Presentación de un grupo

En matemáticas, una presentación es un método para especificar un grupo. Una presentación de un grupo G comprende un conjunto S de generadores, de modo que cada elemento del grupo puede escribirse como un producto de potencias de algunos de estos generadores—y un conjunto R de relaciones entre esos generadores. Entonces decimos que G tiene presentación

${displaystyle langle Smid Rrangle.}$

Informalmente, G tiene la presentación anterior si es el "grupo más libre" generado por S sujeto únicamente a las relaciones R. Formalmente, se dice que el grupo G tiene la presentación anterior si es isomorfo al cociente de un grupo libre en S por el subgrupo normal generado por las relaciones R.

Como ejemplo sencillo, el grupo cíclico de orden n tiene la presentación

${displaystyle langle amid a^{n}=1rangle}$

donde 1 es la identidad del grupo. Esto puede escribirse de manera equivalente como

${displaystyle langle amid a^{n}rangle}$

gracias a la convención de que los términos que no incluyen un signo igual se consideran iguales a la identidad del grupo. Dichos términos se denominan relacionadores, distinguiéndolos de las relaciones que sí incluyen un signo igual.

Cada grupo tiene una presentación y, de hecho, muchas presentaciones diferentes; una presentación suele ser la forma más compacta de describir la estructura del grupo.

Un concepto estrechamente relacionado pero diferente es el de una presentación absoluta de un grupo.

Antecedentes

Un grupo libre en un conjunto S es un grupo donde cada elemento puede ser únicamente descrito como un producto de longitud finita de la forma:

${displaystyle ¿Qué? - Sí.$

donde las s_i son elementos de S, las s_i adyacentes son distintas y a_i son números enteros distintos de cero (pero n puede ser cero). En términos menos formales, el grupo consta de palabras en los generadores y sus inversos, sujetos únicamente a la cancelación de un generador con una ocurrencia adyacente de su inverso.

Si G es cualquier grupo, y S es un subconjunto generador de G, entonces cada elemento de G también tiene la forma anterior; pero, en general, estos productos no exclusivamente describirán un elemento de G.

Por ejemplo, el grupo diédrico D₈ de orden dieciséis puede generarse mediante una rotación, r, de orden 8; y un flip, f, de orden 2; y ciertamente cualquier elemento de D₈ es un producto de r'< /span>s y f's.

Sin embargo, tenemos, por ejemplo, rfr = f⁻¹, r⁷ = r⁻¹, etc., por lo que tales productos no son únicos en D₈. Cada una de estas equivalencias de productos se puede expresar como una igualdad a la identidad, como

rfrf = 1,

r⁸ = 1, o

f² = 1.

De manera informal, podemos considerar estos productos del lado izquierdo como elementos del grupo libre F = <r, f>, y puede considerar el subgrupo R de F que es generado por estas cadenas; cada uno de los cuales también sería equivalente a 1 cuando se consideraran como productos en D₈.

Si luego dejamos que N sea el subgrupo de F generado por todos los conjugados x⁻¹Rx de R, entonces por definición se sigue que todo elemento de N es un producto finito x_{1< /sub>⁻¹r1x1... xm⁻¹rm xm de miembros de tales conjugados. De ello se deduce que cada elemento de N, cuando se considera como un producto en D8, también se evaluará como 1; y por tanto que N es un subgrupo normal de F. Por tanto, D8 es isomorfo al grupo de cocientes F/N. Entonces decimos que D8 tiene presentación}

${displaystyle langle r,fmid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1rangle.}$

Aquí el conjunto de generadores es S = {r, f }, y el conjunto de relaciones es R = {r ⁸ = 1, f ² = 1, (rf)² = 1}. A menudo vemos R abreviado, dando la presentación

${displaystyle langle r,fmid r^{8}=f^{2}=(rf)^{2}=1rangle.}$

Una forma aún más corta elimina los signos de igualdad e identidad, para enumerar solo el conjunto de relaciones, que es {r ⁸, f ², (rf)²}. Hacer esto da la presentación

${displaystyle langle r,fmid r^{8},f^{2},(rf)^{2}rangle.}$

Las tres presentaciones son equivalentes.

Notación

Aunque la notación ⟨S | R⟩ utilizado en este artículo para una presentación es ahora el más común, los escritores anteriores utilizaron diferentes variaciones en el mismo formato. Tales notaciones incluyen lo siguiente:

• .S Silencio R.
• ()S Silencio R)
• {}S; R}
• .S; R.

Definición

Vamos S ser un set y dejar F_S ser el grupo libre en S. Vamos R ser un conjunto de palabras SAsí que R naturalmente da un subconjunto de ${displaystyle F_{S}$. Para formar un grupo con presentación ${displaystyle langle Smid Rrangle }$, tomar el cociente de ${displaystyle F_{S}$ por el subgrupo normal más pequeño que contiene cada elemento R. (Este subgrupo se denomina cierre normal N de R dentro ${displaystyle F_{S}$.) El grupo ${displaystyle langle Smid Rrangle }$ entonces se define como el grupo cociente

${displaystyle langle Smid Rrangle =F_{S}/N.}$

Los elementos de S son llamados generadores de ${displaystyle langle Smid Rrangle }$ y los elementos de R son llamados vendedores. Un grupo G se dice que tiene la presentación ${displaystyle langle Smid Rrangle }$ si G es isomorfo a ${displaystyle langle Smid Rrangle }$.

Es una práctica común escribir vendedores en el formulario ${displaystyle x=y}$ Donde x y Sí. son palabras S. Lo que esto significa es que ${displaystyle y^{-1}xin R.$. Esto tiene el significado intuitivo de las imágenes x y Sí. se supone que son iguales en el grupo cociente. Así, por ejemplo, rⁿ en la lista de vendedores es equivalente con ${displaystyle r^{n}=1}$.

Para un grupo finito G, es posible construir una presentación de G de la tabla de multiplicación del grupo, como sigue. Toma. S ser los elementos del conjunto ${displaystyle g_{i}$ de G y R para ser todas las palabras de la forma ${displaystyle G_{i}g_{k} {-1}$, donde ${displaystyle G_{i}g_{j}=g_{k}$ es una entrada en la tabla de multiplicación.

Definición alternativa

La definición de la presentación del grupo puede ser retransmitida alternativamente en términos de clases de equivalencia de palabras sobre el alfabeto ${displaystyle Scup S^{-1}$. En esta perspectiva, declaramos que dos palabras son equivalentes si es posible llegar de uno a otro por una secuencia de movimientos, donde cada movimiento consiste en añadir o eliminar un par consecutivo ${displaystyle xx^{-1}$ o ${displaystyle x^{-1}x}$ para algunos x dentro S, o añadiendo o eliminando una copia consecutiva de un vendedor. Los elementos del grupo son las clases de equivalencia, y la operación del grupo es concatenación.

Este punto de vista es particularmente común en el campo de la teoría de grupos combinatoria.

Grupos presentados de forma finita

Se dice que una presentación es generada finitamente si S es finita y relacionada finitamente si R es finita. Si ambos son finitos se dice que es una presentación finita. Un grupo es generado finitamente (respectivamente relacionado finitamente, presentado finitamente) si tiene una presentación que se genera finitamente (respectivamente relacionada finitamente, una presentación finita). Un grupo que tiene una presentación finita con una sola relación se llama un grupo de un relacionador.

Grupos presentados recursivamente

Si S está indexado por un conjunto I que consta de todos los números naturales N o un subconjunto finito de ellos, entonces es fácil para configurar una codificación uno a uno simple (o numeración Gödel) f: F_S → N del grupo libre en S a los números naturales, de modo que podemos encontrar algoritmos que, dado f(w ), calcular w y viceversa. Entonces podemos llamar a un subconjunto U de F_S recursivo (respectivamente recursivamente enumerable) si f( U) es recursivo (respectivamente recursivamente enumerable). Si S está indexado como arriba y R enumerable recursivamente, entonces la presentación es una presentación recursiva y el grupo correspondiente se presenta recursivamente. Este uso puede parecer extraño, pero es posible probar que si un grupo tiene una presentación con R recursivamente enumerable, entonces tiene otra con R recursiva.

Cada grupo presentado de forma finita se presenta de forma recursiva, pero hay grupos presentados de forma recursiva que no se pueden presentar de forma finita. Sin embargo, un teorema de Graham Higman establece que un grupo generado finitamente tiene una presentación recursiva si y solo si puede estar incrustado en un grupo presentado finitamente. De esto podemos deducir que hay (hasta el isomorfismo) solo numerablemente muchos grupos presentados recursivamente generados finitamente. Bernhard Neumann ha demostrado que hay innumerables grupos de dos generadores no isomorfos. Por lo tanto, existen grupos generados finitamente que no se pueden presentar recursivamente.

Historia

Una de las primeras presentaciones de un grupo por generadores y relaciones fue realizada por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856, en su cálculo icosiano, una presentación del grupo icosaédrico. El primer estudio sistemático fue realizado por Walther von Dyck, alumno de Felix Klein, a principios de la década de 1880, sentando las bases de la teoría de grupos combinatoria.

Ejemplos

La siguiente tabla enumera algunos ejemplos de presentaciones para grupos comúnmente estudiados. Tenga en cuenta que en cada caso hay muchas otras presentaciones posibles. La presentación listada no es necesariamente la más eficiente posible.

Grupo	Presentación	Comentarios
el grupo libre en S	${displaystyle langle Smid varnothing rangle }$	Un grupo libre es "libre" en el sentido de que no está sujeto a relaciones.
Cn, el grupo cíclico de orden n	${displaystyle langle amid a^{n}rangle }$
Dn, el grupo dihedral de orden 2n	${displaystyle langle r,fmid r^{n},f^{2},(rf)^{2}rangle }$	Aquí. r representa una rotación y f un reflejo
DJUEGO, el grupo dihedral infinito	${displaystyle langle r,fmid f^{2},(rf)}rangle }$
Dicn, el grupo dicíclico	${displaystyle langle r,fmid r^{2n},r^{n}=f^{2},frf^{-1}=r^{-1}rangle$	Grupo de cuaternión Q8 es un caso especial cuando n = 2
Z × Z	${displaystyle langle x,ymid xy=yxrangle }$
Z/mZ × Z/nZ	${displaystyle langle x,ymid x^{m}, Y...$
el grupo libre abeliano S	${displaystyle langle Smid Rrangle }$ Donde R es el conjunto de todos los conmutadores de elementos de S
Sn, el grupo simétrico en n símbolos	generadores: ${displaystyle sigma _{1},ldotssigma ¿Qué?$ relaciones: ${displaystyle sigma ¿Qué?$, ${displaystyle sigma _{i}sigma ¿Qué? _{j}sigma - Sí. 1}$, ${displaystyle sigma _{i}sigma _{i+1}sigma ¿Qué? _{i+1}sigma ¿Qué? ¿Qué?$ El último conjunto de relaciones se puede transformar en ${displaystyle {sigma}sigma ¿Por qué?$ utilizando ${displaystyle sigma ¿Qué?$.	Aquí. σi es la permutación que cambia la ielemento con el i+1a. El producto σiσi+ 1 es un 3-ciclo en el set {i, i+1, i+2}.
Bn, los grupos trenzados	generadores: ${displaystyle sigma _{1},ldotssigma ¿Qué?$ relaciones: ${displaystyle sigma _{i}sigma ¿Qué? _{j}sigma - Sí. 1}$, ${displaystyle sigma _{i}sigma _{i+1}sigma ¿Qué? _{i+1}sigma ¿Qué? ¿Qué?$	Observe la similitud con el grupo simétrico; la única diferencia es la eliminación de la relación ${displaystyle sigma ¿Qué?$.
V4 ▪2, el grupo Klein 4	${displaystyle langle s,tmid s^{2},t^{2},(st)^{2}rangle }$
A4, el grupo tetraedral	${displaystyle langle s,tmid s^{2},t^{3},(st)^{3}rangle }$
O,4, el grupo octaedral	${displaystyle langle s,tmid s^{2},t^{3},(st)^{4}rangle }$
I Гани5, el grupo icosahedral	${displaystyle langle s,tmid s^{2},t^{3},(st)^{5}rangle }$
Q8, el grupo de quaternion	${displaystyle langle i,jmid i^{4},jij=i,iji=jrangle ,}$	Para una presentación alternativa vea Dicn arriba con n=2.
SL(2, Z)	${displaystyle langle a,bmid aba=bab,(aba)}rangle }$	topológicamente a y b se puede visualizar como Dehn giros en el torus
GL(2, Z)	${displaystyle langle a,b,jmid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}rangle }$	nontrivial Z/2Z – extensión de grupo de SL(2, Z)
PSL(2, Z), el grupo modular	${displaystyle langle a,bmid a^{2},b^{3}rangle }$	PSL(2, Z) es el producto libre de los grupos cíclicos Z/2Z y Z/3Z
Heisenberg group	${displaystyle langle x,y,zmid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zyrangle }$
BS(m, n), los grupos Baumslag-Solitar	${displaystyle langle a,bmid a^{n}=ba^{m} {-1}rangle }$
Grupo de puntos	${displaystyle langle a,bmid a^{2},b^{3},(ab)^{13},[a,b]^{5},[a,bab]^{4},(ab)^{4}ab^{-1})}rangle }$	[a, bEs el conmutador

Un ejemplo de un grupo finito que no se presenta finitamente es el producto de la corona ${displaystyle mathbf {Z} wr mathbf {Z}$ del grupo de enteros con sí mismo.

Algunos teoremas

Teorema. Cada grupo tiene una presentación.

Para ver esto, dado un grupo G, considere el grupo libre F_G en G. Por la propiedad universal de los grupos libres, existe un único homomorfismo de grupo φ: F_G → G< /span> cuya restricción a G es el mapa de identidad. Sea K el núcleo de este homomorfismo. Entonces K es normal en F_G, por lo tanto es igual a su cierre normal, entonces ⟨ G | K⟩ = F_G/K. Dado que el mapa de identidad es sobreyectivo, φ también lo es, por lo que según el primer teorema de isomorfismo, ⟨G | K⟩ ≅ im(φ) = G. Esta presentación puede ser muy ineficaz si tanto G como K son mucho más grandes de lo necesario.

Corollario. Cada grupo finito tiene una presentación finita.

Se pueden tomar los elementos del grupo para generadores y la tabla de Cayley para relaciones.

Teorema de Novikov-Boone

La solución negativa al problema verbal para grupos establece que hay una presentación finita ⟨S | R⟩ para el cual no existe un algoritmo que, dadas dos palabras u, v, decida si u y v describen el mismo elemento en el grupo. Esto fue demostrado por Pyotr Novikov en 1955 y William Boone obtuvo una prueba diferente en 1958.

Construcciones

Suponga que G tiene presentación ⟨S | R⟩ y H tiene presentación ⟨T | Q⟩ con S y T siendo disjuntos. Entonces

• el producto libre G Alternativa H ha presentado .S, T Silencio R, Q. y
• el producto directo G × H ha presentado .S, T Silencio R, Q, [S, T♪, donde [S, T] significa que cada elemento de S comunicaciones con cada elemento de T (cf. comutador).

Deficiencia

La deficiencia de una presentación finita ⟨S | R⟩ es simplemente | S| − |R| y el deficiencia de un grupo G presentado finitamente, denotado def(G), es el máximo de la deficiencia sobre todas las presentaciones de G. La deficiencia de un grupo finito es no positiva. El multiplicador de Schur de un grupo finito G puede generarse mediante generadores −def(G), y G es eficiente si este número es requerido.

Teoría de grupos geométricos

Una presentación de un grupo determina una geometría, en el sentido de la teoría de grupos geométricos: uno tiene el gráfico de Cayley, que tiene una métrica, llamada la palabra métrica. Estos son también dos órdenes resultantes, el orden débil y el orden Bruhat, y los diagramas de Hasse correspondientes. Un ejemplo importante está en los grupos de Coxeter.

Además, algunas propiedades de este gráfico (la geometría gruesa) son intrínsecas, lo que significa que son independientes de la elección de los generadores.