Polinomios de Fibonacci

En matemáticas, los polinomios de Fibonacci son una secuencia polinomial que puede considerarse como una generalización de los números de Fibonacci. Los polinomios generados de forma similar a partir de los números de Lucas se denominan polinomios de Lucas.

Definición

Estos polinomios de Fibonacci se definen mediante una relación de recurrencia:

${displaystyle F_{n}(x)={begin{cases}0, ventaja{mbox{if }n=01, limit {mbox{if}n=1xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x), recur{mbox{if }ngeq 2end{cases}}$

Los polinomios de Lucas utilizan la misma recurrencia con diferentes valores iniciales:

${displaystyle L_{n}(x)={begin{cases}2, {mbox{if} }n=0x, limitada {mbox{if }n=1xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x), recur{mbox{if }ngeq 2.end{cases}$

Se pueden definir para índices negativos mediante

${displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),}$

${displaystyle L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x). }$

Los polinomios Fibonacci forman una secuencia de polinomios ortogonales con ${displaystyle A_{n}=C_{n}=1}$ y ${displaystyle B_{n}=0}$.

Ejemplos

Los primeros polinomios de Fibonacci son:

${displaystyle F_{0}(x)=0,}$

${displaystyle F_{1}(x)=1,}$

${displaystyle F_{2}(x)=x,}$

${displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1,}$

${displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x,}$

${displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1,}$

${displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x,}$

Los primeros polinomios de Lucas son:

${displaystyle L_{0}(x)=2,}$

${displaystyle L_{1}(x)=x,}$

${displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2,}$

${displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x,}$

${displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2,}$

${displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x,}$

${displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.}$

Propiedades

• El grado de F_n es n− 1 y el grado de L_n es n.

• Los números de Fibonacci y Lucas se recuperan evaluando los polinomios en x= 1; Los números pell se recuperan evaluando F_n a x= 2.

• Las funciones generadoras ordinarias para las secuencias son:

  ${displaystyle sum _{n=0}{infty }F_{n}(x)t^{n}={frac {t}{1-xt-t^{2}}} {}} {fn0}}$

  ${displaystyle sum _{n=0}{infty }L_{n}(x)t^{n}={frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}}$

• Los polinomios se pueden expresar en términos de secuencias de Lucas como

  ${displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),,}$

  ${displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).$

• También se pueden expresar en términos de polinomios Chebyshev ${displaystyle {mathcal {}_{n}(x)}$ y ${displaystyle {mathcal {}_{n}(x)}$ como

  ${displaystyle F_{n}(x)=i^{n-1}cdot {mathcal {fn} {fn} {-ix}{2}),,}$

  ${displaystyle L_{n}(x)=2cdot i^{n}cdot {fnMicroc} {-ix}{2}),,}$

Donde ${displaystyle i}$ es la unidad imaginaria.

Identidades

Como casos particulares de secuencias de Lucas, los polinomios de Fibonacci satisfacen una serie de identidades, como

${displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x),}$

${displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x),}$

${displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n},}$

${displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).,}$

Las expresiones en forma cerrada, similares a la fórmula de Binet, son:

$[displaystyle F_{n}(x)={frac {alpha (x)^{n}-beta (x)^{n}{alpha (x)-beta (x)},,L_{n}(x)=alpha (x)^{n}+beta (x)^{n}}$

dónde

${displaystyle alpha (x)={frac {x+{sqrt {x^{2}+4}} {2}}},beta (x)={frac {x-{sqrt {x^{2}+4}} {2}}}}} {2}}}}} {2}}}} {}}}}}}}}}}} {2}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}} {} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {} {}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

son las soluciones (en t) de

${displaystyle t^{2}-xt-1=0.}$

Para polinomios de Lucas n > 0, tenemos

${displaystyle L_{n}(x)=sum ¿Qué? n/2rfloor }{frac {n} {n-k}{binom} ¿Qué?$

La relación entre los polinomios de Fibonacci y los polinomios de base estándar viene dada por

${displaystyle x^{n}=F_{n+1}(x)+sum ¿Por qué? {n}{k}-{binom {n}{k-1}right]F_{n+1-2k}(x).}$

Por ejemplo,

${displaystyle x^{4}=F_{5}(x)-3F_{3}(x)+2F_{1}(x),}$

${displaystyle x^{5}=F_{6}(x)-4F_{4}(x)+5F_{2}(x),}$

${displaystyle x^{6}=F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9F_{3}(x)-5F_{1}(x),}$

${displaystyle x^{7}=F_{8}(x)-6F_{6}(x)+14F_{4}(x)-14F_{2}(x),}$

Interpretación combinatoria

Si F(n,k) es el coeficiente de x^k en F_n(x), es decir

${displaystyle F_{n}(x)=sum _{k=0}F(n,k)x^{k},,}$

entonces F()n,k) es el número de maneras un n−1 por 1 rectángulo se puede aislar con 2 por 1 dominó y 1 por 1 cuadrado para que exactamente k Se usan cuadrados. Equivalentemente, F()n,k) es el número de formas de escribir n−1 como una suma ordenada que implica sólo 1 y 2, por lo que 1 se utiliza exactamente k veces. Por ejemplo F(6,3)=4 y 5 se pueden escribir de 4 maneras, 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1, como una suma que implica sólo 1 y 2 con 1 utilizado 3 veces. Contando el número de veces 1 y 2 se utilizan en tal suma, es evidente que ${displaystyle F(n,k)={begin{cases}displaystyle {binom {fnMicroc} {1}{2} {n+k-1)}{k} {text{if }nnot equiv k{pmod {2}},\[12pt]0 ventaja {text{else}}end{cases}}}} {fnuncio}$

Esto proporciona una forma de leer los coeficientes del triángulo de Pascal como se muestra a la derecha.