Primera desigualdad de Minkowski para cuerpos convexos

En matemáticas, la primera desigualdad de Minkowski para cuerpos convexos es un resultado geométrico del matemático alemán Hermann Minkowski. La desigualdad está estrechamente relacionada con la desigualdad de Brunn-Minkowski y la desigualdad isoperimétrica.

Sean K y L dos cuerpos convexos n-dimensionales en el espacio euclidiano n-dimensional Rⁿ. Defina una cantidad V₁(K, L) por

${\displaystyle NV_{1}(K,L)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {V(K+\varepsilon L)-V(K)}{\varepsilon }}}$

donde V denota la medida de Lebesgue de dimensión n y + denota la suma de Minkowski. Entonces

${\displaystyle V_{1}(K,L)\geq V(K)^{(n-1)/n}V(L)^{1/n}$

con igualdad si y sólo si K y L son homotéticas, es decir, son iguales salvo traslación y dilatación.

• V₁ es sólo un ejemplo de una clase de cantidades conocidas volúmenes mixtos.
• Si L es n- bola de unidad dimensionada BEntonces n V₁()K, B) es el (n Medición de la superficie dimensional K, denotado S()K).

Se puede demostrar que la desigualdad de Brunn-Minkowski para cuerpos convexos en Rⁿ implica la primera desigualdad de Minkowski para cuerpos convexos en Rⁿ, y que la igualdad en la desigualdad de Brunn-Minkowski implica igualdad en la primera desigualdad de Minkowski.

Tomando L = B, la bola unidad de n dimensión, en la primera desigualdad de Minkowski para cuerpos convexos, se obtiene la desigualdad isoperimétrica para cuerpos convexos en Rⁿ: si K es un cuerpo convexo en Rⁿ, entonces

${\displaystyle \left({\frac {V(K)}{V(B)}\right)^{1/n}\leq \left({\frac {S(K)}{S(B)}\right)^{1/(n-1)}}}}$

con igualdad si y sólo si K es una bola de cierto radio.

• Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad Brunn-Minkowski". Toro. Amer. Matemáticas.. 39 (3): 355-405 (electrónico). doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2.

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