Posición general

En geometría algebraica y geometría computacional, posición general es una noción de genericidad para un conjunto de puntos u otros objetos geométricos. Significa la situación de caso general, a diferencia de algunos casos más especiales o coincidentes que son posibles, lo que se conoce como posición especial. Su significado preciso difiere en diferentes entornos.

Por ejemplo, genéricamente, dos rectas del plano se cortan en un solo punto (no son paralelas ni coincidentes). También se dice "dos líneas genéricas se cruzan en un punto", lo cual se formaliza mediante la noción de punto genérico. De manera similar, tres puntos genéricos del plano no son colineales; si tres puntos son colineales (incluso más fuerte si dos coinciden), este es un caso degenerado.

Esta noción es importante en matemáticas y sus aplicaciones, porque los casos degenerados pueden requerir un tratamiento excepcional; por ejemplo, al enunciar teoremas generales o al dar enunciados precisos de los mismos, y al escribir programas de computadora (ver complejidad genérica).

Posición lineal general

Un conjunto de puntos en un espacio afín d-dimensional (d-espacio euclidiano dimensional es un ejemplo común) está en posición lineal general (o simplemente en posición general) si no hay k de ellos se encuentran en un (k − 2)-plano dimensional para k = 2, 3,..., d + 1. Estas condiciones contienen una redundancia considerable ya que, si la condición se cumple para algún valor k₀ entonces también debe cumplirse para todos los k con 2 ≤ k ≤ k₀. Por lo tanto, para un conjunto que contiene al menos d + 1 puntos en d-espacio afín dimensional para estar en posición general, es suficiente que ningún hiperplano contenga más de d puntos – es decir, los puntos no satisfacen más relaciones lineales de las que deben.

También se dice que un conjunto de como máximo d + 1 puntos en posición lineal general es afínmente independiente (este es el análogo afín de la independencia lineal de vectores, o más precisamente del rango máximo), y d + 1 puntos en posición lineal general en afín d-space son una base afín. Consulte transformación afín para obtener más información.

De manera similar, n vectores en un espacio vectorial n-dimensional son linealmente independientes si y sólo si los puntos que definen en el espacio proyectivo (de dimensión n − 1) están en posición lineal general.

Si un conjunto de puntos no está en una posición lineal general, se denomina caso degenerado o configuración degenerada, lo que implica que satisfacen una relación lineal que no siempre tiene por qué cumplirse.

Una aplicación fundamental es que, en el plano, cinco puntos determinan una cónica, siempre y cuando los puntos estén en posición general lineal (ningún tres son colineales).

Más en general

Esta definición se puede generalizar aún más: se puede hablar de puntos en posición general con respecto a una clase fija de relaciones algebraicas (por ejemplo, secciones cónicas). En geometría algebraica este tipo de condición se encuentra con frecuencia, en el sentido de que los puntos deben imponer condiciones independientes a las curvas que los atraviesan.

Por ejemplo, cinco puntos determinan una cónica, pero en general seis puntos no se encuentran en una cónica, por lo que estar en posición general con respecto a las cónicas requiere que no haya seis puntos en una cónica.

La posición general se conserva en mapas biregulares: si los puntos de la imagen satisfacen una relación, entonces, en un mapa biregular, esta relación puede volver a los puntos originales. Es significativo que el mapa de Veronese sea biregular; como los puntos bajo el mapa de Veronese corresponden a evaluar un polinomio de grado d en ese punto, esto formaliza la noción de que los puntos en posición general imponen condiciones lineales independientes a las variedades que pasan a través de ellos.

La condición básica para la posición general es que los puntos no recaigan en subvariedades de grado inferior al necesario; en el plano dos puntos no deben coincidir, tres puntos no deben caer en una recta, seis puntos no deben caer en una cónica, diez puntos no deben caer en una cúbica, y lo mismo para grados superiores.

Sin embargo, esto no es suficiente. Mientras que nueve puntos determinan un cúbico, hay configuraciones de nueve puntos que son especiales con respecto a los cúbicos, a saber, la intersección de dos cúbicos. La intersección de dos cúbicos, que es 3× × 3=9{displaystyle 3times 3=9} puntos (por teorema de Bézout), es especial en que nueve puntos en posición general están contenidos en un único cúbico, mientras que si están contenidos en dos cúbicos de hecho están contenidos en un lápiz (1-parametro sistema lineal) de cúbicos, cuyas ecuaciones son las combinaciones lineales proyectivas de las ecuaciones para los dos cúbicos. Por lo tanto, estos conjuntos de puntos imponen una condición menor a los cúbicos que los contengan de lo esperado, y en consecuencia satisfacen una limitación adicional, a saber, el teorema de Cayley-Bacharach que cualquier cúbico que contenga ocho de los puntos necesariamente contiene el noveno. Las declaraciones analógicas son superiores.

Para puntos en el plano o en una curva algebraica, la noción de posición general se vuelve algebraicamente precisa mediante la noción de un divisor regular, y se mide por la desaparición de los grupos de cohomología de gavilla superiores. del haz de líneas asociado (formalmente, gavilla invertible). Como lo refleja la terminología, esto es significativamente más técnico que la imagen geométrica intuitiva, similar a cómo una definición formal de número de intersección requiere álgebra sofisticada. Esta definición se generaliza en dimensiones superiores a hipersuperficies (subvariedades de codimensión 1), en lugar de a conjuntos de puntos, y los divisores regulares se contrastan con los divisores superabundantes, como se analiza en el teorema de Riemann-Roch para superficies.

Tenga en cuenta que no todos los puntos en la posición general son proyectivamente equivalentes, lo cual es una condición mucho más fuerte; por ejemplo, cualquier k punto distinto en la línea está en posición general, pero las transformaciones proyectivas son solo 3-transitivas, siendo la invariante de 4 puntos la relación cruzada.

Diferentes geometrías

Diferentes geometrías permiten diferentes nociones de restricciones geométricas. Por ejemplo, un círculo es un concepto que tiene sentido en la geometría euclidiana, pero no en la geometría lineal afín o en la geometría proyectiva, donde los círculos no se pueden distinguir de las elipses, ya que uno puede comprimir un círculo hasta convertirlo en una elipse. De manera similar, una parábola es un concepto en geometría afín pero no en geometría proyectiva, donde una parábola es simplemente una especie de cónica. La geometría que se utiliza abrumadoramente en la geometría algebraica es la geometría proyectiva, y la geometría afín encuentra un uso significativo pero mucho menor.

Así, en geometría euclidiana tres puntos no colineales determinan un círculo (como el círculo circunstante del triángulo que definen), pero cuatro puntos en general no lo hacen (lo hacen sólo para cuadriláteros cíclicos), por lo que la noción de &# 34;posición general con respecto a los círculos", es decir, "no hay cuatro puntos en un círculo" tiene sentido. En geometría proyectiva, por el contrario, los círculos no se diferencian de las cónicas, y cinco puntos determinan una cónica, por lo que no existe una noción proyectiva de "posición general con respecto a los círculos".

Tipo general

La posición general es una propiedad de configuraciones de puntos, o más generalmente otras subvarieties (líneas en posición general, por lo que no tres concurrentes, y similares). La posición general es una extrínseco noción, que depende de una incrustación como una subvariedad. Informalmente, las subvariedades están en posición general si no pueden describirse más simplemente que otros. An intrínseco analog of general position is general type, and corresponds to a variety which cannot be described by simpler polynomial ecuaciones than others. Esto se formaliza por la noción de la dimensión Kodaira de una variedad, y por esta medida los espacios proyectivos son las variedades más especiales, aunque hay otras igualmente especiales, lo que significa tener una dimensión Kodaira negativa. Para curvas algebraicas, la clasificación resultante es: línea proyectiva, torus, superficies de género superiores (g≥ ≥ 2{displaystyle ggeq 2}), y clasificaciones similares ocurren en dimensiones superiores, especialmente la clasificación Enriques–Kodaira de superficies algebraicas.

Otros contextos

En la teoría de la intersección, tanto en geometría algebraica como en topología geométrica, se utiliza la noción análoga de transversalidad: las subvariedades en general se cruzan transversalmente, es decir, con multiplicidad 1, en lugar de ser tangentes u otras, superiores. ordenar las intersecciones.

Posición general para triangulaciones de Delaunay en el plano

Cuando se analizan las teselaciones de Voronoi y las triangulaciones de Delaunay en el plano, se dice que un conjunto de puntos en el plano está en posición general sólo si no hay cuatro de ellos que se encuentren en el mismo círculo y que no haya tres de ellos colineales. La transformación de elevación habitual que relaciona la triangulación de Delaunay con la mitad inferior de un casco convexo (es decir, dando a cada punto p una coordenada adicional igual a |p|² ) muestra la conexión con la vista plana: cuatro puntos se encuentran en un círculo o tres de ellos son colineales exactamente cuando sus contrapartes elevadas no están en una posición lineal general.

Resumen: espacios de configuración

En términos muy abstractos, posición general es una discusión de las propiedades genéricas de un espacio de configuración; en este contexto, uno se refiere a propiedades que se mantienen en el punto genérico de un espacio de configuración, o de manera equivalente en un conjunto abierto de Zariski.

Esta noción coincide con la noción teórica de medida de genérico, que significa que casi en todas partes del espacio de configuración, o de manera equivalente, que los puntos elegidos al azar casi seguramente (con probabilidad 1) estarán en la posición general.