Polinomios de Legendre

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Sistema de polinomios completos y ortogonales

Los primeros seis polinomios Legendre

En matemáticas, los polinomios de Legendre, llamados así por Adrien-Marie Legendre (1782), son un sistema de polinomios completos y ortogonales con un gran número de propiedades matemáticas y numerosas aplicaciones. Se pueden definir de muchas maneras, y las diversas definiciones resaltan diferentes aspectos y sugieren generalizaciones y conexiones a diferentes estructuras matemáticas y aplicaciones físicas y numéricas.

Estrechamente relacionados con los polinomios de Legendre están los polinomios de Legendre asociados, las funciones de Legendre, las funciones de Legendre del segundo tipo y las funciones de Legendre asociadas.

Definición por construcción como sistema ortogonal

En este enfoque, los polinomios se definen como un sistema ortogonal con respecto a la función de peso $w(x)=1$ sobre el intervalo ${displaystyle [-1,1]}$ . Eso es, $P_n(x)$ es un polinomio de grado $n$ , tal que

{displaystyle int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x),dx=0quad {text{if }}nneq m.}

Con la condición de estandarización adicional ${displaystyle P_{n}(1)=1}$ , todos los polinomios se pueden determinar de forma única. Luego iniciamos el proceso de construcción: ${displaystyle P_{0}(x)=1}$ es el único polinomio normalizado de grado 0. $P_{1}(x)$ debe ser ortogonal $P_{0}$ , conduce a ${displaystyle P_{1}(x)=x}$ , y $P_{2}(x)$ se determina por ortogonalidad exigente a $P_{0}$ y $P_{1}$ , y así sucesivamente. $P_{n}$ se fija por ortogonalidad exigente a todos $P_m$ con $<math alttext="{displaystyle mm.n{displaystyle m won} <img alt=" m$ . Esto da $n$ condiciones que, junto con la estandarización ${displaystyle P_{n}(1)=1}$ Arregla todos ${displaystyle n+1}$ coeficientes en ${displaystyle P_{n}(x)}$ . Con el trabajo, todos los coeficientes de cada polinomio se pueden determinar sistemáticamente, lo que conduce a la representación explícita en poderes de $x$ dado abajo.

Esta definición de la $P_{n}$ Es el más simple. No apela a la teoría de las ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, la integridad de los polinomios sigue inmediatamente de la integridad de los poderes 1, ${displaystyle x,x^{2},x^{3},ldots }$ . Finalmente, al definirlos vía ortogonalidad con respecto a la función de peso más obvia en un intervalo finito, establece los polinomios Legendre como uno de los tres sistemas polinomios ortogonales clásicos. Los otros dos son los polinomios de Laguerre, que son ortogonales sobre la media línea $[0,infty)$ , y los polinomios Hermite, ortogonal sobre la línea completa $(-inftyinfty)$ , con funciones de peso que son las funciones analíticas más naturales que aseguran la convergencia de todas las integrales.

Definición mediante función generadora

Los polinomios Legendre también se pueden definir como los coeficientes en una expansión formal en poderes de $t$ de la función generadora

{displaystyle {frac {1}{sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=sum _{n=0}^{infty }P_{n}(x)t^{n},.}

()2)

El coeficiente de $t^{n}$ es un polinomio en $x$ grado $n$ con ${displaystyle |x|leq 1}$ . Ampliar hasta ${displaystyle t^{1}}$ da

{displaystyle P_{0}(x)=1,,quad P_{1}(x)=x.}

Es posible obtener el mayor $P_{n}$ 's sin recurrir a la expansión directa de la serie Taylor, sin embargo. Eq.2 se diferencia con respecto a $t$ en ambos lados y reordenado para obtener

{displaystyle {frac {x-t}{sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=left(1-2xt+t^{2}right)sum _{n=1}^{infty }nP_{n}(x)t^{n-1},.}

t

fórmula de recursión de Bonnet

{displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x),.}

P 0

P 1

El enfoque de la función generadora está directamente relacionado con la expansión multipolar de la electrostática, como se explica a continuación, y es cómo Legendre definió los polinomios por primera vez en 1782.

Definición mediante ecuación diferencial

Una tercera definición es en términos de soluciones a la ecuación diferencial de Legendre:

{displaystyle (1-x^{2})P_{n}''(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.}

()1)

Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en $x = \pm1$ por lo que si se busca una solución usando el método estándar de Frobenius o de series de potencias, un la serie sobre el origen solo convergerá para $| x | < 1 en general. Cuando n es un número entero, la solución P n (x) que es regular en x = 1 también es regular en x = -1, y la serie para esta solución termina (es decir, es un polinomio). La ortogonalidad y completitud de estas soluciones se ve mejor desde el punto de vista de la teoría de Sturm-Liouville. Reescribimos la ecuación diferencial como un problema de valores propios,$

{displaystyle {frac {d}{dx}}left(left(1-x^{2}right){frac {d}{dx}}right)P(x)=-lambda P(x),,}

lambda

{displaystyle n(n+1)}

x=pm 1

n () n + 1)

{displaystyle n=0,1,2,ldots }

P_n(x)

La ecuación diferencial admite otra solución no polinómica, las funciones Legendre del segundo tipo $Q_{n}$ . Una generalización de dos parámetros (Eq.1) se llama Legendre general ecuación diferencial, resuelta por los polinomios de la Leyenda Asociada. Las funciones de leyenda son soluciones de la ecuación diferencial de Legendre (generalizada o no) con no entero parámetros.

En la configuración física, la ecuación diferencial de Legendre surge naturalmente cuando se resuelve la ecuación de Laplace (y las ecuaciones diferenciales parciales relacionadas) por separación de variables en coordenadas esféricas. Desde este punto de vista, las eigenfunctions de la parte angular del operador laplaciano son los armónicos esféricos, de los cuales los polinomios Legendre son (hasta una constante multiplicativa) el subconjunto que queda invariable por las rotaciones sobre el eje polar. Los polinomios aparecen como $P_{n}(cos theta)$ Donde $theta$ es el ángulo polar. Este enfoque de los polinomios Legendre proporciona una profunda conexión a la simetría rotacional. Muchas de sus propiedades que se encuentran laboriosamente a través de los métodos de análisis, por ejemplo el teorema de adición, se encuentran más fácilmente utilizando los métodos de simetría y teoría de grupos, y adquieren un significado físico y geométrico profundo.

Ortogonalidad y completitud

La estandarización ${displaystyle P_{n}(1)=1}$ fija la normalización de los polinomios Legendre (con respecto a la norma L2 en el intervalo $-1 - \leq x \leq 1$ ). Puesto que también son ortogonales con respecto a la misma norma, las dos declaraciones se pueden combinar en la ecuación única,

{displaystyle int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x),dx={frac {2}{2n+1}}delta _{mn},}

δ mn

m = n

Que los polinomios estén completos significa lo siguiente. Dada cualquier función continua $f(x)$ con finitamente muchas discontinuidades en el intervalo $[1, a 1]$ , la secuencia de sumas

{displaystyle f_{n}(x)=sum _{ell =0}^{n}a_{ell }P_{ell }(x)}

f(x)

nto infty

{displaystyle a_{ell }={frac {2ell +1}{2}}int _{-1}^{1}f(x)P_{ell }(x),dx.}

Esta propiedad de completitud es la base de todas las expansiones discutidas en este artículo y, a menudo, se expresa en la forma

{displaystyle sum _{ell =0}^{infty }{frac {2ell +1}{2}}P_{ell }(x)P_{ell }(y)=delta (x-y),}

-1 - \leq x \leq 1

-1 - \leq Sí. \leq 1

Rodrigues' fórmula y otras fórmulas explícitas

Rodrigues' proporciona una expresión especialmente compacta para los polinomios de Legendre. fórmula:

{displaystyle P_{n}(x)={frac {1}{2^{n}n!}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n},.}

Esta fórmula permite la derivación de un gran número de propiedades de la $P_{n}$ Es. Entre ellas se encuentran las representaciones explícitas tales como

{displaystyle {begin{aligned}P_{n}(x)&={frac {1}{2^{n}}}sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\P_{n}(x)&=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}{binom {n+k}{k}}left({frac {x-1}{2}}right)^{k},\P_{n}(x)&={frac {1}{2^{n}}}sum _{k=0}^{leftlfloor {frac {n}{2}}rightrfloor }(-1)^{k}{binom {n}{k}}{binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\P_{n}(x)&=2^{n}sum _{k=0}^{n}x^{k}{binom {n}{k}}{binom {frac {n+k-1}{2}}{n}}.end{aligned}}}

Los primeros polinomios de Legendre son:

$n$	$P_n(x)$
0	${textstyle 1}$
1	${textstyle x}$
2	${textstyle {tfrac {1}{2}}left(3x^{2}-1right)}$
3	${textstyle {tfrac {1}{2}}left(5x^{3}-3xright)}$
4	${textstyle {tfrac {1}{8}}left(35x^{4}-30x^{2}+3right)}$
5	${textstyle {tfrac {1}{8}}left(63x^{5}-70x^{3}+15xright)}$
6	${textstyle {tfrac {1}{16}}left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5right)}$
7	${textstyle {tfrac {1}{16}}left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35xright)}$
8	${textstyle {tfrac {1}{128}}left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35right)}$
9	${textstyle {tfrac {1}{128}}left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315xright)}$
10	${textstyle {tfrac {1}{256}}left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63right)}$

Los gráficos de estos polinomios (hasta $n = 5$ ) se muestran a continuación:

Plot of the six first Legendre polynomials.

Aplicaciones de los polinomios de Legendre

Expandiendo un potencial 1/r

Los polinomios de Legendre fueron introducidos por primera vez en 1782 por Adrien-Marie Legendre como los coeficientes en la expansión del potencial newtoniano.

{displaystyle {frac {1}{left|mathbf {x} -mathbf {x} 'right|}}={frac {1}{sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}cos gamma }}}=sum _{ell =0}^{infty }{frac {{r'}^{ell }}{r^{ell +1}}}P_{ell }(cos gamma),}

r

r .

x

x .

γ

r ■ r .

Los polinomios de Legendre ocurren en la solución de la ecuación de Laplace del potencial estático, $\nabla 2 Φ(x) = 0$ , en una región del espacio libre de carga, utilizando el método de separación de variables, donde las condiciones de contorno tienen simetría axial (sin dependencia de un ángulo azimutal). Donde $ẑ$ es el eje de simetría y $θ$ es el ángulo entre la posición del observador y el eje $ẑ$ (el ángulo cenital), la solución para el potencial será

{displaystyle Phi (r,theta)=sum _{ell =0}^{infty }left(A_{ell }r^{ell }+B_{ell }r^{-(ell +1)}right)P_{ell }(cos theta),.}

$A l$ y $B l$ se determinarán de acuerdo con la condición de contorno de cada problema.

También aparecen al resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones para una fuerza central.

Polinomios de Legendre en desarrollos multipolares

Los polinomios de Legendre también son útiles para expandir funciones de la forma (esto es lo mismo que antes, escrito un poco diferente):

{displaystyle {frac {1}{sqrt {1+eta ^{2}-2eta x}}}=sum _{k=0}^{infty }eta ^{k}P_{k}(x),}

Como ejemplo, el potencial eléctrico $Φ(r, θ)$ (en coordenadas esféricas) debido a un carga puntual ubicada en el eje $z$ en $z = a$ (ver diagrama a la derecha) varía como

{displaystyle Phi (r,theta)propto {frac {1}{R}}={frac {1}{sqrt {r^{2}+a^{2}-2arcos theta }}}.}

Si el radio $r$ del punto de observación $P$ es mayor que $a$ , el potencial puede expandirse en los polinomios de Legendre

{displaystyle Phi (r,theta)propto {frac {1}{r}}sum _{k=0}^{infty }left({frac {a}{r}}right)^{k}P_{k}(cos theta),}

. = a / r 1

x = Silencio

Por el contrario, si el radio $r$ del punto de observación $P$ es menor que $a$ , el potencial aún puede expandirse en los polinomios de Legendre como se indicó anteriormente, pero con $a$ y $r$ intercambiados. Esta expansión es la base de la expansión multipolar interior.

Polinomios de Legendre en trigonometría

Las funciones trigonométricas $cos nθ$ , también denominadas polinomios de Chebyshev $T n (cos θ) \equiv cos nθ$ , también puede ser multipolar expandido por los polinomios de Legendre $P n (cos θ)$ . Los primeros pedidos son los siguientes:

{displaystyle {begin{aligned}T_{0}(cos theta)&=1&&=P_{0}(cos theta),\[4pt]T_{1}(cos theta)&=cos theta &&=P_{1}(cos theta),\[4pt]T_{2}(cos theta)&=cos 2theta &&={tfrac {1}{3}}{bigl (}4P_{2}(cos theta)-P_{0}(cos theta){bigr)},\[4pt]T_{3}(cos theta)&=cos 3theta &&={tfrac {1}{5}}{bigl (}8P_{3}(cos theta)-3P_{1}(cos theta){bigr)},\[4pt]T_{4}(cos theta)&=cos 4theta &&={tfrac {1}{105}}{bigl (}192P_{4}(cos theta)-80P_{2}(cos theta)-7P_{0}(cos theta){bigr)},\[4pt]T_{5}(cos theta)&=cos 5theta &&={tfrac {1}{63}}{bigl (}128P_{5}(cos theta)-56P_{3}(cos theta)-9P_{1}(cos theta){bigr)},\[4pt]T_{6}(cos theta)&=cos 6theta &&={tfrac {1}{1155}}{bigl (}2560P_{6}(cos theta)-1152P_{4}(cos theta)-220P_{2}(cos theta)-33P_{0}(cos theta){bigr)}.end{aligned}}}

Otra propiedad es la expresión para $sin (n + 1) θ$ , que es

{displaystyle {frac {sin(n+1)theta }{sin theta }}=sum _{ell =0}^{n}P_{ell }(cos theta)P_{n-ell }(cos theta).}

Polinomios de Legendre en redes neuronales recurrentes

Una red neuronal recurrente que contiene una $d$ - vector de memoria dimensional, ${displaystyle mathbf {m} in mathbb {R} ^{d}}$ , se puede optimizar de tal manera que sus actividades neuronales obedecen al sistema lineal de tiempo-invariante dado por la siguiente representación estatal-espacial:

{displaystyle theta {dot {mathbf {m} }}(t)=Amathbf {m} (t)+Bu(t),}

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}A&=left[aright]_{ij}in mathbb {R} ^{dtimes d}{text{,}}quad &&a_{ij}=left(2i+1right){begin{cases}-1&iA=[a]ij▪ ▪ Rd× × d,aij=()2i+1){}− − 1i.j()− − 1)i− − j+1i≥ ≥ j,B=[b]i▪ ▪ Rd× × 1,bi=()2i+1)()− − 1)i.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} mathbb {R} ^{dtimes 1}{text{,}quad ' }=(2i+1)(-1)^{i}.end{aligned}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}A&=left[aright]_{ij}in mathbb {R} ^{dtimes d}{text{,}}quad &&a_{ij}=left(2i+1right){begin{cases}-1&i

En este caso, la ventana corredera de $u$ en el pasado $theta$ unidades de tiempo es mejor aproximado por una combinación lineal de la primera $d$ polinomios Legendre cambiados, ponderados juntos por los elementos ${mathbf {m}}$ a la vez $t$ :

{displaystyle u(t-theta ')approx sum _{ell =0}^{d-1}{widetilde {P}}_{ell }left({frac {theta '}{theta }}right),m_{ell }(t),quad 0leq theta 'leq theta.}

Cuando se combinan con métodos de aprendizaje profundo, estas redes se pueden entrenar para superar las unidades de memoria a corto plazo y las arquitecturas relacionadas, mientras usan menos recursos computacionales.

Propiedades adicionales de los polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre tienen paridad definida. Es decir, son pares o impares, según

{displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x),.}

Otra propiedad útil es

{displaystyle int _{-1}^{1}P_{n}(x),dx=0{text{ for }}ngeq 1,}

{displaystyle P_{0}(x)=1}

{textstyle sum _{i}a_{i}P_{i}}

promedio

[1, a 1]

a_{0}

Dado que la ecuación diferencial y la propiedad de ortogonalidad son independientes de la escala, los polinomios de Legendre' las definiciones están "estandarizadas" (a veces llamado "normalización", pero la norma real no es 1) escalando de modo que

{displaystyle P_{n}(1)=1,.}

La derivada en el punto final viene dada por

{displaystyle P_{n}'(1)={frac {n(n+1)}{2}},.}

La desigualdad de Askey-Gasper para los polinomios de Legendre dice

{displaystyle sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)geq 0quad {text{for }}quad xgeq -1,.}

Los polinomios de Legendre de un producto escalar de vectores unitarios se pueden expandir con armónicos esféricos usando

{displaystyle P_{ell }left(rcdot r'right)={frac {4pi }{2ell +1}}sum _{m=-ell }^{ell }Y_{ell m}(thetavarphi)Y_{ell m}^{*}(theta ',varphi '),,}

r

r .

() Silencio, φ)

() Silencio', φ')

Relaciones de recurrencia

Como se discutió anteriormente, los polinomios de Legendre obedecen a la relación de recurrencia de tres términos conocida como fórmula de recurrencia de Bonnet dada por

{displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}

{displaystyle {frac {x^{2}-1}{n}}{frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}

{displaystyle {frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{frac {d}{dx}}P_{n}(x),.}

Útil para la integración de polinomios de Legendre es

{displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={frac {d}{dx}}{bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){bigr)},.}

De lo anterior también se puede ver que

{displaystyle {frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{bigl (}2(n-2)+1{bigr)}P_{n-2}(x)+{bigl (}2(n-4)+1{bigr)}P_{n-4}(x)+cdots }

{displaystyle {frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={frac {2P_{n}(x)}{left|P_{n}right|^{2}}}+{frac {2P_{n-2}(x)}{left|P_{n-2}right|^{2}}}+cdots }

Silencio P n Silencio

-1 - \leq x \leq 1

{displaystyle |P_{n}|={sqrt {int _{-1}^{1}{bigl (}P_{n}(x){bigr)}^{2},dx}}={sqrt {frac {2}{2n+1}}},.}

Asintóticos

Asintotically, for ${displaystyle ell to infty }$ , los polinomios Legendre se pueden escribir como

{displaystyle {begin{aligned}P_{ell }(cos theta)&={sqrt {frac {theta }{sin theta }}},J_{0}((ell +1/2)theta)+{mathcal {O}}left(ell ^{-1}right)\&={frac {2}{sqrt {2pi ell sin theta }}}cos left(left(ell +{tfrac {1}{2}}right)theta -{frac {pi }{4}}right)+{mathcal {O}}left(ell ^{-3/2}right),quad theta in (0,pi),end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}P_{ell }left(cosh xi right)&={sqrt {frac {xi }{sinh xi }}}I_{0}left(left(ell +{frac {1}{2}}right)xi right)left(1+{mathcal {O}}left(ell ^{-1}right)right),,\P_{ell }left({frac {1}{sqrt {1-e^{2}}}}right)&={frac {1}{sqrt {2pi ell e}}}{frac {(1+e)^{frac {ell +1}{2}}}{(1-e)^{frac {ell }{2}}}}+{mathcal {O}}left(ell ^{-1}right)end{aligned}}}

J 0

I 0

Ceros

Todos $n$ ceros de $P_n(x)$ son reales, distintos entre sí, y mienten en el intervalo $(-1,1)$ . Además, si los consideramos dividir el intervalo $[-1,1]$ en $n+1$ subintervalos, cada subintervalo contendrá exactamente un cero de $P_{n+1}$ . Esto se conoce como la propiedad interrelacionada. Debido a la propiedad de la paridad es evidente que si $x_{k}$ es un cero de $P_n(x)$ , así es ${displaystyle -x_{k}}$ . Estos ceros juegan un papel importante en la integración numérica basada en la cuadratura gausiana. La cuadratura específica basada en $P_{n}$ Se conoce como cuadratura Gauss-Legendre.

De esta propiedad y los hechos que ${displaystyle P_{n}(pm 1)neq 0}$ , sigue que ${displaystyle P_{n}(x)}$ tiene $n-1$ minima local y maxima en ${displaystyle (-1,1)}$ . Equivalentemente, ${displaystyle dP_{n}(x)/dx}$ tiene ${displaystyle n-1}$ ceros en ${displaystyle (-1,1)}$ .

Evaluaciones puntuales

La paridad y normalización implican los valores en los límites ${displaystyle x=pm 1}$ para ser

{displaystyle P_{n}(1)=1,,quad P_{n}(-1)={begin{cases}1&{text{for}}quad n=2m\-1&{text{for}}quad n=2m+1,.end{cases}}}

x=0

{displaystyle P_{n}(0)={begin{cases}{frac {(-1)^{m}}{4^{m}}}{tbinom {2m}{m}}={frac {(-1)^{m}}{2^{2m}}}{frac {(2m)!}{left(m!right)^{2}}}&{text{for}}quad n=2m\0&{text{for}}quad n=2m+1,.end{cases}}}

Polinomios de Legendre con argumento transformado

Polinomios desplazados de Legendre

Los polinomios desplazados de Legendre se definen como

{displaystyle {widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1),.}

x \mapsto 2 x - 1

[0, 1]

[1, a 1]

# n () x)

[0, 1]

{displaystyle int _{0}^{1}{widetilde {P}}_{m}(x){widetilde {P}}_{n}(x),dx={frac {1}{2n+1}}delta _{mn},.}

Una expresión explícita para los polinomios desplazados de Legendre viene dada por

{displaystyle {widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}{binom {n+k}{k}}(-x)^{k},.}

El análogo de Rodrigues' fórmula para los polinomios desplazados de Legendre es

{displaystyle {widetilde {P}}_{n}(x)={frac {1}{n!}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}left(x^{2}-xright)^{n},.}

Los primeros polinomios desplazados de Legendre son:

$n$	${displaystyle {widetilde {P}}_{n}(x)}$
0	$1$
1	$2x-1$
2	$6x^{2}-6x+1$
3	$20x^{3}-30x^{2}+12x-1$
4	$70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1$
5	${displaystyle 252x^{5}-630x^{4}+560x^{3}-210x^{2}+30x-1}$

Funciones racionales Legendre

Las funciones racionales de Legendre son una secuencia de funciones ortogonales en [0, ∞). Se obtienen al componer la transformada de Cayley con polinomios de Legendre.

Una función racional de Legendre de grado n se define como:

{displaystyle R_{n}(x)={frac {sqrt {2}}{x+1}},P_{n}left({frac {x-1}{x+1}}right),.}

Son funciones propias del problema singular de Sturm-Liouville:

{displaystyle (x+1)partial _{x}(xpartial _{x}((x+1)v(x)))+lambda v(x)=0}

{displaystyle lambda _{n}=n(n+1),.}

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