Prima gemela

Un primo gemelo es un número primo que es 2 menos o 2 más que otro número primo; por ejemplo, cualquier miembro del par de primos gemelos (41, 43). En otras palabras, un primo gemelo es un primo que tiene un espacio primo de dos. A veces, el término primo gemelo se usa para un par de primos gemelos; un nombre alternativo para esto es gemelo principal o par principal.

Los números primos gemelos se vuelven cada vez más escasos a medida que se examinan rangos más grandes, de acuerdo con la tendencia general de los espacios entre números primos adyacentes a aumentar a medida que aumentan los números. Sin embargo, se desconoce si hay infinitos primos gemelos (la llamada conjetura de los primos gemelos) o si hay un par más grande. El innovador trabajo de Yitang Zhang en 2013, así como el trabajo de James Maynard, Terence Tao y otros, ha hecho un progreso sustancial para demostrar que hay infinitos números primos gemelos, pero en la actualidad esto sigue sin resolverse.

Propiedades

Por lo general, el par (2, 3) no se considera un par de primos gemelos. Dado que 2 es el único primo par, este par es el único par de números primos que difieren en uno; por lo tanto, los primos gemelos están lo más juntos posible para cualquier otro par de primos.

Los primeros pares primos gemelos son:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139),... OEIS: A077800.

Cinco es el único primo que pertenece a dos parejas, como cada pareja de primera gemela más grande que ()3,5){displaystyle (3,5)} es de la forma ()6n− − 1,6n+1){displaystyle (6n-1,6n+1)} para algún número natural n; es decir, el número entre los dos primeros es un múltiplo de 6. Como resultado, la suma de cualquier par de primos gemelos (excepto 3 y 5) es divisible por 12.

Teorema de Brun

En 1915, Viggo Brun demostró que la suma de los recíprocos de los primos gemelos era convergente. Este famoso resultado, llamado teorema de Brun, fue el primer uso del tamiz de Brun y ayudó a iniciar el desarrollo de la teoría moderna del tamiz. La versión moderna del argumento de Brun se puede usar para mostrar que el número de primos gemelos menores que N no excede

CN()log⁡ ⁡ N)2{displaystyle {frac {fnK} {fnK}}} {fnK}} {fnMicroc} {fnK}}} {fnK}}} {fnK}} {fnK}}}}}}} {fnKf}}}}}}

para alguna constante absoluta C > 0. De hecho, está acotado arriba por

C.N()log⁡ ⁡ N)2()1+O()log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ Nlog⁡ ⁡ N)),{displaystyle {frac {fnK}gnunci}fnuncio(1+Oleft({frac {loglog N}{log N}right)derecha)! }

Donde C.=8C2{displaystyle C'=8C_{2}, donde C₂ es gemela excelente constante, dado abajo.

Conjetura de los primos gemelos

La pregunta de si existen infinitos números primos gemelos ha sido una de las grandes preguntas abiertas en la teoría de números durante muchos años. Este es el contenido de la conjetura de los primos gemelos, que establece que hay infinitos números primos p tales que p + 2 también es primo. En 1849, de Polignac hizo la conjetura más general de que para cada número natural k, hay infinitos números primos p tales que p + 2k también es primo. El caso k = 1 de la conjetura de Polignac es la conjetura de los primos gemelos.

Una forma más sólida de la conjetura de los primos gemelos, la conjetura de Hardy-Littlewood (ver más abajo), postula una ley de distribución para los primos gemelos similar al teorema de los números primos.

El 17 de abril de 2013, Yitang Zhang anunció una prueba de que para algún número entero N menor que 70 millones, hay infinitos pares de números primos que difieren en N. El artículo de Zhang fue aceptado por Annals of Mathematics a principios de mayo de 2013. Posteriormente, Terence Tao propuso un esfuerzo de colaboración del Proyecto Polymath para optimizar el límite de Zhang. A partir del 14 de abril de 2014, un año después del anuncio de Zhang, el límite se redujo a 246. Estos límites mejorados se descubrieron utilizando un enfoque diferente que era más simple que el de Zhang y fue descubierto de forma independiente por James Maynard. y Terence Tao. Este segundo enfoque también proporcionó límites para el f(m) más pequeño necesario para garantizar que infinitos intervalos de ancho f(m) contienen al menos m primos. Además (consulte también la siguiente sección), asumiendo la conjetura de Elliott-Halberstam y su forma generalizada, el wiki del proyecto Polymath establece que el límite es 12 y 6, respectivamente.

Un refuerzo de la conjetura de Goldbach, si se prueba, también probaría que hay un número infinito de primos gemelos, al igual que la existencia de ceros de Siegel.

Otros teoremas más débiles que la conjetura de los primos gemelos

En 1940, Paul Erdős demostró que existe una constante c < 1 e infinitos números primos p tales que p′ − p < c ln p donde p′ denota el siguiente prima después de p. Lo que esto significa es que podemos encontrar infinitos intervalos que contengan dos números primos (p, p′) siempre que dejamos que estos intervalos crezcan lentamente en tamaño a medida que avanzamos hacia números primos cada vez más grandes. Aquí, "crece lentamente" significa que la longitud de estos intervalos puede crecer logarítmicamente. Este resultado fue mejorando sucesivamente; en 1986, Helmut Maier demostró que una constante c < Se puede utilizar 0,25. En 2004, Daniel Goldston y Cem Yıldırım demostraron que la constante podría mejorarse aún más a c = 0,085786…. En 2005, Goldston, János Pintz y Yıldırım establecieron que c puede elegirse para que sea arbitrariamente pequeño, es decir,

lim infn→ → JUEGO JUEGO pn+1− − pnlog⁡ ⁡ pn=0.{displaystyle liminf _{nto infty}{frac {fn}-p_{n}{log} {fn} ¿Qué?

Por otro lado, este resultado no descarta que no haya infinitos intervalos que contengan dos primos si solo permitimos que los intervalos crezcan en tamaño como, por ejemplo, c ln ln p.

Al asumir la conjetura de Elliott-Halberstam o una versión un poco más débil, pudieron demostrar que hay una cantidad infinita de n tal que al menos dos de n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18 o n + 20 son primos. Bajo una hipótesis más fuerte, demostraron que para un número infinito de n, al menos dos de n, n + 2, n + 4 y n + 6 son números primos.

El resultado de Yitang Zhang,

<math alttext="{displaystyle liminf _{nto infty }(p_{n+1}-p_{n})lim infn→ → JUEGO JUEGO ()pn+1− − pn).NconN=7× × 107,{displaystyle liminf _{nto infty }(p_{n+1}-p_{n})se hizo;{text{ with }};N=7times 10^{7}}<img alt="liminf _{nto infty }(p_{n+1}-p_{n})

es una mejora importante en el resultado de Goldston-Graham-Pintz-Yıldırım. La optimización del Polymath Project del límite de Zhang y el trabajo de Maynard han reducido el límite: el lim inf es como máximo 246.

Conjeturas

Primera conjetura de Hardy-Littlewood

El Hardy-Littlewood conjetura (llamado después de G. H. Hardy y John Littlewood) es una generalización de la conjetura principal gemelo. Le preocupa la distribución de constelaciones primogénitas, incluyendo primos gemelos, en analogía con el teorema número primo. Vamos π π 2()x){displaystyle pi _{2}(x)} denota el número de primos p ≤ x tales que p + 2 es también primo. Define el gemela excelente constante C₂ como

C2=∏ ∏ pprimep≥ ≥ 3()1− − 1()p− − 1)2).. 0,60161815846869573927812110014...... {displaystyle C_{2}=prod _{textstyle {p;{rm {prime}atop pgeq 3}left(1-{frac {1}{(p-1)^{2}}}right)approx 0.6601618158468695727812110014dots }

(aquí el producto se extiende sobre todos los números primos p ≥ 3). Entonces, un caso especial de la primera conjetura de Hardy-Littlewood es que

π π 2()x)♪ ♪ 2C2x()In⁡ ⁡ x)2♪ ♪ 2C2∫ ∫ 2xdt()In⁡ ⁡ t)2{displaystyle pi _{2}(x)sim 2C_{2}{frac {x}{(ln x)^{2}}}}sim 2C_{2}int _{2}{x}{dt over (ln t)^{2}}}}}}}}}}}} {

en el sentido de que el cociente de las dos expresiones tiende a 1 cuando x tiende a infinito. (El segundo ~ no es parte de la conjetura y se prueba por integración por partes).

La conjetura puede justificarse (pero no probarse) asumiendo que 1In⁡ ⁡ t{displaystyle {tfrac} {fnh}} {fnh}} {fnh}} {fnh}}} {fn}}}} {fn}}}} {fnfnh}}}}} describe la función de densidad de la distribución principal. Esta suposición, que es sugerida por el teorema número primo, implica la conjetura gemela, como se muestra en la fórmula para π π 2()x){displaystyle pi _{2}(x)} arriba.

La primera conjetura completamente general de Hardy-Littlewood sobre las k-tuplas principales (que no se proporciona aquí) implica que la segunda conjetura de Hardy-Littlewood es falsa.

Esta conjetura se ha ampliado con la conjetura de Dickson.

Conjetura de Polignac

La conjetura del polignac de 1849 declara que por cada entero positivo k, hay infinitamente muchos pares primos consecutivos p y p. tales que p♫ − p = k (es decir, hay infinitamente muchas brechas de tamaño k). El caso k = 2 es doble conjetura principal. La conjetura todavía no ha sido probada o refutada por ningún valor específico de k, pero el resultado de Zhang demuestra que es cierto por al menos un valor (actualmente desconocido) k. De hecho, si tal k no existió, entonces para cualquier número positivo incluso natural N hay en la mayoría finitamente muchos n tales que pn+1− − pn=m{displaystyle P_{n+1}-p_{n}=m} para todos m. N y así n lo suficiente N,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">pn+1− − pn■N,{displaystyle p_{n+1}-p_{n}N,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8301df6150e47fa42db3d629577a59e590d2e36c" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:15.615ex; height:2.509ex;"/> que contradice el resultado de Zhang.

Primos gemelos grandes

A partir de 2007, dos proyectos informáticos distribuidos, Twin Prime Search y PrimeGrid, han producido varios números primos gemelos más grandes que nunca. En agosto de 2022, el par primo gemelo más grande conocido actualmente es 2996863034895 × 2^1290000 ± 1, con 388 342 dígitos decimales. Fue descubierto en septiembre de 2016.

Hay 808.675.888.577.436 pares primos gemelos por debajo de 10¹⁸.

Un análisis empírico de todos los pares primos hasta 4,35 × 10¹⁵ muestra que si el número de esos pares menor que x es f (x) ·x /(log x)² luego f (x) es aproximadamente 1,7 para x pequeños y disminuye hacia aproximadamente 1,3 cuando x tiende a infinito. Se supone que el valor límite de f (x) es igual al doble de la constante prima gemela (OEIS: A114907) (no debe confundirse con la constante de Brun), según la conjetura de Hardy-Littlewood.

Otras propiedades elementales

Cada tercer número impar es divisible por 3, lo que requiere que tres números impares sucesivos no puedan ser primos a menos que uno de ellos sea 3. Por lo tanto, cinco es el único primo que forma parte de dos pares primos gemelos. El miembro inferior de un par es, por definición, un primo Chen.

Se ha demostrado que el par (m, m + 2) es primo gemelo si y solo si

4()()m− − 1)!+1)↑ ↑ − − m()modm()m+2)).{displaystyle 4(m-1)!+1)equiv -m{pmod {m(m+2)}}

Si m − 4 o m + 6 también es primo, entonces los tres primos se llaman triplete primo.

Para un par primo gemelo de la forma (6n − 1, 6n + 1) para algún número natural n > 1, n debe terminar en el dígito 0, 2, 3, 5, 7 u 8 (OEIS: A002822).

Primo aislado

Un primo aislado (también conocido como primo único o primo no gemelo) es un número primo p tales que ni p − 2 ni p + 2 son primos. En otras palabras, p no es parte de un par primo gemelo. Por ejemplo, 23 es un número primo aislado, ya que 21 y 25 son compuestos.

Los primeros números primos aislados son

2, 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97,... OEIS: A007510

Se sigue del teorema de Brun que casi todos los números primos están aislados en el sentido de que la relación entre el número de primos aislados menores que un umbral dado n y el número de todos los primos menores que n tiende a 1 cuando n tiende hasta el infinito.