Primera repetición completa

En teoría de números, un Full reptend prime, Repetición completa, apropiado o larga primera en base b es un número primo extraño p tal que el cociente Fermat

qp()b)=bp− − 1− − 1p{displaystyle q_{p}(b)={frac {b^{p-1} {p}}} {b} {p} {p}}}}} {b}{p} {p}} {p}} {p}}}}} {} {p}} {}}}} {} {}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

(donde) p no divide b) da un número cíclico. Por lo tanto, la base b ampliación de 1/p{displaystyle 1/p} repite los dígitos del número cíclico correspondiente infinitamente, al igual que el de a/p{displaystyle a/p} con rotación de los dígitos para cualquier a entre 1 y 1 p 1. El número cíclico correspondiente a la primera p poseer p 1 dígitos si y sólo si p es un repetitivo completo. Es decir, el orden multiplicativo ord_pb = p − 1, que equivale a b ser un modulo de raíz primitivo p.

El término "perteneciente" fue utilizado por John Conway y Richard Guy en su Libro de Números. Confusamente, la OEIS de Sloane se refiere a estos primos como "números cíclicos".

Base 10

Se puede asumir base 10 si no se especifica ninguna base, en cuyo caso la expansión del número se llama decimal periódico. En base 10, si un número primo completo termina en el dígito 1, entonces cada dígito 0, 1,..., 9 aparece en el número de veces el mismo número de veces que cada uno de los demás dígitos. (Para tales primos en base 10, consulte OEIS: A073761. De hecho, en base b, si un primo repetido completo termina en el dígito 1 , entonces cada dígito 0, 1,..., b − 1 aparece en la repetición el mismo número de veces que cada uno de los demás dígitos, pero no existe tal número primo cuando b = 12, ya que todo primo reptido completo en base 12 termina en el dígito 5 o 7 en la misma base. Generalmente, no existe tal primo cuando b es congruente con 0 o 1 módulo 4.

Los valores de p para los cuales esta fórmula produce números cíclicos en decimal son:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 433, 487, 491, 499, 503, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, A001913 en el OEIS)

Por ejemplo, en el caso b = 10, p = 7 da el número cíclico 142857; por tanto, 7 es un primo repetido completo.

El caso b = 10, p = 17 da el número cíclico 0588235294117647 (16 dígitos); por tanto, 17 es un primo repetido completo.

El caso b = 10, p = 19 da el número cíclico 052631578947368421 (18 dígitos); por tanto, 19 es un primo repetido completo.

No todos los valores de p producirán un número cíclico usando esta fórmula; por ejemplo, p = 13 da 076923 076923,, y p = 31 da 032258064516129 032258064516129. Los casos fallidos como estos siempre contendrán una repetición de dígitos (posiblemente varios) en el transcurso de p − 1 dígitos.

El patrón conocido de esta secuencia proviene de la teoría algebraica de números, específicamente, esta secuencia es el conjunto de primos p tales que 10 es una raíz módulo primitiva p. La conjetura de Artin sobre las raíces primitivas es que esta secuencia contiene el 37,395...% de los números primos.

Patrones de aparición de números primos reptendidos completos

La aritmética modular avanzada puede mostrar que cualquier primo de las siguientes formas:

puede nunca ser un primo reptido completo en base 10. Los primeros primos de estas formas, con sus períodos, son:

Sin embargo, los estudios muestran que dos tercios de los números primos de la forma 40k + n, donde n ∈ {7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33} son primos reptendidos completos. Para algunas secuencias, la preponderancia de los primos reptidos completos es mucho mayor. Por ejemplo, 285 de los 295 primos de la forma 120k + 23 por debajo de 100000 son primos reptidos completos, siendo 20903 el primero que no está reptido completo.

Primos binarios completos

En base 2, los primos reptendidos completos son: (menos de 1000)

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 537, 63, 5813 A001122 en el OEIS)

Para estos primos, 2 es un modulo de raíz primitivo p, así que 2ⁿ modulo p puede ser cualquier número natural entre 1 y p − 1.

a()i)=2imodpmod2.{displaystyle a(i)=2^{i}{bmod {p}{bmod {2}}}

Estas secuencias del período p − 1 tiene una función de autocorrelación que tiene un pico negativo de −1 para el cambio de ()p− − 1)/2{displaystyle (p-1)/2}. La aleatoriedad de estas secuencias ha sido examinada por pruebas diehard.

Todos ellos son de la forma 8k + 3 o 8k + 5, porque si p = 8k + 1 o 8k + 7, entonces 2 es un modulo de residuos cuadráticos p, entonces p divideciones 2()p− − 1)/2− − 1{displaystyle 2^{(p-1)/2}-1}, y el período de 1/p{displaystyle 1/p} en la base 2 debe dividir ()p− − 1)/2{displaystyle (p-1)/2} y no puede ser p − 1, por lo que no son completos reptend primos en base 2.

Además, todos los primos seguros congruentes con 3 módulo 8 son primos reptendidos completos en base 2. Por ejemplo, 3, 11, 59, 83, 107, 179, 227, 347, 467, 563, 587, 1019, 1187, 1283, 1307, 1523, 1619, 1907, etc. (menos de 2000).

Las secuencias binarias completas de reptend (también llamadas secuencias decimales de máxima longitud) han encontrado aplicaciones de codificación criptográficas y de corrección de errores. En estas aplicaciones, repetir decimales a base 2 se utilizan generalmente que da lugar a secuencias binarias. La secuencia binaria de longitud máxima para 1/p{displaystyle 1/p} (cuando 2 es una raíz primitiva p) es dado por:

Lo siguiente es una lista sobre los períodos (en binario) a los primos congruentes a 1 o 7 (mod 8): (menos de 1000)

Ninguno de ellos son primos binarios completos reptendidos.

El período binario del n-ésimo primo es

2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 11, 28, 5, 36, 20, 14, 23, 52, 58, 66, 35, 9, 39, 82, 11, 48, 100, 51, 106, 36, 28, 7, 130, 68, 138, 148, 15, 52, 162, 83, 172, 178, 180, 95, 196, 99, 210, 37, 226, 76, 29, 119, 24, (esta secuencia comienza en n = 2, o la primera = 3) (secuencia A014664 en el OEIS)

El nivel del período binario del n-ésimo primo es

1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, A001917 en el OEIS)

Sin embargo, los estudios muestran que tres cuartos de los números primos de la forma 8k + n, donde n ∈ {3, 5} son primos reptendidos completos en base 2 (por ejemplo, hay 87 primos por debajo de 1000 congruentes con 3 o 5 módulo 8, y 67 de ellos son reptendidos completos en base 2, es un total de 77%) . Para algunas secuencias, la preponderancia de los primos reptidos completos es mucho mayor. Por ejemplo, 1078 de los 1206 primos de la forma 24k + 5 por debajo de 100000 son primos reptidos completos en base 2, siendo 1013 el primero que no está reptido completo en base 2. Además, todos los primos de la forma 4p + 1 para p es prima, son primos reptendidos completos en base 2.

N-ésimo nivel reptend prime

An n- el nivel de reptendimiento es un primo p teniendo n diferentes ciclos en expansiones de kp{displaystyle {frac {k}{p}} ()k es un entero, 1 ≤ k ≤ p-1). En la base 10, más pequeña n- el primer nivel de repudio

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 51131, 13710, 33931 (secuencia) A054471 en el OEIS)

En base 2, los primos reptendidos de nivel n más pequeños son

3, 7, 43, 113, 251, 31, 1163, 73, 397, 151, 331, 1753, 4421, 631, 3061, 257, 1429, 127, 6043, 3121, 29611, 1321, 18539, 601, 15451, 14327, 2971, 2857, 72269, 3391, 683, 2593, 17029, 2687, 42701, 612299, 1103, A101208 en el OEIS)

Primos reptendidos completos en varias bases

Artin también conjeturó:

• Hay infinitamente muchos primos de repetición completa en todas las bases excepto cuadrados.
• Full-reptend primes en todas las bases excepto potencias y números perfectos cuya parte libre de cuadrado son congruentes a 1 modulo 4 componen 37,395...% de todos los primos. (Véase OEIS: A085397)

Los primos reptend completos más pequeños en base n son:

2, 3, 2, 0, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 19, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 2,, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, A056619 en el OEIS)