Primer ideal

Un diagrama de Hasse de una porción de la celosía de los ideales de los enteros ${displaystyle mathbb {Z}$ Los nudos púrpura indican ideales primos. Los nodos púrpura y verde son ideales semiprime, y los nodos púrpura y azul son ideales primarios.

En álgebra, un ideal primo es un subconjunto de un anillo que comparte muchas propiedades importantes de un número primo en el anillo de los enteros. Los ideales primos de los números enteros son los conjuntos que contienen todos los múltiplos de un número primo dado, junto con el ideal cero.

Los ideales primitivos son primos y los ideales primos son tanto primarios como semiprimos.

Ideales primos para anillos conmutativos

Una P ideal de un anillo conmutativo R es principal si tiene las siguientes dos propiedades:

• Si a y b son dos elementos R tal que su producto ab es un elemento P, entonces a está dentro P o b está dentro P,
• P no es todo el anillo R.

Esto generaliza la siguiente propiedad de los números primos, conocida como el lema de Euclides: si p es un número primo y si p divide un producto ab de dos enteros, entonces p divide a o p divide b. Por lo tanto, podemos decir

Un entero positivo n es un número primo si y sólo si ${displaystyle nmathbb {Z}$ es un ideal excelente en ${displaystyle mathbb {Z}$

Ejemplos

• Un ejemplo simple: En el anillo ${displaystyle R=Mathbb {Z}$ el subconjunto de números es un ideal primo.

• Dado un dominio integral ${displaystyle R.$, cualquier elemento principal ${displaystyle pin R}$ genera un ideal principal ${displaystyle (p)}$. El criterio de Eisenstein para dominios integrales (de ahí UFDs) es una herramienta eficaz para determinar si un elemento en un anillo polinomio es irreducible. Por ejemplo, tome un polinomio irreducible ${displaystyle f(x_{1},ldotsx_{n}}$ en un anillo polinomio ${displaystyle mathbb {F} [x_{1},ldotsx_{n}}$ sobre algunos campos ${displaystyle mathbb {F}$.

• Si R denota el anillo ${displaystyle mathbb {C} [X,Y]}$ de polinomios en dos variables con coeficientes complejos, luego el ideal generado por el polinomio Y² − X³ − X − 1 es un ideal primo (ver curva elíptica).

• En el anillo ${displaystyle mathbb {Z} [X]}$ de todos los polinomios con coeficientes enteros, el ideal generado por 2 y X es un ideal excelente. Consiste en todos aquellos polinomios cuyo coeficiente constante es incluso.

• En cualquier anillo R, a maximal ideal es un ideal M que es maximal en el conjunto de todos los ideales adecuados de R, es decir. M está contenido en exactamente dos ideales de R, a saber M y todo el anillo R. Cada ideal maximal es de hecho primo. En un dominio ideal principal cada ideal no cero es maximal, pero esto no es cierto en general. Para el UFD ${displaystyle mathbb {C} [x_{1},ldotsx_{n}}$, Nullstellensatz de Hilbert afirma que cada ideal maximal es de la forma ${displaystyle (x_{1}-alpha _{1},ldotsx_{n}-alpha _{n}).}$

• Si M es un andamio suave, R es el anillo de las funciones reales suaves en M, y x es un punto en M, entonces el conjunto de todas las funciones suaves f con f()x) = 0 forma un ideal primo (incluso un ideal máximo) en R.

No ejemplos

• Considerar la composición de los dos cocientes siguientes

${displaystyle mathbb {C} [x,y]to {frac {Mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}to {fnMicroc}Mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}}$

Aunque los dos primeros anillos son dominios integrales (de hecho el primero es un UFD) el último no es un dominio integral ya que es isomorfo a

${fnMicroc {fnMithbb {C} [x,y]} {x^{2}+y^{2}-1,x)}cong {frac {mathbbbb {C} {C} {y}{2}-1)}cong mathbb {C} times mathbb {C}$

mostrando que el ideal ${displaystyle (x^{2}+y^{2}-1,x)subset mathbb {C} [x,y]}$ no es la primera. (Véase la primera propiedad que figura a continuación.)

• Otro non-example es el ideal ${displaystyle (2,x^{2}+5)subset mathbb {Z} [x]$ desde que tenemos

${displaystyle x^{2}+5-2cdot 3=(x-1)(x+1)in (2,x^{2}+5)}$

pero tampoco ${displaystyle x-1}$ ni ${displaystyle x+1}$ son elementos del ideal.

Propiedades

• Un ideal I en el anillo R (con unidad) es primo si y sólo si el anillo factor R/I es un dominio integral. En particular, un anillo conmutativo (con unidad) es un dominio integral si y sólo si (0) es un ideal excelente. (Nota que el anillo cero no tiene ideales primos, porque el ideal (0) es todo el anillo.)
• Un ideal I es primo si y sólo si su complemento teórico-de serie está multiplicativamente cerrado.
• Cada anillo no cero contiene al menos un ideal primario (de hecho contiene al menos un ideal máximo), que es una consecuencia directa del teorema de Krull.
• Más generalmente, si S es cualquier conjunto multiplicativamente cerrado R, entonces un lemma esencialmente debido a Krull muestra que existe un ideal R maximal con respecto a ser descompuesto S, y además el ideal debe ser primo. Esto se puede generalizar más a los anillos no conmutativos (véase infra). En el caso {}S} = {1}, tenemos el teorema de Krull, y esto recupera los ideales máximos de R. Otro sistema m prototípico es el conjunto, {}x, x², x³, x⁴, de todos los poderes positivos de un elemento no nuclear.
• El preimage de un ideal primario bajo un homomorfismo de anillo es un ideal primordial. El hecho analógico no siempre es verdadero para los ideales máximos, que es una razón por la que los geométricos algebraicos definen el espectro de un anillo para ser su conjunto de ideales primos más que maximales; uno quiere un homomorfismo de anillos para dar un mapa entre sus espectros.
• El conjunto de todos los ideales principales (llamado el espectro de un anillo) contiene elementos mínimos (llamados ideales primarios mínimos). Geométricamente, estos corresponden a componentes irreducibles del espectro.
• La suma de dos ideales primos no es necesariamente la primera. Por ejemplo, considere el anillo ${displaystyle mathbb {C} [x,y]}$ con ideales primos P =x² + Sí.² −1) y Q =x) (los ideales generados por x² + Sí.² − 1 y x respectivamente). Su suma P + Q =x² + Sí.², 1, x) =Sí.², 1, x) sin embargo no es la primera: Sí.² − 1 =Sí. − 1)Sí. + 1) P + Q pero sus dos factores no lo son. Alternativamente, el anillo de cociente tiene cero divisores por lo que no es un dominio integral y por lo tanto P + Q no puede ser primo.
• No todo ideal que no se puede tener en cuenta en dos ideales es un ideal primordial; por ejemplo. ${displaystyle (x,y^{2})subset mathbb {R} [x,y]}$ no se puede tener en cuenta, pero no es primo.
• En un anillo conmutativo R con al menos dos elementos, si cada ideal adecuado es primo, entonces el anillo es un campo. (Si el ideal (0) es primo, entonces el anillo R es un dominio integral. Si q es cualquier elemento no cero de R y el ideal ()q²) es primo, entonces contiene q y luego q es invertible.)
• Un ideal no cero principal es primario si y sólo si es generado por un elemento primario. En un UFD, cada ideal no cero contiene un elemento primario.

Usos

Un uso de los ideales primos ocurre en la geometría algebraica, donde las variedades se definen como los conjuntos cero de ideales en anillos polinómicos. Resulta que las variedades irreductibles corresponden a ideales primos. En el enfoque abstracto moderno, uno comienza con un anillo conmutativo arbitrario y convierte el conjunto de sus ideales primos, también llamado su espectro, en un espacio topológico y puede así definir generalizaciones de variedades llamadas esquemas, que encuentran aplicaciones no solo en geometría, sino también en también en teoría de números.

La introducción de los ideales primos en la teoría algebraica de números fue un gran paso adelante: se dio cuenta de que la importante propiedad de factorización única expresada en el teorema fundamental de la aritmética no se cumple en todos los anillos de números enteros algebraicos, pero se encontró un sustituto cuando Richard Dedekind reemplazó elementos por ideales y elementos primarios por ideales primarios; ver dominio Dedekind.

Ideales primos para anillos no conmutativos

La noción de ideal primo se puede generalizar a anillos no conmutativos usando la definición conmutativa "ideal-sabio". Wolfgang Krull avanzó esta idea en 1928. El siguiente contenido se puede encontrar en textos como Goodearl's y Lam's. Si R es un anillo (posiblemente no conmutativo) y P es un ideal propio de R, decimos que P es principal si para cualquiera de los dos ideales A y B de R:

• Si el producto de ideales AB figura en P, entonces al menos uno de A y B figura en P.

Se puede demostrar que esta definición es equivalente a la conmutativa en anillos conmutativos. Se verifica fácilmente que si un ideal de un anillo no conmutativo R satisface la definición conmutativa de primo, entonces también satisface la versión no conmutativa. Un ideal P que satisface la definición conmutativa de primo a veces se denomina ideal completamente primo para distinguirlo de otros simplemente ideales primordiales en el ring. Los ideales completamente primos son ideales primos, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el ideal cero en el anillo de matrices n × n sobre un campo es un ideal primo, pero no es completamente primo.

Está cerca del punto de vista histórico de los ideales como números ideales, en cuanto al anillo ${displaystyle mathbb {Z}$ "A figura en P"es otra manera de decir "P divideciones A", y la unidad ideal R representa la unidad.

Las formulaciones equivalentes del ideal P ≠ R siendo primo incluyen las siguientes propiedades:

• Para todos a y b dentro R, ()a)b⊆ P implicación a ▪ P o b ▪ P.
• Para cualquier dos derecho ideales de R, AB ⊆ P implicación A ⊆ P o B ⊆ P.
• Para cualquier dos izquierda ideales de R, AB ⊆ P implicación A ⊆ P o B ⊆ P.
• Para cualquier elemento a y b de R, si aRb ⊆ P, entonces a ▪ P o b ▪ P.

Los ideales primos en anillos conmutativos se caracterizan por tener complementos multiplicativamente cerrados en R, y con ligeras modificaciones, una caracterización similar puede formularse para ideales primos en anillos no conmutativos. Un subconjunto no vacío S ⊆ R se denomina m-system si para cualquier a y b en S, existe r en R tal que arb está en S. El siguiente elemento se puede agregar a la lista de condiciones equivalentes anterior:

• El complemento R∖P es un sistema m.

Ejemplos

• Cualquier ideal primitivo es primo.
• Como con anillos conmutativos, ideales máximos son ideales primos, y también ideales primos contienen ideales primos mínimos.
• Un anillo es un anillo primario si y sólo si el ideal cero es un ideal primo, y además un anillo es un dominio si y sólo si el ideal cero es un ideal completamente primo.
• Otro hecho de la teoría comunicativa que se hace eco en la teoría no recíproca es que si A es un no cero R- Mobiliario y P es un elemento maximal en la posición de los ideales de aniquilador de los submódulos A, entonces P es primo.

Datos importantes

• Prime avoidance lemma. Si R es un anillo conmutativo, y A es un subring (posiblemente sin unidad), y I₁,... I_n es una colección de ideales de R con la mayoría de dos miembros no primo, entonces si A no está contenido en ninguno I_j, también no está contenida en la unión de I₁,... I_n. En particular, A podría ser un ideal R.
• Si S es cualquier sistema m en R, entonces un lemma esencialmente debido a Krull muestra que existe un ideal I de R maximal con respecto a ser descompuesto S, y además el ideal I debe ser primo (la primalidad I puede probarse como sigue: si ${displaystyle a,bnot in I}$, entonces existen elementos ${displaystyle s,tin S}$ tales que ${displaystyle sin I+(a),tin I+(b)}$ por la propiedad máxima de I. Podemos tomar ${displaystyle rin R}$ con ${displaystyle srtin S}$. Ahora, si ${displaystyle (a)(b)subset I}$, entonces ${displaystyle srtin (I+(a))r(I+(b))subset I+(a)(b)subset I}$, que es una contradicción). En el caso {}S} = {1}, tenemos el teorema de Krull, y esto recupera los ideales máximos de R. Otro sistema m prototípico es el conjunto, {}x, x², x³, x⁴, de todos los poderes positivos de un elemento no nuclear.
• Para un ideal primo P, el complemento R∖P tiene otra propiedad más allá de ser un sistema m. Si xy está dentro R∖P, entonces ambos x y Sí. debe estar en R∖P, desde P es un ideal. Un conjunto que contiene los divisores de sus elementos se llama saturada.
• Para un anillo conmutativo R, hay una especie de revés para la declaración anterior: Si S es cualquier subconjunto no vacío saturado y multiplicativamente cerrado R, el complemento R∖S es una unión de ideales primos de R.
• La intersección de los miembros de una cadena descendente de ideales primos es un ideal primordial, y en un anillo comunicativo la unión de los miembros de una cadena ascendente de ideales primos es un ideal primordial. Con el Lemma de Zorn, estas observaciones implican que la pose de ideales primos de un anillo conmutativo (partialmente ordenado por la inclusión) tiene elementos máximos y mínimos.

Conexión a la maximalidad

Los ideales primos con frecuencia se pueden producir como elementos máximos de ciertas colecciones de ideales. Por ejemplo:

• Un maximal ideal con respecto a tener intersección vacía con un sistema de m fijo es primo.
• Un maximal ideal entre los aniquiladores de submodules de un fijo R- Mobiliario M es primo.
• En un anillo conmutativo, un maximal ideal con respecto a ser no principal es primo.
• En un anillo conmutativo, un máximo ideal con respecto a ser no contablemente generado es primo.