Polinomios de Hermite

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Secuencia polinómica

En matemáticas, los polinomios de Hermite son una secuencia polinomial ortogonal clásica.

Los polinomios surgen en:

procesamiento de señales como ondas hermitianas para el análisis de la transformación de ondas
la probabilidad, como la serie Edgeworth, así como en relación con el movimiento Brownian;
combinatoria, como ejemplo de una secuencia Appell, obedeciendo el cálculo umbral;
análisis numéricos como cuadratura gausiana;
física, donde dan lugar a los eigentales del oscilador armónico cuántico; y también ocurren en algunos casos de la ecuación de calor (cuando el término ${displaystyle {begin{aligned}xu_{x}end{aligned}}}$ está presente);
Teoría de sistemas en relación con operaciones no lineales sobre el ruido gausiano.
teoría de matriz aleatoria en conjuntos gaussianos.

Los polinomios de Hermite fueron definidos por Pierre-Simon Laplace en 1810, aunque en una forma apenas reconocible, y Pafnuty Chebyshev los estudió en detalle en 1859. El trabajo de Chebyshev fue pasado por alto, y más tarde recibieron el nombre de Charles Hermite, quien escribió sobre los polinomios en 1864, describiéndolos como nuevos. En consecuencia, no eran nuevos, aunque Hermite fue el primero en definir los polinomios multidimensionales en sus publicaciones posteriores de 1865.

Definición

Al igual que los otros polinomios ortogonales clásicos, los polinomios de Hermite se pueden definir desde varios puntos de partida diferentes. Teniendo en cuenta desde el principio que hay dos estandarizaciones diferentes de uso común, un método conveniente es el siguiente:

El Los polinomios hermitas del probabilista son dados por ${displaystyle {mathit {He}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{frac {x^{2}}{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{frac {x^{2}}{2}}},}$
mientras que "polinomios hermitas del físico" son dados por ${displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$

Estas ecuaciones tienen la forma de un Rodrigues' fórmula y también se puede escribir como,

{displaystyle {mathit {He}}_{n}(x)=left(x-{frac {d}{dx}}right)^{n}cdot 1,quad H_{n}(x)=left(2x-{frac {d}{dx}}right)^{n}cdot 1.}

Las dos definiciones no son exactamente idénticas; cada uno es una reescala del otro:

{displaystyle H_{n}(x)=2^{frac {n}{2}}{mathit {He}}_{n}left({sqrt {2}},xright),quad {mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{frac {n}{2}}}H_{n}left({frac {x}{sqrt {2}}}right).}

Estas son secuencias polinómicas de Hermite de diferentes varianzas; consulte el material sobre variaciones a continuación.

La notación $Él$ y $H$ es el utilizado en las referencias estándar. Los polinomios $He n$ a veces se denotan por $H n$ , especialmente en la teoría de la probabilidad, porque

{displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{frac {x^{2}}{2}}}}

Los primeros seis polinomios hermitas del probabilista

Él n () x)

Los primeros seis polinomios hermitas

H n () x)

Los primeros once polinomios hermitas del probabilista son: ${displaystyle {begin{aligned}{mathit {He}}_{0}(x)&=1,\{mathit {He}}_{1}(x)&=x,\{mathit {He}}_{2}(x)&=x^{2}-1,\{mathit {He}}_{3}(x)&=x^{3}-3x,\{mathit {He}}_{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\{mathit {He}}_{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\{mathit {He}}_{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\{mathit {He}}_{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\{mathit {He}}_{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\{mathit {He}}_{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\{mathit {He}}_{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.end{aligned}}}$
Los primeros once polinomios hermitas del físico son: ${displaystyle {begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\H_{1}(x)&=2x,\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.end{aligned}}}$

Propiedades

El $n$ polinomio de Hermite de orden n es un polinomio de grado $n$ . La versión del probabilista $He n$ tiene un coeficiente principal de 1, mientras que la del físico' La versión s $H n$ tiene un coeficiente principal $2 n$ .

Simetría

De las fórmulas de Rodrigues dadas arriba, podemos ver que $H n (x)$ y $He n (x)$ son funciones pares o impares según n:

{displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),quad {mathit {He}}_{n}(-x)=(-1)^{n}{mathit {He}}_{n}(x).}

Ortogonalidad

$H n (x)$ y $Él n (x)$ son $Polinomios de grado n para n = 0, 1, 2, 3,... . Estos polinomios son ortogonales con respecto a la función de peso (medida)$

{displaystyle w(x)=e^{-{frac {x^{2}}{2}}}quad ({text{for }}{mathit {He}})}

{displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}quad ({text{for }}H),}

{displaystyle int _{-infty }^{infty }H_{m}(x)H_{n}(x),w(x),dx=0quad {text{for all }}mneq n.}

Además,

{displaystyle int _{-infty }^{infty }{mathit {He}}_{m}(x){mathit {He}}_{n}(x),e^{-{frac {x^{2}}{2}}},dx={sqrt {2pi }},n!,delta _{nm},}

{displaystyle int _{-infty }^{infty }H_{m}(x)H_{n}(x),e^{-x^{2}},dx={sqrt {pi }},2^{n}n!,delta _{nm},}

delta _{nm}

Por lo tanto, los polinomios probabilísticos son ortogonales con respecto a la función de densidad de probabilidad normal estándar.

Integridad

Los polinomios de Hermite (probabilistas o físicos) forman una base ortogonal del espacio de funciones de Hilbert que satisface

<math alttext="{displaystyle int _{-infty }^{infty }{bigl |}f(x){bigr |}^{2},w(x),dx∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO Silenciof()x)Silencio2w()x)dx.JUEGO JUEGO ,{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}bigr Silencio}},w(x),dx se hizo 'infty'<img alt="{displaystyle int _{-infty }^{infty }{bigl |}f(x){bigr |}^{2},w(x),dx

{displaystyle langle f,grangle =int _{-infty }^{infty }f(x){overline {g(x)}},w(x),dx}

w () x)

Una base ortogonal para $L2(R, w(x) dx)$ es un sistema ortogonal completo. Para un sistema ortogonal, completitud es equivalente al hecho de que la función 0 es la única función $f \in L 2 (R, w (x) dx)$ ortogonal a todas las funciones del sistema.

Dado que el tramo lineal de los polinomios de Hermite es el espacio de todos los polinomios, uno tiene que mostrar (en el caso de los físicos) que si $f satisface$

{displaystyle int _{-infty }^{infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}},dx=0}

n \geq 0

f = 0

Una forma posible de hacer esto es apreciar que toda la función

{displaystyle F(z)=int _{-infty }^{infty }f(x)e^{zx-x^{2}},dx=sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{n}}{n!}}int f(x)x^{n}e^{-x^{2}},dx=0}

F () es) = 0

t

f () x) e - x 2

f

En el caso de Hermite, también es posible probar una identidad explícita que implica completitud (consulte la sección sobre la relación de completitud a continuación).

Una formulación equivalente del hecho de que los polinomios de Hermite son una base ortogonal para $L 2 (R, w (x) dx)$ consiste en introducir funciones de Hermite (ver más abajo), y al decir que las funciones de Hermite son una base ortonormal para $L 2 (R)$ .

Ecuación diferencial de Hermite

Los polinomios de Hermite del probabilista son soluciones de la ecuación diferencial

{displaystyle left(e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}u'right)'+lambda e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}

λ

u

λ

{displaystyle u(x)=C_{1}He_{lambda }(x)}

C_{{1}}

Reescribiendo la ecuación diferencial como un problema de valores propios

{displaystyle L[u]=u''-xu'=-lambda u,}

{displaystyle He_{lambda }(x)}

{displaystyle L[u]}

Ecuación hermita

{displaystyle u''-2xu'=-2lambda u.}

{displaystyle u(x)=C_{1}H_{lambda }(x)}

C_{{1}}

u

Las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden anteriores son, de hecho, combinaciones lineales de polinomios de Hermite y funciones hipergeométricas confluentes de primer tipo. Por ejemplo, para la ecuación de Hermite del físico

{displaystyle u''-2xu'+2lambda u=0,}

{displaystyle u(x)=C_{1}H_{lambda }(x)+C_{2}h_{lambda }(x),}

C_{{1}}

C_{{2}}

{displaystyle H_{lambda }(x)}

{displaystyle h_{lambda }(x)}

{displaystyle h_{lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{tfrac {lambda }{2}};{tfrac {1}{2}};x^{2})}

{}_{1}F_{1}(a;b;z)

Con condiciones de contorno más generales, los polinomios de Hermite se pueden generalizar para obtener funciones analíticas más generales para $λ$ de valores complejos. También es posible una fórmula explícita de polinomios de Hermite en términos de integrales de contorno (Courant & Hilbert 1989).

Relación de recurrencia

La secuencia de polinomios de Hermite del probabilista también satisface la relación de recurrencia

{displaystyle {mathit {He}}_{n+1}(x)=x{mathit {He}}_{n}(x)-{mathit {He}}_{n}'(x).}

0,end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">an+1,k={}− − nan− − 1,kk=0,an,k− − 1− − nan− − 1,kk■0,{displaystyle a_{n+1,k}={begin{cases}-na_{n-1,k} limitadak=0,\a_{n,k-1}-na_{n-1,k}0,end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e222fe70339a3e20a72c85625d51f813573d1e" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.858ex; height:6.176ex;"/>

a 0,0 = 1

a 1.0 = 0

a 1.1 = 1

Para los polinomios del físico, asumiendo

{displaystyle H_{n}(x)=sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}

{displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}

0,end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">an+1,k={}− − an,k+1k=0,2an,k− − 1− − ()k+1)an,k+1k■0,{displaystyle a_{n+1,k}={begin{cases}-a_{n,k+1} limitk=0,2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1} {n,k+1}0,end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65009eab78c03ee580b3da5c627cc27f59070865" style="vertical-align: -2.505ex; width:42.649ex; height:6.176ex;"/>

a 0,0 = 1

a 1.0 = 0

a 1.1 = 2

Los polinomios de Hermite constituyen una secuencia de Appell, es decir, son una secuencia polinomial que satisface la identidad

{displaystyle {begin{aligned}{mathit {He}}_{n}'(x)&=n{mathit {He}}_{n-1}(x),\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}{mathit {He}}_{n}(x+y)&=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}x^{n-k}{mathit {He}}_{k}(y)&&=2^{-{frac {n}{2}}}sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}{mathit {He}}_{n-k}left(x{sqrt {2}}right){mathit {He}}_{k}left(y{sqrt {2}}right),\H_{n}(x+y)&=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{(n-k)}&&=2^{-{frac {n}{2}}}cdot sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}H_{n-k}left(x{sqrt {2}}right)H_{k}left(y{sqrt {2}}right).end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}{mathit {He}}_{n}(x)&=e^{-{frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.end{aligned}}}

En consecuencia, para las derivadas $m$ ésima se cumplen las siguientes relaciones:

{displaystyle {begin{aligned}{mathit {He}}_{n}^{(m)}(x)&={frac {n!}{(n-m)!}}{mathit {He}}_{n-m}(x)&&=m!{binom {n}{m}}{mathit {He}}_{n-m}(x),\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{binom {n}{m}}H_{n-m}(x).end{aligned}}}

Se sigue que los polinomios de Hermite también satisfacen la relación de recurrencia

{displaystyle {begin{aligned}{mathit {He}}_{n+1}(x)&=x{mathit {He}}_{n}(x)-n{mathit {He}}_{n-1}(x),\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).end{aligned}}}

Estas últimas relaciones, junto con los polinomios iniciales $H 0 (x)$ y $H 1 (x)$ , se pueden usar en la práctica para calcular los polinomios rápidamente.

Las desigualdades de Turán son

0.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Hn()x)2− − Hn− − 1()x)Hn+1()x)=()n− − 1)!.. i=0n− − 12n− − ii!Hi()x)2■0.{fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fnMitit {cH}_{n-1}(x){nthit {H}_{n+1}(x)=(n-1)sum ¿Por qué? ¡Matit! {H}_{i}(x)} {2} {0}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e867fc35ad04118577c777c38ad270275df897" style="vertical-align: -3.005ex; width:58.12ex; height:7.343ex;"/>

Además, se cumple el siguiente teorema de la multiplicación:

{displaystyle {begin{aligned}H_{n}(gamma x)&=sum _{i=0}^{leftlfloor {tfrac {n}{2}}rightrfloor }gamma ^{n-2i}(gamma ^{2}-1)^{i}{binom {n}{2i}}{frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\{mathit {He}}_{n}(gamma x)&=sum _{i=0}^{leftlfloor {tfrac {n}{2}}rightrfloor }gamma ^{n-2i}(gamma ^{2}-1)^{i}{binom {n}{2i}}{frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}{mathit {He}}_{n-2i}(x).end{aligned}}}

Expansión Binomial Umbral

Desde

{displaystyle He_{n}(x)=left(x-{frac {d}{dx}}right)^{n}cdot 1}

Se puede expandir formalmente usando la fórmula binomial:

{displaystyle He_{n}(x)=sum _{k=0}^{n}{frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{binom {n}{k}}{frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n-k}}

Expresión explícita

Los polinomios de Hermite del físico se pueden escribir explícitamente como

{displaystyle H_{n}(x)={begin{cases}displaystyle n!sum _{l=0}^{frac {n}{2}}{frac {(-1)^{{tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!left({tfrac {n}{2}}-lright)!}}(2x)^{2l}&{text{for even }}n,\displaystyle n!sum _{l=0}^{frac {n-1}{2}}{frac {(-1)^{{frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!left({frac {n-1}{2}}-lright)!}}(2x)^{2l+1}&{text{for odd }}n.end{cases}}}

Estas dos ecuaciones se pueden combinar en una usando la función de suelo:

{displaystyle H_{n}(x)=n!sum _{m=0}^{leftlfloor {tfrac {n}{2}}rightrfloor }{frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}

Los polinomios de Hermite del probabilista $Él$ tienen fórmulas similares, que pueden obtenerse a partir de estos reemplazando la potencia de $2 x$ con la correspondiente potencia de $\sqrt 2 x$ y multiplicando la suma total por $2 - n / 2$ :

{displaystyle He_{n}(x)=n!sum _{m=0}^{leftlfloor {tfrac {n}{2}}rightrfloor }{frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}

Expresión explícita inversa

La inversa de las expresiones explícitas anteriores, es decir, las de los monomios en términos de los polinomios de Hermite del probabilista $Él$ son

{displaystyle x^{n}=n!sum _{m=0}^{leftlfloor {tfrac {n}{2}}rightrfloor }{frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}He_{n-2m}(x).}

Las expresiones correspondientes para los polinomios de Hermite del físico $H$ siguen directamente escalando correctamente esto:

{displaystyle x^{n}={frac {n!}{2^{n}}}sum _{m=0}^{leftlfloor {tfrac {n}{2}}rightrfloor }{frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}

Función generadora

Los polinomios de Hermite están dados por la función generadora exponencial

{displaystyle {begin{aligned}e^{xt-{frac {1}{2}}t^{2}}&=sum _{n=0}^{infty }{mathit {He}}_{n}(x){frac {t^{n}}{n!}},\e^{2xt-t^{2}}&=sum _{n=0}^{infty }H_{n}(x){frac {t^{n}}{n!}}.end{aligned}}}

Esta igualdad es válida para todos los valores complejos de $x$ y $t$ , y se puede obtener escribiendo la expansión de Taylor en $x$ de toda la función $z \to e - z 2$ (en el caso del físico). También se puede derivar la función generadora (del físico) usando la fórmula integral de Cauchy para escribir los polinomios de Hermite como

{displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{frac {n!}{2pi i}}oint _{gamma }{frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}},dz.}

Usando esto en la suma

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }H_{n}(x){frac {t^{n}}{n!}},}

Valores esperados

Si $X$ es una variable aleatoria con una distribución normal con desviación estándar 1 y valor esperado $μ$ , luego

{displaystyle operatorname {mathbb {E} } left[{mathit {He}}_{n}(X)right]=mu ^{n}.}

Los momentos de la normal estándar (con valor esperado cero) pueden leerse directamente de la relación para índices pares:

{displaystyle operatorname {mathbb {E} } left[X^{2n}right]=(-1)^{n}{mathit {He}}_{2n}(0)=(2n-1)!!,}

(22) n - 1)!

{displaystyle {mathit {He}}_{n}(x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }(x+iy)^{n}e^{-{frac {y^{2}}{2}}},dy.}

Expansión asintótica

Asintóticamente, como $n \to \infty$ , la expansión

{displaystyle e^{-{frac {x^{2}}{2}}}cdot H_{n}(x)sim {frac {2^{n}}{sqrt {pi }}}Gamma left({frac {n+1}{2}}right)cos left(x{sqrt {2n}}-{frac {npi }{2}}right)}

{displaystyle e^{-{frac {x^{2}}{2}}}cdot H_{n}(x)sim {frac {2^{n}}{sqrt {pi }}}Gamma left({frac {n+1}{2}}right)cos left(x{sqrt {2n}}-{frac {npi }{2}}right)left(1-{frac {x^{2}}{2n+1}}right)^{-{frac {1}{4}}}={frac {2Gamma (n)}{Gamma left({frac {n}{2}}right)}}cos left(x{sqrt {2n}}-{frac {npi }{2}}right)left(1-{frac {x^{2}}{2n+1}}right)^{-{frac {1}{4}}},}

{displaystyle e^{-{frac {x^{2}}{2}}}cdot H_{n}(x)sim left({frac {2n}{e}}right)^{frac {n}{2}}{sqrt {2}}cos left(x{sqrt {2n}}-{frac {npi }{2}}right)left(1-{frac {x^{2}}{2n+1}}right)^{-{frac {1}{4}}}.}

Esta expansión es necesaria para resolver la función de onda de un oscilador armónico cuántico de modo que coincida con la aproximación clásica en el límite del principio de correspondencia.

Una mejor aproximación, que explica la variación en la frecuencia, está dada por

{displaystyle e^{-{frac {x^{2}}{2}}}cdot H_{n}(x)sim left({frac {2n}{e}}right)^{frac {n}{2}}{sqrt {2}}cos left(x{sqrt {2n+1-{frac {x^{2}}{3}}}}-{frac {npi }{2}}right)left(1-{frac {x^{2}}{2n+1}}right)^{-{frac {1}{4}}}.}

Una aproximación más fina, que tiene en cuenta el espaciado desigual de los ceros cerca de los bordes, utiliza la sustitución

<math alttext="{displaystyle x={sqrt {2n+1}}cos(varphi),quad 0x=2n+1# ()φ φ ),0.ε ε \leq \leq φ φ \leq \leq π π - - ε ε ,{displaystyle x={sqrt {2n+1}cos(varphi),quad 0 obtenidosvarepsilon leq varphi leq pi -varepsilon} <img alt="{displaystyle x={sqrt {2n+1}}cos(varphi),quad 0

{displaystyle e^{-{frac {x^{2}}{2}}}cdot H_{n}(x)=2^{{frac {n}{2}}+{frac {1}{4}}}{sqrt {n!}}(pi n)^{-{frac {1}{4}}}(sin varphi)^{-{frac {1}{2}}}cdot left(sin left({frac {3pi }{4}}+left({frac {n}{2}}+{frac {1}{4}}right)left(sin 2varphi -2varphi right)right)+Oleft(n^{-1}right)right).}

Aproximaciones similares son válidas para las regiones monotónicas y de transición. Específicamente, si

<math alttext="{displaystyle x={sqrt {2n+1}}cosh(varphi),quad 0<varepsilon leq varphi leq omega x=2n+1cosh ()φ φ ),0.ε ε \leq \leq φ φ \leq \leq \cdot \cdot .JUEGO JUEGO ,{displaystyle x={sqrt {2n+1}cosh(varphi),quad 0 obtenidosvarepsilon leq varphi leq omega <img alt="{displaystyle x={sqrt {2n+1}}cosh(varphi),quad 0<varepsilon leq varphi leq omega

{displaystyle e^{-{frac {x^{2}}{2}}}cdot H_{n}(x)=2^{{frac {n}{2}}-{frac {3}{4}}}{sqrt {n!}}(pi n)^{-{frac {1}{4}}}(sinh varphi)^{-{frac {1}{2}}}cdot e^{left({frac {n}{2}}+{frac {1}{4}}right)left(2varphi -sinh 2varphi right)}left(1+Oleft(n^{-1}right)right),}

{displaystyle x={sqrt {2n+1}}+t}

t

{displaystyle e^{-{frac {x^{2}}{2}}}cdot H_{n}(x)=pi ^{frac {1}{4}}2^{{frac {n}{2}}+{frac {1}{4}}}{sqrt {n!}},n^{-{frac {1}{12}}}left(operatorname {Ai} left(2^{frac {1}{2}}n^{frac {1}{6}}tright)+Oleft(n^{-{frac {2}{3}}}right)right),}

Ai

Valores especiales

Los polinomios de Hermite del físico evaluados en el argumento cero $H n (0)$ se denominan números de Hermite.

{displaystyle H_{n}(0)={begin{cases}0&{text{for odd }}n,\(-2)^{frac {n}{2}}(n-1)!!&{text{for even }}n,end{cases}}}

H n (0) = -2(n -1) H n - 2 (0)

En términos de los polinomios del probabilista, esto se traduce en

{displaystyle He_{n}(0)={begin{cases}0&{text{for odd }}n,\(-1)^{frac {n}{2}}(n-1)!!&{text{for even }}n.end{cases}}}

Relaciones con otras funciones

Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Hermite se pueden expresar como un caso especial de los polinomios de Laguerre:

{displaystyle {begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{left(-{frac {1}{2}}right)}(x^{2})&&=4^{n}n!sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{binom {n-{frac {1}{2}}}{n-k}}{frac {x^{2k}}{k!}},\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{left({frac {1}{2}}right)}(x^{2})&&=2cdot 4^{n}n!sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{binom {n+{frac {1}{2}}}{n-k}}{frac {x^{2k+1}}{k!}}.end{aligned}}}

Relación con funciones hipergeométricas confluentes

Los polinomios de Hermite del físico se pueden expresar como un caso especial de las funciones del cilindro parabólico:

{displaystyle H_{n}(x)=2^{n}Uleft(-{tfrac {1}{2}}n,{tfrac {1}{2}},x^{2}right)}

U () a, b, z)

{displaystyle {begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{frac {(2n)!}{n!}},_{1}F_{1}{big (}-n,{tfrac {1}{2}};x^{2}{big)},\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{frac {(2n+1)!}{n!}},2x,_{1}F_{1}{big (}-n,{tfrac {3}{2}};x^{2}{big)},end{aligned}}}

1 F 1 () a, b; z) M () a, b; z)

Representación del operador diferencial

Los polinomios de Hermite del probabilista satisfacen la identidad

{displaystyle {mathit {He}}_{n}(x)=e^{-{frac {D^{2}}{2}}}x^{n},}

D

x

Dado que los coeficientes de las series de potencias de la exponencial son bien conocidos, y las derivadas de orden superior del monomio $x n$ puede escribirse explícitamente, esta representación de operador diferencial da lugar a una fórmula concreta para los coeficientes de $H n$ que se puede usar para calcular rápidamente estos polinomios.

La existencia de alguna serie de potencias formales $g (D)$ con coeficiente constante distinto de cero, tal que $Él n (x) = g (D) x n$ , es otro equivalente a la afirmación de que estos polinomios forman una secuencia de Appell. Dado que son una secuencia de Appell, son a fortiori una secuencia de Sheffer.

Representación integral del contorno

De la representación anterior de la función generadora, vemos que los polinomios de Hermite tienen una representación en términos de una integral de contorno, como

{displaystyle {begin{aligned}{mathit {He}}_{n}(x)&={frac {n!}{2pi i}}oint _{C}{frac {e^{tx-{frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}},dt,\H_{n}(x)&={frac {n!}{2pi i}}oint _{C}{frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}},dt,end{aligned}}}

Generalizaciones

Los polinomios de Hermite del probabilista definidos anteriormente son ortogonales con respecto a la distribución de probabilidad normal estándar, cuya función de densidad es

{displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{frac {x^{2}}{2}}},}

Escalado, se puede hablar de manera análoga de polinomios de Hermite generalizados

{displaystyle {mathit {He}}_{n}^{[alpha ]}(x)}

α

α

{displaystyle (2pi alpha)^{-{frac {1}{2}}}e^{-{frac {x^{2}}{2alpha }}}.}

{displaystyle {mathit {He}}_{n}^{[alpha ]}(x)=alpha ^{frac {n}{2}}{mathit {He}}_{n}left({frac {x}{sqrt {alpha }}}right)=left({frac {alpha }{2}}right)^{frac {n}{2}}H_{n}left({frac {x}{sqrt {2alpha }}}right)=e^{-{frac {alpha D^{2}}{2}}}left(x^{n}right).}

Ahora, si

{displaystyle {mathit {He}}_{n}^{[alpha ]}(x)=sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[alpha ]}x^{k},}

n

{displaystyle left({mathit {He}}_{n}^{[alpha ]}circ {mathit {He}}^{[beta ]}right)(x)equiv sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[alpha ]},{mathit {He}}_{k}^{[beta ]}(x)}

{displaystyle left({mathit {He}}_{n}^{[alpha ]}circ {mathit {He}}^{[beta ]}right)(x)={mathit {He}}_{n}^{[alpha +beta ]}(x)}

{displaystyle {mathit {He}}_{n}^{[alpha +beta ]}(x+y)=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}{mathit {He}}_{k}^{[alpha ]}(x){mathit {He}}_{n-k}^{[beta ]}(y).}

α = β = 1 / 2

"Desviación negativa"

Dado que las secuencias polinómicas forman un grupo bajo la operación de composición umbral, uno puede denotar por

{displaystyle {mathit {He}}_{n}^{[-alpha ]}(x)}

α 0

{displaystyle {mathit {He}}_{n}^{[-alpha ]}(x)}

{displaystyle {mathit {He}}_{n}^{[alpha ]}(x)}

Estos surgen como momentos de distribuciones de probabilidad normales: El $n$ ésimo momento de la distribución normal con valor esperado $μ$ y varianza $σ 2$ es

{displaystyle E[X^{n}]={mathit {He}}_{n}^{[-sigma ^{2}]}(mu),}

X

{displaystyle sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}{mathit {He}}_{k}^{[alpha ]}(x){mathit {He}}_{n-k}^{[-alpha ]}(y)={mathit {He}}_{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.}

Aplicaciones

Funciones de Hermite

Se pueden definir las funciones de Hermite (a menudo llamadas funciones de Hermite-Gauss) a partir de los polinomios del físico:

{displaystyle psi _{n}(x)=left(2^{n}n!{sqrt {pi }}right)^{-{frac {1}{2}}}e^{-{frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}left(2^{n}n!{sqrt {pi }}right)^{-{frac {1}{2}}}e^{frac {x^{2}}{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}

{displaystyle {sqrt {2(n+1)}}~~psi _{n+1}(x)=left(x-{d over dx}right)psi _{n}(x).}

Dado que estas funciones contienen la raíz cuadrada de la función de peso y se han escalado adecuadamente, son ortonormales:

{displaystyle int _{-infty }^{infty }psi _{n}(x)psi _{m}(x),dx=delta _{nm},}

L 2 () R)

Las funciones de Hermite están estrechamente relacionadas con la función de Whittaker (Whittaker & Watson 1996) $D n (z)$ :

{displaystyle D_{n}(z)=left(n!{sqrt {pi }}right)^{frac {1}{2}}psi _{n}left({frac {z}{sqrt {2}}}right)=(-1)^{n}e^{frac {z^{2}}{4}}{frac {d^{n}}{dz^{n}}}e^{frac {-z^{2}}{2}}}

Las funciones de Hermite satisfacen la ecuación diferencial

{displaystyle psi _{n}''(x)+left(2n+1-x^{2}right)psi _{n}(x)=0.}

Funciones hermitas: 0 (azul, sólido), 1 (orange, dashed), 2 (verde, dot-dashed), 3 (red, dotted), 4 (purple, solid) y 5 (brown, dashed)

{displaystyle {begin{aligned}psi _{0}(x)&=pi ^{-{frac {1}{4}}},e^{-{frac {1}{2}}x^{2}},\psi _{1}(x)&={sqrt {2}},pi ^{-{frac {1}{4}}},x,e^{-{frac {1}{2}}x^{2}},\psi _{2}(x)&=left({sqrt {2}},pi ^{frac {1}{4}}right)^{-1},left(2x^{2}-1right),e^{-{frac {1}{2}}x^{2}},\psi _{3}(x)&=left({sqrt {3}},pi ^{frac {1}{4}}right)^{-1},left(2x^{3}-3xright),e^{-{frac {1}{2}}x^{2}},\psi _{4}(x)&=left(2{sqrt {6}},pi ^{frac {1}{4}}right)^{-1},left(4x^{4}-12x^{2}+3right),e^{-{frac {1}{2}}x^{2}},\psi _{5}(x)&=left(2{sqrt {15}},pi ^{frac {1}{4}}right)^{-1},left(4x^{5}-20x^{3}+15xright),e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}.end{aligned}}}

Funciones hermitas: 0 (azul, sólido), 2 (orange, dashed), 4 (verde, dot-dashed), y 50 (rojo, sólido)

Relación de recursividad

Siguiendo las relaciones de recurrencia de los polinomios de Hermite, las funciones de Hermite obedecen

{displaystyle psi _{n}'(x)={sqrt {frac {n}{2}}},psi _{n-1}(x)-{sqrt {frac {n+1}{2}}}psi _{n+1}(x)}

{displaystyle xpsi _{n}(x)={sqrt {frac {n}{2}}},psi _{n-1}(x)+{sqrt {frac {n+1}{2}}}psi _{n+1}(x).}

Extendiendo la primera relación a las $m$ ésimas derivadas arbitrarias para cualquier entero positivo $m$ conduce a

{displaystyle psi _{n}^{(m)}(x)=sum _{k=0}^{m}{binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{frac {m-k}{2}}{sqrt {frac {n!}{(n-m+k)!}}}psi _{n-m+k}(x){mathit {He}}_{k}(x).}

Esta fórmula se puede usar en relación con las relaciones de recurrencia para $He n$ y $ψ n$ para calcular eficientemente cualquier derivada de las funciones de Hermite.

Desigualdad de Cramér

Para $x$ reales, las funciones de Hermite satisfacen el siguiente límite debido a Harald Cramér y Jack Indritz:

{displaystyle {bigl |}psi _{n}(x){bigr |}leq pi ^{-{frac {1}{4}}}.}

Funciones de Hermite como funciones propias de la transformada de Fourier

Las funciones de Hermite $ψ n (x)$ son un conjunto de funciones propias de la transformada de Fourier continua Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursiva, serif;">F. Para ver esto, tome la versión física de la función generadora y multiplíquela por $e - 1 / 2 x 2$ . Esto da

{displaystyle e^{-{frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=sum _{n=0}^{infty }e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){frac {t^{n}}{n!}}.}

La transformada de Fourier del lado izquierdo viene dada por

{displaystyle {begin{aligned}{mathcal {F}}left{e^{-{frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}right}(k)&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }e^{-ixk}e^{-{frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}},dx\&=e^{-{frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t^{2}}\&=sum _{n=0}^{infty }e^{-{frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){frac {(-it)^{n}}{n!}}.end{aligned}}}

La transformada de Fourier del lado derecho viene dada por

{displaystyle {mathcal {F}}left{sum _{n=0}^{infty }e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){frac {t^{n}}{n!}}right}=sum _{n=0}^{infty }{mathcal {F}}left{e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)right}{frac {t^{n}}{n!}}.}

Al igualar potencias similares de $t$ en las versiones transformadas de los lados izquierdo y derecho finalmente se obtiene

{displaystyle {mathcal {F}}left{e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)right}=(-i)^{n}e^{-{frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).}

Las funciones de Hermite $ψ n (x)$ son por lo tanto una base ortonormal de $L 2 (R)$ , que diagonaliza el operador de transformada de Fourier.

Distribuciones de Wigner de las funciones de Hermite

La función de distribución de Wigner de la función Hermite de $n$ ésimo orden está relacionada con la $n$ polinomio de Laguerre de orden n. Los polinomios de Laguerre son

{displaystyle L_{n}(x):=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}{frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},}

{displaystyle l_{n}(x):=e^{-{frac {x}{2}}}L_{n}(x).}

n

{displaystyle W_{psi _{n}}(t,f)=(-1)^{n}l_{n}{big (}4pi (t^{2}+f^{2}){big)},}

x ▪ L 2 () R, C)

{displaystyle W_{x}(t,f)=int _{-infty }^{infty }xleft(t+{frac {tau }{2}}right),xleft(t-{frac {tau }{2}}right)^{*},e^{-2pi itau f},dtau.}

Existen más relaciones entre las dos familias de polinomios.

Interpretación combinatoria de coeficientes

En el polinomio de Hermite $He n (x)$ de la varianza 1, el valor absoluto del coeficiente de $x k$ es el número de particiones (no ordenadas) de un conjunto de elementos $n$ en $k$ singletons y $n - k / 2$ (desordenados) pares. De manera equivalente, es el número de involuciones de un conjunto de elementos $n$ con precisamente $k$ puntos fijos, es decir, el número de coincidencias en el gráfico completo en $n$ vértices que dejan $k$ vértices descubiertos (de hecho, los polinomios de Hermite son los polinomios coincidentes de estos gráficos). La suma de los valores absolutos de los coeficientes da el número total de particiones en singletons y pares, los llamados números de teléfono

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496... A000085 en el OEIS).

Esta interpretación combinatoria se puede relacionar con polinomios de Bell exponenciales completos como

{displaystyle {mathit {He}}_{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,ldots0),}

x i = 0

i ■ 2

Estos números también se pueden expresar como un valor especial de los polinomios de Hermite:

{displaystyle T(n)={frac {{mathit {He}}_{n}(i)}{i^{n}}}.}

Relación de completitud

La fórmula de Christoffel-Darboux para los polinomios de Hermite dice

{displaystyle sum _{k=0}^{n}{frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={frac {1}{n!2^{n+1}}},{frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.}

Además, la siguiente identidad de completitud para las funciones de Hermite anteriores se cumple en el sentido de las distribuciones:

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }psi _{n}(x)psi _{n}(y)=delta (x-y),}

δ

↑ n

δ () x - Sí.)

Sí. = x

R 2

Esta identidad distribucional sigue a Wiener (1958) tomando $u \to 1$ en la fórmula de Mehler, válida cuando −1 < u < 1:

{displaystyle E(x,y;u):=sum _{n=0}^{infty }u^{n},psi _{n}(x),psi _{n}(y)={frac {1}{sqrt {pi (1-u^{2})}}},exp left(-{frac {1-u}{1+u}},{frac {(x+y)^{2}}{4}}-{frac {1+u}{1-u}},{frac {(x-y)^{2}}{4}}right),}

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}left({frac {u}{2}}right)^{n}={frac {1}{sqrt {1-u^{2}}}}e^{{frac {2u}{1+u}}xy-{frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.}

La función $(x, y) \to E (x, y; u)$ es la densidad de probabilidad gaussiana bivariada en $R 2$ , que es, cuando $u$ está cerca de 1, muy concentrado alrededor de la línea $y = x$ , y muy extendido en esa línea. Resulta que