Primo permutable

Un primo permutable, también conocido como primo anagramático, es un número primo que, en una base determinada, puede tener sus dígitos' las posiciones cambian a través de cualquier permutación y siguen siendo un número primo. H. E. Richert, quien supuestamente fue el primero en estudiar estos números primos, los llamó primos permutables, pero más tarde también se los llamó primos absolutos.

Base 2

En base 2, sólo los repunitos pueden ser primos permutables, porque cualquier 0 permutado al lugar de las unidades da como resultado un número par. Por lo tanto, los primos permutables de base 2 son los primos de Mersenne. Se puede hacer con seguridad la generalización de que, para cualquier sistema numérico posicional, los primos permutables con más de un dígito solo pueden tener dígitos que sean coprimos con la base del sistema numérico. Los primos de un dígito, es decir, cualquier primo por debajo de la base, siempre son trivialmente permutables.

Base 10

En base 10, se conocen todos los primos permutables con menos de 49.081 dígitos

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991, R₁₉ (11111111111111111111111), R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁, R₄₉₀₈₁,... A003459 en el OEIS)

De los anteriores, hay 16 conjuntos de permutaciones únicos, con los elementos más pequeños

2, 3, 5, 7, R₂, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁,... A258706 en el OEIS)

Nota R_n:= 10n− − 19{displaystyle {tfrac {fn}{9}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}}}}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}} es un repunidad, un número que consiste sólo en n (en la base 10). Cualquier prima de repunidad es un principio permutable con la definición anterior, pero algunas definiciones requieren al menos dos dígitos distintos.

Todos los números primos permutables de dos o más dígitos se componen de los dígitos 1, 3, 7, 9, porque ningún número primo excepto 2 es par, y ningún número primo además de 5 es divisible por 5. Está demostrado que ningún número primo permutable existe un primo que contiene tres diferentes de los cuatro dígitos 1, 3, 7, 9, así como que no existe un primo permutable compuesto por dos o más de cada uno de los dos dígitos seleccionados entre 1, 3, 7, 9.

No existe un primo permutable de n dígitos para 3 < n < 6·10¹⁷⁵ que no es una repunit. Se conjetura que no existen primos permutables no repunit distintos de los dieciocho enumerados anteriormente. Se pueden dividir en siete conjuntos de permutaciones:

{13, 31}, {17, 71}, {37, 73}, {79, 97}, {113, 131, 311}, {19, 919, 991}, {337, 373, 733}.

Base 12

En base 12, se conocen los elementos más pequeños de los conjuntos de permutación únicos de los primos permutables con menos de 9,739 dígitos (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente)

2, 3, 5, 7, Ɛ, R₂, 15, 57, 5Ɛ, R₃, 117, 11Ɛ, 555Ɛ, R₅, R₁₇, R₈₁, R₉₁, R₂₂₅, R₂₅₅, R_4ᘔ5,...

No hay un primo permutable de n dígitos en base 12 para 4 < n < 12¹⁴⁴ que no es una repunit. Se conjetura que no hay primos permutables no repunit en base 12 distintos de los enumerados anteriormente.

En base 10 y base 12, todo primo permutable es un repunit o casi repdígito, es decir, es una permutación del número entero P(b, n, x, y) = xxxx ...xxxy_b (n dígitos, en base b) donde x y y son dígitos coprimos de b. Además, x y y también deben ser coprimos (ya que si hay un primo p divide a x y y, entonces p también divide el número), por lo que si x = y, entonces x = y = 1. (Esto no es cierto en todas las bases, pero las excepciones son raras y podrían ser finitas en cualquier base determinada; las únicas excepciones por debajo de 10⁹ en las bases hasta 20 son: 139₁₁, 36A₁₁, 247₁₃, 78A₁₃, 29E ₁₉ (M. Fiorentini, 2015).)

Bases arbitrarias

Sea P(b, n, x, y) un primo permutable en base b y sea p un primo tal que n ≥ p. Si b es una raíz primitiva de p y p no divide a x o |x - y|, entonces n es un múltiplo de p - 1. (Dado que b es un raíz primitiva mod p y p no divide |x − y|, el p números xxxx...xxxy, xxxx...xxyx, xxxx...xyxx,..., xxxx...xyxx...xxxx (sólo el El dígito b^p−2 es y, los demás son todos x), xxxx...yxxx...xxxx (sólo el b^p−1 dígito es y, los demás son todos x), xxxx...xxxx (los repdigit con n xs) mod p son todos diferentes. Es decir, uno es 0, otro es 1, otro es 2,..., el otro es p − 1. Por lo tanto, dado que los primeros números p − 1 son todos primos, el último número (el repdígito con n xs) debe ser divisible por p. Dado que p no divide a x, entonces p debe dividir la repunit con n 1s. Dado que b es un mod raíz primitivo p, el orden multiplicativo de n mod p es p − 1. Por lo tanto, n debe ser divisible por p − 1.)

Por lo tanto, si b = 10, los dígitos coprimos de 10 son {1, 3, 7, 9}. Dado que 10 es una raíz primitiva mod 7, entonces si n ≥ 7, entonces 7 divide a x (en este caso, x = 7, ya que x ∈ {1, 3, 7, 9}) o |x − y| (en este caso, x = y = 1, ya que x, y ∈ {1, 3, 7, 9}. Es decir, el primo es una repunit) o n es un múltiplo de 7 − 1 = 6. De manera similar, dado que 10 es una raíz primitiva mod 17, entonces si n ≥ 17, entonces 17 divide x (no es posible, ya que x ∈ {1, 3, 7, 9}) o |x − y| (en este caso, x = y = 1, ya que x, y ∈ {1, 3, 7, 9}. Es decir, el primo es una repunit) o n es múltiplo de 17 − 1 = 16. Además, 10 también es una raíz primitiva mod 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193,..., por lo que n ≥ 17 es muy imposible (ya que para esto los primos p, si n ≥ p, entonces n es divisible por p − 1), y si 7 ≤ n < 17, entonces x = 7, o n es divisible por 6 (el único n posible es 12). Si b = 12, los dígitos coprimos de 12 son {1, 5, 7, 11}. Dado que 12 es una raíz primitiva mod 5, entonces si n ≥ 5, entonces 5 divide a x (en este caso, x = 5, ya que x ∈ {1, 5, 7, 11}) o |x − y| (en este caso, ya sea x = y = 1 (es decir, el primo es un repunit) o x = 1, y = 11 o x = 11, y = 1, ya que x, y ∈ { 1, 5, 7, 11}.) o n es un múltiplo de 5 − 1 = 4. De manera similar, dado que 12 es una raíz primitiva mod 7, entonces si n ≥ 7, entonces 7 divide x (en este caso, x = 7, ya que x ∈ {1, 5, 7, 11}) o |x − y| (en este caso, x = y = 1, ya que x, y ∈ {1, 5, 7, 11}. Es decir, el primo es una repunit) o n es un múltiplo de 7 − 1 = 6. De manera similar, dado que 12 es una raíz primitiva mod 17, entonces si n ≥ 17, entonces 17 divide a x (no es posible, ya que x ∈ {1, 5, 7, 11}) o |x − y| (en este caso, x = y = 1, ya que x, y ∈ {1, 5, 7, 11}. Es decir, el primo es una repunit) o n es múltiplo de 17 − 1 = 16. Además, 12 también es una raíz primitiva mod 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197,..., por lo que n ≥ 17 es muy imposible (ya que para esto los primos p , si n ≥ p, entonces n es divisible por p − 1), y si 7 ≤ n < 17, entonces x = 7 (en este caso, dado que 5 no divide a x o x − y, entonces n debe ser divisible por 4) o n es divisible por 6 (el único n posible es 12).