Principio de dirichlet

En matemáticas, y particularmente en teoría de potenciales, el principio de Dirichlet es la suposición de que el minimizador de una determinada energía funcional es una solución a la ecuación de Poisson.

Declaración formal

El principio de Dirichlet dice que, si la función u()x){displaystyle u(x)} es la solución a la ecuación de Poisson

Δ Δ u+f=0{displaystyle Delta u+f=0}

en un dominio Ω Ω {displaystyle Omega } de Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} con condición de límite

u=g{displaystyle u=g} sobre el límite ∂ ∂ Ω Ω {displaystyle partial Omega },

entonces u se puede obtener como minimizador de la energía de Dirichlet

E[v()x)]=∫ ∫ Ω Ω ()12SilencioSilencio Silencio vSilencio2− − vf)dx{displaystyle E[v(x)]=int _{Omega }left({frac {1}{2}{nabla v WordPress^{2}-vfright),mathrm {d} x}

entre todas las dos funciones diferentes v{displaystyle v} tales que v=g{displaystyle v=g} on ∂ ∂ Ω Ω {displaystyle partial Omega } (siempre que exista al menos una función haciendo la finita integral del Dirichlet). Este concepto es nombrado por el matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Historia

El nombre "principio de Dirichlet" se debe a Bernhard Riemann, quien lo aplicó en el estudio de funciones analíticas complejas.

Riemann (y otros como Carl Friedrich Gauss y Peter Gustav Lejeune Dirichlet) sabían que la integral de Dirichlet está acotada por debajo, lo que establece la existencia de un mínimo; sin embargo, dio por sentada la existencia de una función que alcanza el mínimo. Karl Weierstrass publicó la primera crítica de este supuesto en 1870, dando un ejemplo de un funcional que tiene un límite inferior máximo que no es un valor mínimo. El ejemplo de Weierstrass fue el funcional

J()φ φ)=∫ ∫ − − 11()xdφ φ dx)2dx{displaystyle J(varphi)=int ¿Por qué?

Donde φ φ {displaystyle varphi } continuo [− − 1,1]{displaystyle [-1,1]}, continuamente diferenciable en ()− − 1,1){displaystyle (-1,1)}, y sujeto a condiciones de límites φ φ ()− − 1)=a{displaystyle varphi (-1)=a}, φ φ ()1)=b{displaystyle varphi (1)=b} Donde a{displaystyle a} y b{displaystyle b} son constantes y aل ل b{displaystyle aneq b}. Weierstrass demostró que infφ φ J()φ φ)=0{displaystyle textstyle inf _{varphi }J(varphi)=0}, pero no función admisible φ φ {displaystyle varphi } puede hacer J()φ φ){displaystyle J(varphi)} iguales Este ejemplo no refutó el principio de Dirichlet per se, ya que el ejemplo integral es diferente de la integral de Dirichlet. Pero socavaba el razonamiento que Riemann había utilizado, y estimulaba el interés en probar el principio de Dirichlet, así como los avances más amplios en el cálculo de las variaciones y, en última instancia, el análisis funcional.

En 1900, Hilbert justificó más tarde el uso que hizo Riemann del principio de Dirichlet desarrollando el método directo en el cálculo de variaciones.