Primo primordial

En matemáticas, un primo primordial es un número primo de la forma p_n# ± 1, donde p_n# es el primorial de p_n (es decir, el producto de los primeros n primos).

Las pruebas de primalidad muestran que

p_n# − 1 es para n = 2, 3, 5, 6, 13, 24,... A057704 en el OEIS)

p_n# + 1 es ideal n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 11,... A014545 en el OEIS)

El primer término de la segunda secuencia es 0 porque p₀# = 1 es el producto vacío y, por lo tanto, p ₀# + 1 = 2, que es primo. De manera similar, el primer término de la primera secuencia no es 1, porque p₁# = 2 y 2 − 1 = 1 no es primo.

Los primeros primos primordiales son

2, 3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309 (sequence A228486 en el OEIS)

A partir de octubre de 2021, el primo primorial más grande conocido (de la forma p_n# − 1) es 3267113# − 1 (n = 234.725) con 1.418.398 dígitos, encontrado por el proyecto PrimeGrid.

A partir de 2022, el primo más grande conocido de la forma p_n# + 1 es 392113# + 1 (n = 33.237) con 169.966 dígitos, encontrado en 2001 por Daniel Heuer.

Euclid 's proof of the infinitude of the prime numbers is commonly misinterpreted as defining the primorial primes, in the following manner:

Supongamos que el primero n primos consecutivos incluyendo 2 son los únicos primos que existen. Si p_n# + 1 o p_n# − 1 es un primo de primera, significa que hay grandes primos que los nt prime (si ninguno es un primo, que también demuestra la infinitud de los primos, pero menos directamente; cada uno de estos dos números tiene un resto de p− 1 o 1 cuando se divide por cualquiera de los primeros n primos, y por lo tanto todos sus factores principales son mayores que p_n).

Ver también

• A. Nacido, "Algunos resultados para k!+1{displaystyle k!+1} y 2⋅ ⋅ 3⋅ ⋅ 5⋅ ⋅ p+1{displaystyle 2cdot 3cdot 5cdot p+1}" Computadora. 26 (1972): 567-570.
• Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial at The Prime Pages.
• Harvey Dubner, "Factorial and Primorial Primes". J. Rec. Math. 19 (1987): 197–203.
• Paulo Ribenboim, El nuevo libro de los primeros números. Nueva York: Springer-Verlag (1989): 4.