Preferencias lexicográficas

En economía, las preferencias lexicográficas o los ordenamientos lexicográficos describen preferencias comparativas en las que un agente prefiere cualquier cantidad de un bien (X) a cualquier cantidad de otro (Y). En concreto, si se le ofrecen varios paquetes de bienes, el agente elegirá el paquete que ofrezca más X, sin importar cuánto Y haya. Sólo cuando haya un empate entre paquetes con respecto al número de unidades de X, el agente comenzará a comparar el número de unidades de Y entre paquetes. Las preferencias lexicográficas extienden la teoría de la utilidad de manera análoga a la forma en que los infinitesimales no estándar extienden los números reales. Con preferencias lexicográficas, la utilidad de ciertos bienes es infinitesimal en comparación con otros.

Lexicografía se refiere a la compilación de diccionarios, y pretende invocar el hecho de que un diccionario está organizado alfabéticamente: con infinita atención a la primera letra de cada palabra, y sólo en caso de empates. con atención a la segunda letra de cada palabra, etc.

A modo de ejemplo, si para un determinado paquete (X;Y;Z) un agente ordena sus preferencias según la regla X>>Y>>Z, entonces los paquetes {(5;3;3), (5;1;6), (3,5,3)} se ordenarían, de mayor a menor preferencia:

1. 5;3;3
2. 5;1;6
3. 3;5;3

• Aunque la primera opción contiene menos bienes totales que la segunda opción, se prefiere porque tiene más Y. Tenga en cuenta que el número de X es el mismo, y por lo tanto el agente está comparando Y's.
• Aunque la tercera opción tiene los mismos bienes totales que la primera opción, la primera opción sigue siendo preferida porque tiene más X.
• Aunque la tercera opción tiene mucho más Y que la segunda opción, la segunda opción sigue siendo preferida porque tiene más X.

Una relación de preferencia lexicográfica no es una relación continua. Esto es porque, para una secuencia convergente decreciente ${\displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ 0}$ tenemos ${\displaystyle (x_{n},0)}(0,1)}$, mientras que el límite (0,0) es menor que (0,1).

Una característica distintiva de tales preferencias lexicográficas es que un dominio real multivariado de las preferencias de un agente no se corresponde con un rango de valores reales. Es decir, no existe una representación en valor real de una relación de preferencia mediante una función de utilidad, sea continua o no. Las preferencias lexicográficas son el ejemplo clásico de preferencias racionales que no son representables mediante una función de utilidad.

Prueba: supongamos por contradicción que existe una función de utilidad U que representa preferencias lexicográficas, p.e. sobre dos bienes. Entonces U(x,1)>U(x,0) debe cumplirse, por lo que los intervalos [U(x,0),U(x,1)] debe tener un ancho distinto de cero. Además, dado que U(x,1)<U(z,1) siempre que x<z , estos intervalos deben ser disjuntos para todo x. Esto no es posible para un conjunto incontable de valores de x.

Si hay un número finito de bienes, y las cantidades sólo pueden ser números racionales, existen funciones de utilidad, simplemente tomando 1/N como el tamaño del infinitesimal, donde N es lo suficientemente grande, para aproximarse a números no estándar.

En términos de utilidad valorada real, se diría que la utilidad de Y y Z es infinitesimal en comparación con X, y que la utilidad de Z es infinitesimal en comparación con Y. Por lo tanto, las preferencias lexicográficas pueden representarse mediante funciones de utilidad que devuelvan valores reales no estándar. números.

Si todos los agentes tienen las mismas preferencias lexicográficas, entonces el equilibrio general no puede existir porque los agentes no se venderán entre sí (siempre que el precio del menos preferido sea superior a cero). Pero si el precio de lo menos deseado es cero, entonces todos los agentes quieren una cantidad infinita del bien. El equilibrio no se puede alcanzar con precios estándar. Las utilidades son infinitesimales, pero los precios no. Permitir precios infinitesimales resuelve esto.

Las preferencias lexicográficas aún pueden existir con equilibrio general. Por ejemplo,

• Diferentes personas tienen diferentes paquetes de preferencias lexicográficas tales que diferentes individuos valoran artículos en diferentes órdenes.
• Algunas, pero no todas las personas tienen preferencias lexicográficas.
• Las preferencias lexicográficas se extienden sólo a cierta cantidad del bien.

Los precios de equilibrio no estándar (infinitesimales) de intercambio se pueden determinar para el orden lexicográfico utilizando métodos de equilibrio estándar, excepto que se utilizan reales no estándar como el rango tanto de utilidades como de precios. Todos los teoremas sobre la existencia de precios y equilibrios se extienden al caso de utilidades no estándar, ya que los reales no estándar forman una extensión conservadora, lo que significa que cualquier teorema que sea verdadero para los reales puede extenderse a los reales no estándar y sigue siendo verdadero.

• Optimización lexicográfica

• La relación de preferencia lexicográfica no puede ser representada por una función de utilidad. En Economía. SE
• Reconociendo órdenes lineales incrustables en R2 ordenadas lexicográficamente. En Math.SE.
• Programación lineal multiobjetivo Lexicographic utilizando Grossone Metodología: Teoría y Algoritmo. En Appl. Math. and Computation