres. La razón de esto es que, en una dimensión, el intercambio de partículas requiere que se atraviesen entre sí; para una repulsión infinitamente fuerte esto no puede suceder. Este modelo se describe mediante una ecuación de Schrödinger no lineal cuántica. En el espacio de cantidad de movimiento, el principio de exclusión también es válido para la repulsión finita en un gas de Bose con interacciones de función delta, así como para los espines que interactúan y el modelo de Hubbard en una dimensión, y para otros modelos resolubles por Bethe ansatz. El estado fundamental en modelos solucionables por Bethe ansatz es una esfera de Fermi.

Aplicaciones

Átomos

El principio de exclusión de Pauli ayuda a explicar una amplia variedad de fenómenos físicos. Una consecuencia particularmente importante del principio es la elaborada estructura de capa de electrones de los átomos y la forma en que los átomos comparten electrones, lo que explica la variedad de elementos químicos y sus combinaciones químicas. Un átomo eléctricamente neutro contiene electrones enlazados en igual número que los protones en el núcleo. Los electrones, al ser fermiones, no pueden ocupar el mismo estado cuántico que otros electrones, por lo que los electrones tienen que "apilarse" dentro de un átomo, es decir, tienen diferentes espines mientras están en el mismo orbital de electrones como se describe a continuación.

Un ejemplo es el átomo de helio neutro, que tiene dos electrones enlazados, los cuales pueden ocupar los estados de menor energía (1s) adquiriendo espín opuesto; como el espín es parte del estado cuántico del electrón, los dos electrones están en diferentes estados cuánticos y no violan el principio de Pauli. Sin embargo, el espín solo puede tomar dos valores diferentes (valores propios). En un átomo de litio, con tres electrones unidos, el tercer electrón no puede residir en un estado 1s y debe ocupar uno de los estados 2s de mayor energía. De manera similar, los elementos sucesivamente más grandes deben tener capas de energía cada vez más alta. Las propiedades químicas de un elemento dependen en gran medida del número de electrones en la capa más externa; los átomos con diferente número de capas de electrones ocupadas pero el mismo número de electrones en la capa más externa tienen propiedades similares, lo que da lugar a la tabla periódica de los elementos.

Para probar el principio de exclusión de Pauli para el átomo de helio, Gordon Drake llevó a cabo cálculos muy precisos para estados hipotéticos del átomo de He que lo violan, que se denominan estados parónicos. Posteriormente, K. Deilamian et al. usó un espectrómetro de haz atómico para buscar el estado parónico 1s2s ¹S₀ calculado por Drake. La búsqueda no tuvo éxito y mostró que el peso estadístico de este estado parónico tiene un límite superior de 5×10⁻⁶. (El principio de exclusión implica un peso de cero.)

Propiedades del estado sólido

En conductores y semiconductores, hay un gran número de orbitales moleculares que forman efectivamente una estructura de banda continua de niveles de energía. En los conductores fuertes (metales), los electrones están tan degenerados que ni siquiera pueden contribuir mucho a la capacidad térmica de un metal. Muchas propiedades mecánicas, eléctricas, magnéticas, ópticas y químicas de los sólidos son consecuencia directa de la exclusión de Pauli.

Estabilidad de la materia

(para más información, lea la página de Estabilidad de la materia)

La estabilidad de cada estado de electrón en un átomo se describe mediante la teoría cuántica del átomo, que muestra que el acercamiento cercano de un electrón al núcleo necesariamente aumenta la energía cinética del electrón, una aplicación del principio de incertidumbre de Heisenberg. Sin embargo, la estabilidad de grandes sistemas con muchos electrones y muchos nucleones es una cuestión diferente y requiere el principio de exclusión de Pauli.

Se ha demostrado que el principio de exclusión de Pauli es responsable del hecho de que la materia a granel ordinaria sea estable y ocupe volumen. Esta sugerencia fue hecha por primera vez en 1931 por Paul Ehrenfest, quien señaló que los electrones de cada átomo no pueden caer todos en el orbital de energía más baja y deben ocupar capas cada vez más grandes. Los átomos, por lo tanto, ocupan un volumen y no pueden apretarse demasiado.

La primera prueba rigurosa fue proporcionada en 1967 por Freeman Dyson y Andrew Lenard (de), quienes consideraron el equilibrio de fuerzas atractivas (electrón-nuclear) y repulsivas (electrón-electrón y nuclear-nuclear) y demostraron que la materia ordinaria colapsar y ocupar un volumen mucho menor sin el principio de Pauli. Más tarde, Elliott H. Lieb y Walter Thirring encontraron una prueba mucho más simple en 1975. Proporcionaron un límite inferior de la energía cuántica en términos del modelo de Thomas-Fermi, que es estable debido a un teorema de Teller. La prueba usó un límite inferior en la energía cinética que ahora se llama desigualdad de Lieb-Thirring.

La consecuencia del principio de Pauli aquí es que los electrones del mismo espín se mantienen separados por una interacción de intercambio repulsiva, que es un efecto de corto alcance, que actúa simultáneamente con la fuerza electrostática o coulombiana de largo alcance. Este efecto es en parte responsable de la observación cotidiana en el mundo macroscópico de que dos objetos sólidos no pueden estar en el mismo lugar al mismo tiempo.

Astrofísica

Dyson y Lenard no consideraron las fuerzas magnéticas o gravitatorias extremas que ocurren en algunos objetos astronómicos. En 1995, Elliott Lieb y sus colaboradores demostraron que el principio de Pauli todavía conduce a la estabilidad en campos magnéticos intensos, como en las estrellas de neutrones, aunque a una densidad mucho mayor que en la materia ordinaria. Es una consecuencia de la relatividad general que, en campos gravitatorios suficientemente intensos, la materia colapsa para formar un agujero negro.

La astronomía proporciona una demostración espectacular del efecto del principio de Pauli, en forma de enanas blancas y estrellas de neutrones. En ambos cuerpos, la estructura atómica se ve alterada por la presión extrema, pero las estrellas se mantienen en equilibrio hidrostático por la presión de degeneración, también conocida como presión de Fermi. Esta forma exótica de materia se conoce como materia degenerada. La inmensa fuerza gravitacional de la masa de una estrella normalmente se mantiene en equilibrio por la presión térmica causada por el calor producido en la fusión termonuclear en el núcleo de la estrella. En las enanas blancas, que no experimentan fusión nuclear, la presión de degeneración electrónica proporciona una fuerza opuesta a la gravedad. En las estrellas de neutrones, sujetas a fuerzas gravitatorias aún más fuertes, los electrones se fusionaron con los protones para formar neutrones. Los neutrones son capaces de producir una presión de degeneración de neutrones aún más alta, aunque en un rango más corto. Esto puede estabilizar las estrellas de neutrones para que no colapsen más, pero con un tamaño más pequeño y una densidad más alta que una enana blanca. Las estrellas de neutrones son las más "rígidas" objetos conocidos; su módulo de Young (o más exactamente, módulo de volumen) es 20 órdenes de magnitud mayor que el del diamante. Sin embargo, incluso esta enorme rigidez puede ser superada por el campo gravitacional de una masa de estrella de neutrones que excede el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff, lo que lleva a la formación de un agujero negro.

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