Postulados de la relatividad especial

En física, Albert Einstein derivó la teoría de la relatividad especial en 1905 a partir de principios ahora llamados postulados de la relatividad especial. Se dice que la formulación de Einstein sólo requiere dos postulados, aunque su derivación implica algunas suposiciones más.

La idea de que la relatividad especial dependía sólo de dos postulados, los cuales parecían derivarse de la teoría y el experimento de la época, fue uno de los argumentos más convincentes a favor de la exactitud de la teoría (Einstein 1912: &#34 ;Esta teoría es correcta en la medida en que los dos principios en los que se basa son correctos. Dado que estos parecen ser correctos en gran medida,...")

Postulados de la relatividad especial

1. Primer postulado (principio de relatividad)

Las leyes de la física toman la misma forma en todos los marcos inerciales de referencia.

2. Segundo postulado (invariancia de c)

Como se mide en cualquier marco inercial de referencia, la luz siempre se propaga en espacio vacío con una velocidad definida c que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor. O: la velocidad de la luz en el espacio libre tiene el mismo valor c en todos los marcos inerciales de referencia.

La base de dos postulados para la relatividad especial es la que utilizó históricamente Einstein y, a veces, es el punto de partida en la actualidad. Como reconoció más tarde el propio Einstein, la derivación de la transformación de Lorentz hace uso tácito de algunos supuestos adicionales, entre ellos la homogeneidad espacial, la isotropía y la falta de memoria. Hermann Minkowski también utilizó implícitamente ambos postulados cuando introdujo la formulación espacial de Minkowski, aunque demostró que c puede verse como una constante espacio-temporal, y la identificación con la velocidad de la luz se deriva de la óptica. .

Derivaciones alternativas de la relatividad especial

Históricamente, Hendrik Lorentz y Henri Poincaré (1892-1905) derivaron la transformación de Lorentz a partir de las ecuaciones de Maxwell, que sirvieron para explicar el resultado negativo de todas las mediciones de deriva del éter. De este modo, el éter luminífero se vuelve indetectable de acuerdo con lo que Poincaré llamó el principio de relatividad (ver Historia de las transformaciones de Lorentz y Teoría del éter de Lorentz). Richard Feynman dio un ejemplo más moderno de derivación de la transformación de Lorentz a partir de la electrodinámica (sin utilizar en absoluto el concepto histórico de éter).

George Francis FitzGerald ya planteó un argumento similar al de Einstein en 1889, en respuesta al experimento de Michelson-Morley que parecía demostrar que ambos postulados eran verdaderos. Escribió que una contracción de longitud es "casi la única hipótesis que puede conciliar" las aparentes contradicciones. Lorentz llegó de forma independiente a conclusiones similares y más tarde escribió "la principal diferencia es que Einstein simplemente postula lo que hemos deducido".

A raíz de estas derivaciones, se han propuesto muchas derivaciones alternativas, basadas en varios conjuntos de suposiciones. A menudo se ha argumentado (como Vladimir Ignatowski en 1910, o Philipp Frank y Hermann Rothe en 1911, y muchos otros en años posteriores) que una fórmula equivalente a la transformación de Lorentz, hasta un parámetro libre no negativo, se deriva simplemente del postulado de la relatividad en sí, sin postular primero la velocidad universal de la luz. Estas formulaciones se basan en los diversos supuestos antes mencionados, como la isotropía. El valor numérico del parámetro en estas transformaciones se puede determinar mediante experimentos, del mismo modo que los valores numéricos del par de parámetros c y la permitividad del vacío se dejan para determinar mediante experimentos incluso cuando se utiliza Einstein. ;s postulados originales. El experimento descarta la validez de las transformaciones galileanas. Cuando se han encontrado los valores numéricos tanto en el enfoque de Einstein como en otros, estos diferentes enfoques dan como resultado la misma teoría.

Insuficiencia de los dos postulados estándar

La derivación de Einstein de 1905 no está completa. Se produce una ruptura en la lógica de Einstein cuando, después de haber establecido "la ley de la constancia de la velocidad de la luz" para el espacio vacío, invoca la ley en situaciones donde el espacio ya no está vacío. Para que la derivación se aplique a objetos físicos se requiere un postulado adicional o "hipótesis puente", de que la geometría derivada para el espacio vacío también se aplica cuando un espacio está poblado. Esto equivaldría a afirmar que sabemos que la introducción de materia en una región y su movimiento relativo no tienen ningún efecto sobre la geometría del haz de luz.

Tal afirmación sería problemática, ya que Einstein rechazó la noción de que un proceso como la propagación de la luz pudiera ser inmune a otros factores (1914: "No puede haber duda de que este principio es de lejos -alcanzando importancia; y, sin embargo, no puedo creer en su validez exacta. Me parece increíble que el curso de cualquier proceso (por ejemplo, el de la propagación de la luz en el vacío) pueda concebirse como independiente de todos los demás acontecimientos en el mundo.")

Incluyendo este "puente" como un tercer postulado explícito también podría haber dañado la credibilidad de la teoría, ya que el índice de refracción y el efecto Fizeau habrían sugerido que la presencia y el comportamiento de la materia sí parecen influir en la propagación de la luz, contra la teoría. Si esta hipótesis puente se hubiera planteado como un tercer postulado, se podría haber afirmado que el tercer postulado (y por tanto la teoría) fueron refutados por la evidencia experimental.

El sistema de 1905 como "teoría nula"

Sin una "hipótesis puente" como tercer postulado, la derivación de 1905 está abierta a la crítica de que sus relaciones derivadas pueden sólo aplicarse in vacuo, es decir, en ausencia de materia.

La controvertida sugerencia de que la teoría de 1905, derivada de la suposición de un espacio vacío, sólo podría aplicarse al espacio vacío, aparece en el libro de Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler, " Física del espacio-tiempo" (Cuadro 3-1: "El principio de la relatividad se basa en el vacío").

Una sugerencia similar de que la reducción de la geometría GR al espacio-tiempo plano de SR en regiones pequeñas puede ser "no física" (porque las regiones planas puntiagudas no pueden contener materia capaz de actuar como observadores físicos) fue reconocida pero rechazada por Einstein en 1914 ("Las ecuaciones de la nueva teoría de la relatividad se reducen a las de la teoría original en el caso especial donde g_μν puede considerarse constante... la única objeción que se puede plantear a la teoría es que las ecuaciones que hemos establecido podrían, tal vez, carecer de cualquier contenido físico. es probable que piense seriamente que esta objeción está justificada en el presente caso").

Einstein revisó el problema en 1919 ("De ninguna manera está establecido a priori que una transición limitante de este tipo tenga algún significado posible. Porque si los campos gravitacionales juegan un papel esencial en la estructura de Para las partículas de materia, la transición al caso límite de g_μν constante perdería su justificación, pues efectivamente, con g_μν constante no podría haber ninguna partículas de materia.")

Se puede extraer otro argumento a favor de la falta de fisicalidad a partir de la solución de Einstein al "problema del agujero" bajo la relatividad general, en la que Einstein rechaza la fisicalidad de las relaciones del sistema de coordenadas en un espacio verdaderamente vacío.

Modelos relativistas alternativos

La teoría especial de Einstein no es la única teoría que combina una forma de constancia de la velocidad de la luz con el principio de la relatividad. Una teoría similar a la propuesta por Heinrich Hertz (en 1890) permite que todos los objetos arrastren completamente la luz, lo que proporciona una constancia c local para todos los observadores físicos. La posibilidad lógica de una teoría hertziana muestra que los dos postulados estándar de Einstein (sin la hipótesis puente) no son suficientes para permitirnos llegar de manera única a la solución de la relatividad especial (aunque la relatividad especial podría considerarse la solución más minimalista).

Einstein estuvo de acuerdo en que la teoría de Hertz era lógicamente consistente ("Es sobre la base de esta hipótesis que Hertz desarrolló una electrodinámica de los cuerpos en movimiento que está libre de contradicciones." ), pero lo descartó basándose en una mala concordancia con el resultado de Fizeau, dejando la relatividad especial como la única opción restante. Dado que SR tampoco pudo reproducir el resultado de Fizeau sin introducir reglas auxiliares adicionales (para abordar el diferente comportamiento de la luz en un medio particulado), esta quizás no fue una comparación justa.

Formulación matemática de los postulados

En la rigurosa formulación matemática de la relatividad especial, suponemos que el universo existe en un espacio de cuatro dimensiones M. Los puntos individuales en tiempo espacial son conocidos como eventos; los objetos físicos en tiempo espacial son descritos por mundanas (si el objeto es una partícula de punto) o hojas de cálculo (si el objeto es más grande que un punto). La hoja mundana o la hoja mundana sólo describe el movimiento del objeto; el objeto también puede tener varias otras características físicas tales como energía-momentum, masa, carga, etc.

Además de eventos y objetos físicos, hay una clase de marcos inerciales de referencia. Cada marco de referencia inercial proporciona un sistema de coordenadas ()x1,x2,x3,t){displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)} para eventos en el espacio M. Además, este marco de referencia también da coordenadas a todas las demás características físicas de los objetos en el espacio; por ejemplo, proporcionará coordenadas ()p1,p2,p3,E){displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3},E)} para el impulso y la energía de un objeto, coordenadas ()E1,E2,E3,B1,B2,B3){displaystyle (E_{1},E_{2},E_{3},B_{1},B_{2},B_{3})} para un campo electromagnético, y así sucesivamente.

Asumimos que dados dos marcos inerciales de referencia, existe una transformación de coordenadas que convierte las coordenadas de un marco de referencia a las coordenadas en otro marco de referencia. Esta transformación no sólo proporciona una conversión para las coordenadas espaciales ()x1,x2,x3,t){displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}, pero también proporcionará una conversión para todas las demás coordenadas físicas, como una ley de conversión para el impulso y la energía ()p1,p2,p3,E){displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3},E)}, etc. (En la práctica, estas leyes de conversión se pueden manejar eficientemente utilizando las matemáticas de tensores.)

También suponemos que el universo obedece una serie de leyes físicas. Matemáticamente, cada ley física se puede expresar con respecto a las coordenadas dadas por un marco inercial de referencia por una ecuación matemática (por ejemplo, una ecuación diferencial) que relaciona las diversas coordenadas de los diversos objetos en el espacio. Un ejemplo típico es las ecuaciones de Maxwell. Otro es la primera ley de Newton.

1. Primer Postulado (Principio de relatividad)

Bajo transiciones entre marcos de referencia inerciales, las ecuaciones de todas las leyes fundamentales de la física permanecen invariables, mientras que todas las constantes numéricas que entran en estas ecuaciones preservan sus valores. Así, si una ley física fundamental se expresa con una ecuación matemática en un marco inercial, debe ser expresada por una ecuación idéntica en cualquier otro marco inercial, siempre que ambos marcos estén parametrizados con gráficos del mismo tipo. (La gruta de los gráficos se relaja, si empleamos conexiones para escribir la ley en forma covariante.)

2. Segundo Postulado (Invariancia de c)

Existe una constante absoluta <math alttext="{displaystyle 0<c0c)cc)JUEGO JUEGO {displaystyle 0 realizadasc}<img alt="{displaystyle 0<c con la propiedad siguiente. Si A, B son dos eventos que tienen coordenadas ()x1,x2,x3,t){displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)} y ()Sí.1,Sí.2,Sí.3,s){displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},s)} en un marco inercial F{displaystyle F}, y tienen coordenadas ()x1.,x2.,x3.,t.){displaystyle (x'_{1},x'_{2},x'_{3},t'} y ()Sí.1.,Sí.2.,Sí.3.,s.){displaystyle (y'_{1},y'_{2},y'_{3},s')} en otro marco inercial F.{displaystyle F.Entonces

()x1− − Sí.1)2+()x2− − Sí.2)2+()x3− − Sí.3)2=c()s− − t){displaystyle {sqrt {(x_{1}-y_{1}{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3}}}=c(s-t)quad } si ()x1.− − Sí.1.)2+()x2.− − Sí.2.)2+()x3.− − Sí.3.)2=c()s.− − t.){displaystyle quad {sqrt {(x'_{1}-y'_{1})^{2}+(x'_{2}-y'_{2})^{2}+(x'_{3}-y'_{3}}}=c(s'-t')}}}.

Informalmente, el Segundo Postulado afirma que los objetos que viajan a una velocidad c en un sistema de referencia necesariamente viajarán a una velocidad c en todos los sistemas de referencia. Este postulado es un subconjunto de los postulados que subyacen a las ecuaciones de Maxwell en la interpretación que se les da en el contexto de la relatividad especial. Sin embargo, las ecuaciones de Maxwell se basan en varios otros postulados, algunos de los cuales ahora se sabe que son falsos (por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell no pueden explicar los atributos cuánticos de la radiación electromagnética).

El segundo postulado se puede utilizar para implicar una versión más fuerte de sí mismo, es decir, que el intervalo espacio-temporal es invariante ante cambios del sistema de referencia inercial. En la notación anterior, esto significa que

c2()s− − t)2− − ()x1− − Sí.1)2− − ()x2− − Sí.2)2− − ()x3− − Sí.3)2[displaystyle c^{2}(s-t)^{2}-(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2}}}}}

=c2()s.− − t.)2− − ()x1.− − Sí.1.)2− − ()x2.− − Sí.2.)2− − ()x3.− − Sí.3.)2{displaystyle =c^{2}(s'-t')^{2}-(x'_{1}-y'_{1})^{2}-(x'_{2}-y'_{2})^{2}-(x'_{3})}

para dos eventos cualesquiera A, B. Esto, a su vez, puede utilizarse para deducir las leyes de transformación entre sistemas de referencia; ver transformación de Lorentz.

Los postulados de la relatividad especial se pueden expresar de manera muy sucinta utilizando el lenguaje matemático de las variedades pseudo-riemannianas. El segundo postulado es entonces una afirmación de que el espacio-tiempo de cuatro dimensiones M es una variedad pseudo-riemanniana equipada con una métrica g de firma (1,3), que está dada por la métrica de Minkowski cuando se mide en cada sistema de referencia inercial. Esta métrica se considera una de las cantidades físicas de la teoría; por tanto, se transforma de cierta manera cuando se cambia el marco de referencia y puede usarse legítimamente para describir las leyes de la física. El primer postulado es una afirmación de que las leyes de la física son invariantes cuando se representan en cualquier marco de referencia para el cual g esté dado por la métrica de Minkowski. Una ventaja de esta formulación es que ahora es fácil comparar la relatividad especial con la relatividad general, en la que se cumplen los mismos dos postulados pero se descarta el supuesto de que se requiere que la métrica sea Minkowski.

La teoría de la relatividad Galileo es el caso limitado de la relatividad especial en el límite c→ → JUEGO JUEGO {displaystyle cto infty} (que a veces se denomina límite no relativista). En esta teoría, el primer postulado permanece invariable, pero el segundo postulado se modifica a:

Si A, B son dos eventos que tienen coordenadas ()x1,x2,x3,t){displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)} y ()Sí.1,Sí.2,Sí.3,s){displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},s)} en un marco inercial F{displaystyle F}, y tienen coordenadas ()x1.,x2.,x3.,t.){displaystyle (x'_{1},x'_{2},x'_{3},t'} y ()Sí.1.,Sí.2.,Sí.3.,s.){displaystyle (y'_{1},y'_{2},y'_{3},s')} en otro marco inercial F.{displaystyle F.Entonces s− − t=s.− − t.{displaystyle s-t=s'-t}. Además, si s− − t=s.− − t.=0{displaystyle s-t=s'-t=0}Entonces

()x1− − Sí.1)2+()x2− − Sí.2)2+()x3− − Sí.3)2{displaystyle quad {sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3}}}{2}}}}} {}}}}}}}}

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La teoría física dada por la mecánica clásica, y la gravedad newtoniana es consistente con la relatividad galilea, pero no la relatividad especial. Por el contrario, las ecuaciones de Maxwell no son consistentes con la relatividad Galileo a menos que uno postula la existencia de un éter físico. En un número sorprendente de casos, las leyes de la física en la relatividad especial (como la famosa ecuación E=mc2{displaystyle E=mc^{2}) se puede deducir combinando los postulados de relatividad especial con la hipótesis de que las leyes de relatividad especial abordan las leyes de la mecánica clásica en el límite no relativista.