Principio de acción estacionaria

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Principio vacional en la física

El principio de acción estacionaria, también conocido como el principio de mínima acción, es un principio variacional que, cuando se aplica a la acción de un sistema mecánico, produce las ecuaciones de movimiento para ese sistema. El principio establece que las trayectorias (es decir, las soluciones de las ecuaciones de movimiento) son puntos estacionarios del funcional de acción del sistema.

El principio se puede utilizar para derivar ecuaciones de movimiento newtonianas, lagrangianas y hamiltonianas, e incluso la relatividad general (consulte la acción de Einstein-Hilbert). En relatividad, una acción diferente debe ser minimizada o maximizada.

La mecánica clásica y las expresiones electromagnéticas son consecuencia de la mecánica cuántica. El método de acción estacionaria ayudó en el desarrollo de la mecánica cuántica. En 1933, el físico Paul Dirac demostró cómo se puede utilizar este principio en cálculos cuánticos al discernir el fundamento mecánico cuántico del principio en la interferencia cuántica de amplitudes. Posteriormente, Julian Schwinger y Richard Feynman aplicaron de forma independiente este principio en la electrodinámica cuántica.

El principio sigue siendo fundamental en la física y las matemáticas modernas y se aplica en la termodinámica, la mecánica de fluidos, la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica, la física de partículas y la teoría de cuerdas, y es un foco de investigación matemática moderna en la teoría de Morse. Maupertuis' El principio y el principio de Hamilton ejemplifican el principio de acción estacionaria.

El principio de acción está precedido por ideas anteriores en óptica. En la antigua Grecia, Euclides escribió en su Catoptrica que, para la trayectoria de la luz que se refleja en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Héroe de Alejandría demostró más tarde que este camino era el más corto y el de menor tiempo.

Los eruditos a menudo dan crédito a Pierre Louis Maupertuis por formular el principio de acción mínima porque escribió sobre él en 1744 y 1746. Sin embargo, Leonhard Euler también discutió el principio en 1744, y la evidencia muestra que Gottfried Leibniz precedió a ambos por 39 años.

Declaración general

A medida que el sistema evoluciona, q traza un camino a través del espacio de configuración (sólo se muestran algunos). El camino del sistema (rojo) tiene una acción estacionaria (δS = 0) bajo pequeños cambios en la configuración del sistema (δq).

El acción, denotado ${mathcal {S}}$ , de un sistema físico se define como la integral del lagrangiano L entre dos instantes de tiempo $t 1$ y $t 2$ – técnicamente un funcional del $N$ coordenadas generalizadas $q = q 1, q 2,... q N)$ que son funciones de tiempo y definen la configuración del sistema:

{displaystyle mathbf {q}:mathbf {R} to mathbf {R} ^{N}}

{displaystyle {mathcal {S}}[mathbf {q}t_{1},t_{2}]=int _{t_{1}}^{t_{2}}L(mathbf {q} (t),mathbf {dot {q}} (t),t)dt}

t

Matemáticamente el principio es

{displaystyle delta {mathcal {S}}=0,}

δpequeño

El camino del sistema entre tiempos

t 1

t 2

y configuraciones q₁ y q₂ es el único para el cual acción es (sin cambio) a primer orden.

La acción estacionaria no siempre es un mínimo, a pesar del nombre histórico de mínima acción. Es un principio mínimo para segmentos finitos y suficientemente cortos en el camino.

En las aplicaciones, la declaración y la definición de acción se toman juntas:

{displaystyle delta int _{t_{1}}^{t_{2}}L(mathbf {q}mathbf {dot {q}}t)dt=0.}

La acción y el Lagrangiano contienen la dinámica del sistema para todos los tiempos. El término "camino" simplemente se refiere a una curva trazada por el sistema en términos de coordenadas en el espacio de configuración, es decir, la curva $q (t)$ , parametrizado por tiempo (ver también ecuación paramétrica para este concepto).

Orígenes, declaraciones y controversia

Fermat

En la década de 1600, Pierre de Fermat postuló que "la luz viaja entre dos puntos dados a lo largo del camino del tiempo más corto," el cual se conoce como el principio del menor tiempo o principio de Fermat.

Maupertuis

El crédito por la formulación del principio de mínima acción se atribuye comúnmente a Pierre Louis Maupertuis, quien consideró que "La naturaleza es frugal en todas sus acciones" y aplicó el principio en general:

Las leyes de movimiento y de reposo se deducen de este principio siendo precisamente las mismas que las observadas en la naturaleza, podemos admirar la aplicación de ella a todos los fenómenos. El movimiento de los animales, el crecimiento vegetativo de las plantas... son sólo sus consecuencias; y el espectáculo del universo se convierte en tanto la grandeza, tanto más hermosa, la más valiosa de sus Autor, cuando uno sabe que un pequeño número de leyes, más sabiamente establecidas, suficiente para todos los movimientos.
—Pierre Louis Maupertuis

Esta noción de Maupertuis, aunque algo determinista en la actualidad, capta gran parte de la esencia de la mecánica.

En aplicación a la física, Maupertuis sugirió que la cantidad a minimizar era el producto de la duración (tiempo) de movimiento dentro de un sistema por la "vis viva",

Principio de Maupertuis

$delta int 2T(t)dt=0$

que es la integral del doble de lo que ahora llamamos energía cinética T del sistema.

Euler

Leonhard Euler dio una formulación del principio de acción en 1744, en términos muy reconocibles, en el Additamentum 2 a su Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes. Comenzando con el segundo párrafo:

Que la masa del proyectil sea M, y que su velocidad sea v mientras se mueve sobre una distancia infinitesimal ds. El cuerpo tendrá un impulso Mv que, cuando se multiplica por la distancia ds, dará Mvds, el impulso del cuerpo integrado a lo largo de la distancia ds. Ahora afirmo que la curva descrita por el cuerpo para ser la curva (de entre todas las otras curvas que conectan los mismos puntos finales) que minimiza
${displaystyle int Mv,ds}$ o, siempre que M es constante a lo largo del camino,
${displaystyle Mint v,ds.}$
—Leonhard Euler

Como afirma Euler, $\int Mv ds$ es la integral del impulso sobre la distancia recorrida, que, en la moderna notación, es igual a la acción abreviada o reducida

El principio de Euler

$delta int p,dq=0$

Por lo tanto, Euler hizo una declaración equivalente y (aparentemente) independiente del principio de variación en el mismo año que Maupertuis, aunque un poco más tarde. Curiosamente, Euler no reivindicó ninguna prioridad, como muestra el siguiente episodio.

Prioridad en disputa

Maupertuis' La prioridad fue disputada en 1751 por el matemático Samuel König, quien afirmó que había sido inventado por Gottfried Leibniz en 1707. Aunque es similar a muchos de los argumentos de Leibniz, el principio en sí no ha sido documentado en las obras de Leibniz.. El propio König mostró una copia de una carta de 1707 de Leibniz a Jacob Hermann con el principio, pero la carta original se ha perdido. En los procedimientos contenciosos, König fue acusado de falsificación, e incluso el rey de Prusia entró en el debate, defendiendo a Maupertuis (el jefe de su Academia), mientras que Voltaire defendió a König.

Euler, en lugar de reclamar prioridad, fue un firme defensor de Maupertuis, y el propio Euler procesó a König por falsificación ante la Academia de Berlín el 13 de abril de 1752. Las afirmaciones de falsificación se volvieron a examinar 150 años después, y el trabajo de archivo de C.I. Gerhardt en 1898 y W. Kabitz en 1913 descubrieron otras copias de la carta, y otras tres citadas por König, en los archivos de Bernoulli.

Más desarrollo

Euler siguió escribiendo sobre el tema; en sus Réflexions sur quelques loix générales de la nature (1748), llamó a la acción "esfuerzo". Su expresión corresponde a la energía potencial moderna, y su enunciado de acción mínima dice que se minimiza la energía potencial total de un sistema de cuerpos en reposo, principio de la estática moderna.

Lagrange y Hamilton

La mayor parte del cálculo de variaciones fue formulado por Joseph-Louis Lagrange en 1760 y procedió a aplicarlo a problemas de dinámica. En Mécanique analytique (1788) Lagrange derivó las ecuaciones generales de movimiento de un cuerpo mecánico. William Rowan Hamilton en 1834 y 1835 aplicó el principio variacional a la función Lagrangiana clásica

{displaystyle L=T-V}

Jacobi, Morse y Caratheodory

En 1842, Carl Gustav Jacobi abordó el problema de si el principio variacional siempre encontraba mínimos en oposición a otros puntos estacionarios (máximos o puntos de silla estacionarios); la mayor parte de su trabajo se centró en geodésicas en superficies bidimensionales. Las primeras declaraciones generales claras fueron dadas por Marston Morse en las décadas de 1920 y 1930, lo que condujo a lo que ahora se conoce como teoría de Morse. Por ejemplo, Morse demostró que el número de puntos conjugados en una trayectoria era igual al número de valores propios negativos en la segunda variación del Lagrangiano. Una derivación particularmente elegante de la ecuación de Euler-Lagrange fue formulada por Constantin Caratheodory y publicada por él en 1935.

Gauss y Hertz

Se han formulado otros principios extremos de la mecánica clásica, como el principio de mínima restricción de Gauss y su corolario, el principio de mínima curvatura de Hertz.

D'Alembert

Para sistemas con restricciones no homogéneas, el principio de Hamilton es reemplazado por el principio d'Alembert. En este caso la acción ${displaystyle {mathcal {S}}[mathbf {q}t_{1},t_{2}]}$ se impone ser estacionaria solamente para variaciones ${displaystyle delta mathbf {q} (t)}$ que son consistentes con las limitaciones.

Disputas sobre posibles aspectos teleológicos

La equivalencia matemática de las ecuaciones diferenciales de movimiento y su integral contraparte tiene importantes implicaciones filosóficas. Las ecuaciones diferenciales son declaraciones sobre cantidades localizadas en un solo punto en el espacio o en un solo momento del tiempo. Por ejemplo, la segunda ley de Newton

{displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a} }

instantáneoFmainstantánea

Dado que la partícula comienza en la posición x₁ a tiempo t₁ y termina en posición x₂ a tiempo t₂, la trayectoria física que conecta estos dos puntos finales es un extremum de la acción integral.

En particular, se ha interpretado que la fijación del estado final otorga al principio de acción un carácter teleológico que históricamente ha sido controvertido. Sin embargo, según W. Yourgrau y S. Mandelstam, el enfoque teleológico... presupone que los propios principios variacionales tienen características matemáticas que de facto no poseen Además, algunos críticos sostienen que esta aparente teleología se debe a la forma en que se planteó la pregunta. Al especificar algunos pero no todos los aspectos de las condiciones iniciales y finales (las posiciones pero no las velocidades) estamos haciendo algunas inferencias sobre las condiciones iniciales a partir de las condiciones finales, y es este "hacia atrás" inferencia que puede ser vista como una explicación teleológica. La teleología también se puede superar si consideramos la descripción clásica como un caso límite del formalismo cuántico de integración de caminos, en el que se obtienen caminos estacionarios como resultado de la interferencia de amplitudes a lo largo de todos los caminos posibles.

El cuento La historia de tu vida del escritor de ficción especulativa Ted Chiang contiene representaciones visuales del Principio de Fermat junto con una discusión sobre su dimensión teleológica. The Math Instinct de Keith Devlin contiene un capítulo, "Elvis the Welsh Corgi Who Can Do Calculus" que analiza el cálculo "incrustado" en algunos animales ya que resuelven el "menor tiempo" problema en situaciones reales.

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