Potencial gravitacional

En mecánica clásica, el potencial gravitacional es un campo escalar que asocia con cada punto del espacio el trabajo (energía transferida) por unidad de masa que se necesitaría para mover un objeto hasta ese punto desde un punto fijo. punto de referencia. Es análogo al potencial eléctrico en el que la masa desempeña el papel de carga. El punto de referencia, donde el potencial es cero, está por convención infinitamente lejos de cualquier masa, lo que resulta en un potencial negativo a cualquier distancia finita.

En matemáticas, el potencial gravitacional también se conoce como potencial newtoniano y es fundamental en el estudio de la teoría del potencial. También se puede utilizar para resolver los campos electrostáticos y magnetostáticos generados por cuerpos elipsoidales polarizados o cargados uniformemente.

Energía potencial

El potencial gravitacional (V) en una ubicación es la energía potencial gravitacional (U) en esa ubicación por unidad de masa:

$${displaystyle V={frac {U} {m},}$$

donde m es la masa del objeto. La energía potencial es igual (en magnitud, pero negativa) al trabajo realizado por el campo gravitacional que mueve un cuerpo a su posición determinada en el espacio desde el infinito. Si el cuerpo tiene una masa de 1 kilogramo, entonces la energía potencial que se le debe asignar a ese cuerpo es igual al potencial gravitacional. Entonces, el potencial puede interpretarse como el negativo del trabajo realizado por el campo gravitacional que mueve una unidad de masa desde el infinito.

En algunas situaciones, las ecuaciones se pueden simplificar suponiendo un campo que es casi independiente de la posición. Por ejemplo, en una región cercana a la superficie de la Tierra, la aceleración gravitacional, g, puede considerarse constante. En ese caso, la diferencia de energía potencial de una altura a otra está, en una buena aproximación, linealmente relacionada con la diferencia de altura:

$${displaystyle Delta Uapprox mgDelta h.}$$

Forma matemática

El potencial gravitacional V a una distancia x de una masa puntual de masa M se puede definir como el trabajo W eso debe ser hecho por un agente externo para llevar una unidad de masa desde el infinito hasta ese punto:

$${displaystyle V(mathbf {x}={frac {W}={frac}={frac {1}{m}int _{infty }mathbf {F} cdot dmathbf {x} ={frac} {1}{m}int _{infty}{x}{frac {GmM}{x^{2}}dx=-{frac {GM}{x},}$$

El campo gravitacional, y por tanto la aceleración de un cuerpo pequeño en el espacio alrededor del objeto masivo, es el gradiente negativo del potencial gravitacional. Así, lo negativo de un gradiente negativo produce una aceleración positiva hacia un objeto masivo. Como el potencial no tiene componentes angulares, su gradiente es

$${displaystyle mathbf {a} # Mathbf {x} {fnK} {fnMitbf}}}$$

${displaystyle {hat {mathbf {x}}}$

$${fnMicrosoft Sans Serif} Silencio.$$

El potencial asociado con una distribución de masa es la superposición de los potenciales de masas puntuales. Si la distribución de masa es una colección finita de masas puntuales, y si las masas puntuales están ubicadas en los puntos x₁,..., x_n y tienen masas m₁,..., m_n, entonces el potencial de la distribución en el punto x es

$${displaystyle V(mathbf {x}=sum ¿Por qué? {Gm_{i} {fnMitbf {x} - Mathbf {x} - Hola.$$

Si la distribución de masa se da como una medida de masa dm en el espacio euclidiano tridimensional R³, entonces el potencial es la convolución de −G/|r | con dm. En buenos casos esto es igual a la integral

$${displaystyle V(mathbf {x})=-int _{mathbb {fnK} {f} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} - Mathbf {r},dm(mathbf {r}),}$$

$${displaystyle V(mathbf {x})=-int _{mathbb {fnK} {f} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} - 'mathbf {r} ',rho (mathbf {r})dv(mathbf {r}). }$$

Si V es una función potencial proveniente de una distribución de masa continua ρ(r), entonces ρ se puede recuperar usando el operador de Laplace, Δ:

$${displaystyle rho (mathbf {x})={frac {1}{4pi G}Delta V(mathbf {x}).$$

La integral se puede expresar en términos de funciones trascendentales conocidas para todas las formas elipsoidales, incluidas las simétricas y degeneradas. Estos incluyen la esfera, donde los tres semiejes son iguales; los esferoides achatados (ver elipsoide de referencia) y alargados, donde dos semiejes son iguales; los degenerados donde un semieje es infinito (el cilindro elíptico y circular) y la hoja ilimitada donde dos semiejes son infinitos. Todas estas formas se utilizan ampliamente en las aplicaciones de la integral de potencial gravitacional (aparte de la constante G, siendo 𝜌 una densidad de carga constante) al electromagnetismo.

Simetría esférica

Una distribución de masa esféricamente simétrica se comporta ante un observador completamente fuera de la distribución como si toda la masa estuviera concentrada en el centro y, por lo tanto, efectivamente como una masa puntual, según el teorema de la capa. En la superficie de la Tierra, la aceleración viene dada por la llamada gravedad estándar g, aproximadamente 9,8 m/s², aunque este valor varía ligeramente con la latitud y la altitud. La magnitud de la aceleración es un poco mayor en los polos que en el ecuador porque la Tierra es un esferoide achatado.

Dentro de una distribución de masa esféricamente simétrica, es posible resolver la ecuación de Poisson en coordenadas esféricas. Dentro de un cuerpo esférico uniforme de radio R, densidad ρ y masa m, la fuerza gravitacional g dentro de la esfera varía linealmente con la distancia r desde el centro, dando el potencial gravitacional dentro de la esfera, que es

$${displaystyle V(r)={2}{3}pi} Grho left [r^{2}-3R^{2}right]={frac {Gm}{2R^{3}}}left[r^{2}-3R^{2}right],qquad rleq R,}$$

Relatividad general

En la relatividad general, el potencial gravitacional se reemplaza por el tensor métrico. Cuando el campo gravitacional es débil y las fuentes se mueven muy lentamente en comparación con la velocidad de la luz, la relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana y el tensor métrico se puede expandir en términos del potencial gravitacional.

Expansión multipolar

El potencial en un punto x está dado por

$${displaystyle V(mathbf {x})=-int _{mathbb {fnK} {f} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} - 'Mathbf {r} 'm(mathbf {r}).$$

El potencial se puede expandir en una serie de polinomios de Legendre. Representa los puntos x y r como vectores de posición relativos al centro de masa. El denominador en la integral se expresa como la raíz cuadrada del cuadrado para dar

$${displaystyle {begin{aligned}V(mathbf {x}) reducida=-int _{mathbb {R} }{3}{frac {sqrt {mathbf {x} {f}} {f} {fnMitbf} Silencio. - ¿Qué? {1}{mathbf {x}}int _{mathbb {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fnh} {fn}}costhetat} {fnMicroc {fnMithbf {x}}}}}}},dm(mathbf {r})end{aligned}}}}$$

(Ver "forma matemática".) El integrando se puede expandir como una serie de Taylor en Z = r/|x|, mediante cálculo explícito de los coeficientes. Una forma menos laboriosa de lograr el mismo resultado es utilizar el teorema del binomio generalizado. La serie resultante es la función generadora de los polinomios de Legendre:

$${displaystyle left(1-2XZ+Z^{2}right)^{-{frac {1}{2}} =sum _{n=0}{infty }Z^{n}(X)}$$

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft {f} {f}f}fn}fn}fnK} {cHFF} {f} {f}f}cH00}cH00}cH0}} {f}f}f}f}}f}f}cH00}f}f}f}f}cH00}f}f}cH00cH00cH00}cH00cH00}cH00}f}f}cH00}cH0cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}}}cH00} {G}{mathbf {x}}}int left(1+left({frac {r}{ minmathbf {x} Silencio}}right)cos theta +left({frac {fnK} {fnMitbf {x}}}derecha)}{2}{frac {3cos ^{2}theta - 1} {2}cdots right),dm(mathbf {r}end{aligned}}$$

${textstyle int rcos(theta),dm}$

$${displaystyle V(mathbf {x})=-{frac {GM}{ arrestmathbf {x} Silencio. {G}{}{frac {}{m} {m}m} }}derecha)}}derecha)}{2}{frac {3cos }theta -1} {2}dm(mathbf {r})+cdots$$

Esto muestra que el alargamiento del cuerpo provoca un potencial menor en la dirección del alargamiento, y un potencial mayor en direcciones perpendiculares, en comparación con el potencial debido a una masa esférica, si comparamos casos con la misma distancia al centro de masa. (Si comparamos casos con la misma distancia a la superficie, ocurre lo contrario).

Valores numéricos

El valor absoluto del potencial gravitacional en varios lugares con respecto a la gravitación de la Tierra, el Sol y la Vía Láctea se proporciona en la siguiente tabla; es decir, un objeto en la superficie de la Tierra necesitaría 60 MJ/kg para "dejar" del campo gravitatorio de la Tierra, otros 900 MJ/kg para abandonar también el campo gravitatorio del Sol y más de 130 GJ/kg para abandonar el campo gravitatorio de la Vía Láctea. El potencial es la mitad del cuadrado de la velocidad de escape.

Compare la gravedad en estos lugares.