Principio de Arquimedes

For a fully submerged object, Archimedes N#39; principle can be reformulated as follows:

aparente peso inmerso=peso del objeto− − peso del líquido desplazado{displaystyle {text{apparent immersed weight}}={text{weight of object}}-{text{weight of displaced fluid}},}

luego se inserta en el cociente de pesos, que ha sido ampliado por el volumen mutuo

densidad de objetodensidad de líquido=pesopeso del líquido desplazado{displaystyle {frac {text{density of object}}{text{density of fluid}}}={frac {text{weight}}{text{weight of displaced fluid}}}}}} {fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc}}}}}}}}}

produce la siguiente fórmula. La densidad del objeto sumergido en relación con la densidad del fluido se puede calcular fácilmente sin medir ningún volumen.

densidad de objetodensidad de líquido=pesopeso− − aparente peso inmerso.{displaystyle {frac {text{density of object}}{text{density of fluid}}={frac {text{weight}}{text{weight}}-{text{apparent{apparent pesa inmersa.

(This formula is used for example in describing the measuring principle of a lysimeter and of hydrostatic weighing.)

Ejemplo: si dejas caer madera al agua, la flotabilidad la mantendrá a flote.

Ejemplo: un globo de helio en un automóvil en movimiento. Al aumentar la velocidad o tomar una curva, el aire se mueve en dirección opuesta a la aceleración del coche. Sin embargo, debido a la flotabilidad, el globo es empujado "fuera del camino" por el aire y se desplazará en la misma dirección que la aceleración del automóvil.

Cuando un objeto se sumerge en un líquido, el líquido ejerce una fuerza hacia arriba, que se conoce como fuerza de flotación, que es proporcional al peso del líquido desplazado. La suma de las fuerzas que actúan sobre el objeto, entonces, es igual a la diferencia entre el peso del objeto (fuerza de “abajo”) y el peso del líquido desplazado (fuerza de “arriba”). El equilibrio, o flotabilidad neutra, se logra cuando estos dos pesos (y por tanto fuerzas) son iguales.

Fuerzas y equilibrio

La ecuación para calcular la presión dentro de un fluido en equilibrio es:

f+divσ σ =0{displaystyle mathbf {f} +operatorname {div} ,sigma =0}

donde f es la densidad de fuerza ejercida por algún campo externo sobre el fluido, y σ es el tensor de tensión de Cauchy. En este caso el tensor de tensión es proporcional al tensor de identidad:

σ σ ij=− − pδ δ ij.{displaystyle sigma _{ij}=-pdelta - ¿Qué?

Here δ_in is the Kronecker delta. Using this the above equation becomes:

f=Silencio Silencio p.{displaystyle mathbf {f} =nabla p.,}

Suponiendo que el campo de fuerza exterior es conservador, es decir, se puede escribir como el gradiente negativo de alguna función escalar:

f=− − Silencio Silencio CCPR CCPR .{displaystyle mathbf {f} =-nabla Phi.

Entonces:

Silencio Silencio ()p+CCPR CCPR )=0⟹ ⟹ p+CCPR CCPR =constante.{displaystyle nabla (p+Phi)=0Longrightarrow p+Phi ={text{constant},}

Por lo tanto, la forma de la superficie abierta de un fluido es igual al plano equipotencial del campo de fuerza conservador externo aplicado. Deje que el eje z apunte hacia abajo. En este caso el campo es la gravedad, entonces Φ = −ρ_fgz donde g es la aceleración gravitacional, ρ _f es la densidad másica del fluido. Tomando la presión como cero en la superficie, donde z es cero, la constante será cero, por lo que la presión dentro del fluido, cuando está sujeto a la gravedad, es

p=*** *** fgz.{displaystyle p=rho _{f}gz.,}

Entonces, la presión aumenta con la profundidad debajo de la superficie de un líquido, ya que z denota la distancia desde la superficie del líquido hasta él. Cualquier objeto con una profundidad vertical distinta de cero tendrá diferentes presiones en la parte superior e inferior, siendo mayor la presión en la parte inferior. Esta diferencia de presión provoca la fuerza de flotabilidad hacia arriba.

La fuerza de flotación ejercida sobre un cuerpo ahora se puede calcular fácilmente, ya que se conoce la presión interna del fluido. La fuerza ejercida sobre el cuerpo se puede calcular integrando el tensor de tensiones sobre la superficie del cuerpo que está en contacto con el fluido:

B=∮ ∮ σ σ dA.{displaystyle mathbf {B} =oint sigma ,dmathbf {A}.

La integral de superficie se puede transformar en una integral de volumen con la ayuda del teorema de Gauss:

B=∫ ∫ div⁡ ⁡ σ σ dV=− − ∫ ∫ fdV=− − *** *** fg∫ ∫ dV=− − *** *** fgV{displaystyle mathbf {B} =int operatorname {div} sigma ,dV=-int mathbf {f} ,dV=-rho _{f}mathbf {g} int ,dV=-rho _{f}mathbf {g} V}

donde V es la medida del volumen en contacto con el fluido, es decir el volumen de la parte sumergida del cuerpo, ya que el fluido no ejerce fuerza por parte de el cuerpo que está fuera de él.

La magnitud de la fuerza de flotación se puede apreciar un poco más a partir del siguiente argumento. Considere cualquier objeto de forma y volumen arbitrarios V rodeado por un líquido. La fuerza que ejerce el líquido sobre un objeto dentro del líquido es igual al peso del líquido con un volumen igual al del objeto. Esta fuerza se aplica en dirección opuesta a la fuerza gravitacional, es decir de magnitud:

B=*** *** fVdispg,{displaystyle B=rho ¿Qué?

donde ρ_f es la densidad del fluido, V_disp es el volumen del cuerpo desplazado de líquido, y g es la aceleración gravitacional en el lugar en cuestión.

Si este volumen de líquido se reemplaza por un cuerpo sólido de exactamente la misma forma, la fuerza que el líquido ejerce sobre él debe ser exactamente la misma que la anterior. En otras palabras, la "fuerza de flotación" en un cuerpo sumergido se dirige en dirección opuesta a la gravedad y es igual en magnitud a

B=*** *** fVg.{displaystyle B=rho _{f}Vg.,}

La fuerza neta sobre el objeto debe ser cero para que haya una situación de estática de fluidos tal que se aplique el principio de Arquímedes y, por lo tanto, es la suma de la fuerza de flotación y el peso del objeto.

Fneto=0=mg− − *** *** fVdispg{displaystyle F_{text{net}=0=mg-rho ¿Qué?

Si la flotabilidad de un objeto (sin restricciones y sin energía) excede su peso, tiende a elevarse. Un objeto cuyo peso excede su flotabilidad tiende a hundirse. El cálculo de la fuerza hacia arriba sobre un objeto sumergido durante su período de aceleración no se puede realizar únicamente mediante el principio de Arquímedes; es necesario considerar la dinámica de un objeto que implica flotabilidad. Una vez que se hunde completamente en el fondo del fluido o sube a la superficie y se asienta, el principio de Arquímedes se puede aplicar solo. Para un objeto flotante, sólo el volumen sumergido desplaza el agua. Para un objeto hundido, todo el volumen desplaza el agua y habrá una fuerza de reacción adicional del piso sólido.

In order for Archimedes N#39; principle to be used alone, the object in question must be in equilibrium (the sum of the forces on the object must be zero), therefore;

mg=*** *** fVdispg,{displaystyle mg=rho ¿Qué?

y por lo tanto

m=*** *** fVdisp.{displaystyle m=rho ¿Qué?

mostrando que la profundidad a la que se hundirá un objeto flotante y el volumen de fluido que desplazará es independiente del campo gravitacional, independientemente de la ubicación geográfica.

()Nota: Si el líquido en cuestión es agua de mar, no tendrá la misma densidad (***En cada lugar. Por esta razón, un barco puede mostrar una línea Plimsoll.)

Puede darse el caso de que entren en juego fuerzas distintas a la flotabilidad y la gravedad. Este es el caso si el objeto está sujeto o si el objeto se hunde hasta el suelo sólido. Un objeto que tiende a flotar requiere una fuerza de restricción de tensión T para permanecer completamente sumergido. Un objeto que tiende a hundirse eventualmente tendrá una fuerza normal de restricción N ejercida sobre él por el piso sólido. La fuerza de restricción puede ser la tensión en una báscula de resorte que mide su peso en el fluido, y así se define el peso aparente.

Si el objeto flotara, la tensión para sujetarlo completamente sumergido es:

T=*** *** fVg− − mg.{displaystyle T=rho _{f}Vg-mg.,}

Cuando un objeto que se hunde se posa sobre el suelo sólido, experimenta una fuerza normal de:

N=mg− − *** *** fVg.{displaystyle N=mg-rho Vg.

Otra posible fórmula para calcular la flotabilidad de un objeto es encontrar el peso aparente de ese objeto en particular en el aire (calculado en Newtons) y el peso aparente de ese objeto en el agua (en Newtons). Para encontrar la fuerza de flotabilidad que actúa sobre el objeto cuando está en el aire, utilizando esta información particular, se aplica esta fórmula:

Fuerza de flotación = peso del objeto en el espacio vacío - peso del objeto inmerso en el líquido

El resultado final se mediría en Newtons.

La densidad del aire es muy pequeña en comparación con la mayoría de los sólidos y líquidos. Por esta razón, el peso de un objeto en el aire es aproximadamente el mismo que su peso real en el vacío. La flotabilidad del aire se desprecia para la mayoría de los objetos durante una medición en el aire porque el error suele ser insignificante (normalmente menos del 0,1%, excepto en el caso de objetos de densidad media muy baja, como un globo o espuma ligera).

Modelo simplificado

Una explicación simplificada para la integración de la presión sobre el área de contacto se puede expresar de la siguiente manera:

Considere un cubo sumergido en un fluido con la superficie superior horizontal.

Los lados son idénticos en área y tienen la misma distribución de profundidad, por lo tanto también tienen la misma distribución de presión y, en consecuencia, la misma fuerza total resultante de la presión hidrostática, ejercida perpendicular al plano de la superficie de cada lado.

Hay dos pares de lados opuestos, por lo tanto, las fuerzas horizontales resultantes se equilibran en ambas direcciones ortogonales y la fuerza resultante es cero.

La fuerza hacia arriba sobre el cubo es la presión sobre la superficie inferior integrada sobre su área. La superficie está a una profundidad constante, por lo que la presión es constante. Por lo tanto, la integral de la presión sobre el área de la superficie horizontal del fondo del cubo es la presión hidrostática a esa profundidad multiplicada por el área de la superficie del fondo.

Del mismo modo, la fuerza hacia abajo sobre el cubo es la presión sobre la superficie superior integrada sobre su área. La superficie está a una profundidad constante, por lo que la presión es constante. Por lo tanto, la integral de la presión sobre el área de la superficie superior horizontal del cubo es la presión hidrostática a esa profundidad multiplicada por el área de la superficie superior.

Como se trata de un cubo, las superficies superior e inferior son idénticas en forma y área, y la diferencia de presión entre la parte superior e inferior del cubo es directamente proporcional a la diferencia de profundidad, y la diferencia de fuerza resultante es exactamente igual a el peso del fluido que ocuparía el volumen del cubo en su ausencia.

Esto significa que la fuerza hacia arriba resultante sobre el cubo es igual al peso del fluido que cabe en el volumen del cubo, y la fuerza hacia abajo sobre el cubo es su peso, en ausencia de fuerzas externas.

Esta analogía es válida para variaciones en el tamaño del cubo.

Si se colocan dos cubos uno al lado del otro con una cara de cada uno en contacto, las presiones y fuerzas resultantes en los lados o partes de los mismos en contacto están equilibradas y pueden ignorarse, ya que las superficies de contacto son iguales en forma, tamaño y distribución de presión, por lo tanto la flotabilidad de dos cubos en contacto es la suma de las flotabilidades de cada cubo. Esta analogía se puede extender a un número arbitrario de cubos.

Un objeto de cualquier forma se puede aproximar como un grupo de cubos en contacto entre sí y, a medida que disminuye el tamaño del cubo, aumenta la precisión de la aproximación. El caso límite para cubos infinitamente pequeños es la equivalencia exacta.

Las superficies en ángulo no anulan la analogía, ya que la fuerza resultante se puede dividir en componentes ortogonales y tratar cada uno de ellos de la misma manera.

Refinamientos

Archimedes N#39; principle does not consider the surface tension (capillarity) acting on the body. Moreover, Archimedes N#39; principle has been found to break down in complex fluids.

Hay una excepción al caso de Arquímedes. principio conocido como caja inferior (o lateral). Esto ocurre cuando un lado del objeto toca el fondo (o el costado) del recipiente en el que está sumergido y no se filtra líquido por ese lado. En este caso, se ha descubierto que la fuerza neta es diferente a la de Arquímedes. principio, debido a que al no penetrar líquido por ese lado, se rompe la simetría de la presión.

Principio de flotación

Arquímedes' El principio muestra la fuerza de flotación y el desplazamiento del fluido. Sin embargo, el concepto de Arquímedes' El principio se puede aplicar al considerar por qué los objetos flotan. Proposición 5 de Arquímedes' El tratado Sobre los cuerpos flotantes establece que

Cualquier objeto flotante desplaza su propio peso de fluido.

—Arquitectos de Syracuse

En otras palabras, para un objeto que flota sobre una superficie líquida (como un barco) o que flota sumergido en un fluido (como un submarino en el agua o un dirigible en el aire), el peso del líquido desplazado es igual al peso del objeto. Por lo tanto, sólo en el caso especial de flotar la fuerza de flotación que actúa sobre un objeto es igual al peso del objeto. Considere un bloque de hierro sólido de 1 tonelada. Como el hierro es casi ocho veces más denso que el agua, cuando se sumerge sólo desplaza 1/8 de tonelada de agua, lo que no es suficiente para mantenerlo a flote. Supongamos que al mismo bloque de hierro se le da forma de cuenco. Todavía pesa 1 tonelada, pero cuando se mete en agua desplaza un volumen de agua mayor que cuando era un bloque. Cuanto más se sumerge el cuenco de hierro, más agua desplaza y mayor es la fuerza de flotación que actúa sobre él. Cuando la fuerza de flotación sea igual a 1 tonelada, no se hundirá más.

Cuando un barco desplaza un peso de agua igual a su propio peso, flota. Esto a menudo se denomina "principio de flotación": un objeto flotante desplaza un peso de fluido igual a su propio peso. Todo barco, submarino y dirigible debe diseñarse para desplazar un peso de fluido al menos igual a su propio peso. El casco de un barco de 10.000 toneladas debe construirse lo suficientemente ancho, largo y profundo para desplazar 10.000 toneladas de agua y aún tener algo de casco por encima del agua para evitar que se hunda. Necesita casco adicional para luchar contra las olas que, de otro modo, lo llenarían y, al aumentar su masa, lo sumergirían. Lo mismo ocurre con los buques en el aire: un dirigible que pesa 100 toneladas necesita desplazar 100 toneladas de aire. Si se desplaza más, sube; si se desplaza menos, cae. Si el dirigible desplaza exactamente su peso, flota a una altitud constante.

Si bien están relacionados con él, el principio de flotación y el concepto de que un objeto sumergido desplaza un volumen de fluido igual a su propio volumen no son los principios de Arquímedes. principio. Arquímedes' El principio, como se indicó anteriormente, iguala la fuerza de flotación al peso del fluido desplazado.

Un punto común de confusión con respecto a Arquímedes' El principio es el significado de volumen desplazado. Las demostraciones comunes implican medir el aumento del nivel del agua cuando un objeto flota en la superficie para calcular el agua desplazada. Este método de medición falla con un objeto flotante sumergido porque el aumento en el nivel del agua está directamente relacionado con el volumen del objeto y no con la masa (excepto si la densidad efectiva del objeto es exactamente igual a la densidad del fluido).

Eureka

Según se informa, Arquímedes exclamó "Eureka" después descubrió cómo detectar si una corona está hecha de oro impuro. Si bien no utilizó el método de Arquímedes; Aunque en el cuento tan extendido se utiliza el agua desplazada sólo para medir el volumen de la corona, existe un método alternativo que utiliza el principio: equilibrar la corona y el oro puro en una balanza en el aire y luego poner la balanza en el agua. Según Arquímedes' En principio, si la densidad de la corona difiere de la densidad del oro puro, la balanza se desequilibrará bajo el agua.