Polinomio de Newton

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Expresión matemática

En el campo matemático del análisis numérico, un polinomio de Newton, llamado así por su inventor Isaac Newton, es un polinomio de interpolación para un conjunto dado de puntos de datos. El polinomio de Newton a veces se denomina polinomio de interpolación de diferencias divididas de Newton porque los coeficientes del polinomio se calculan utilizando el método de diferencias divididas de Newton.

Definición

Dado un conjunto de k + 1 puntos de datos

(x_{0},y_{0}),ldots(x_{j},y_{j}),ldots(x_{k},y_{k})

donde no hay dos x_j iguales, el polinomio de interpolación de Newton es una combinación lineal de polinomios de base de Newton

$N(x):=sum _{{j=0}}^{{k}}a_{{j}}n_{{j}}(x)$

con los polinomios de base de Newton definidos como

$n_{j}(x):=prod _{{i=0}}^{{j-1}}(x-x_{i})$

para j " 0 " $n_{0}(x)equiv 1$ .

Los coeficientes se definen como

$a_{j}:=[y_{0},ldotsy_{j}]$

dónde

$[y_{0},ldotsy_{j}]$

es la notación para diferencias divididas.

Por lo tanto, el polinomio de Newton se puede escribir como

$N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+cdots +[y_{0},ldotsy_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})cdots (x-x_{{k-1}}).$

Fórmula de diferencia dividida hacia delante de Newton

El polinomio de Newton se puede expresar en forma simplificada cuando $x_{0},x_{1},dotsx_{k}$ se organizan consecutivamente con igual espaciamiento. Introducción de la notación $h=x_{{i+1}}-x_{i}$ para cada uno $i=0,1,dotsk-1$ y $x=x_{0}+sh$ , la diferencia $x-x_{i}$ puede ser escrito como $(s-i)h$ . Así que el polinomio Newton se convierte

${displaystyle {begin{aligned}N(x)&=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}]sh+cdots +[y_{0},ldotsy_{k}]s(s-1)cdots (s-k+1){h}^{k}\&=sum _{i=0}^{k}s(s-1)cdots (s-i+1){h}^{i}[y_{0},ldotsy_{i}]\&=sum _{i=0}^{k}{s choose i}i!{h}^{i}[y_{0},ldotsy_{i}].end{aligned}}}$

Esto se llama la fórmula de diferencia dividida hacia delante de Newton.

Fórmula de diferencia dividida hacia atrás de Newton

Si los nodos son reordenados como ${x}_{{k}},{x}_{{k-1}},dots{x}_{{0}}$ , el polinomio de Newton se convierte

${displaystyle N(x)=[y_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}](x-{x}_{k})+cdots +[{y}_{k},ldots{y}_{0}](x-{x}_{k})(x-{x}_{k-1})cdots (x-{x}_{1}).}$

Si ${x}_{{k}},;{x}_{{k-1}},;dots;{x}_{{0}}$ are equally spaced with ${displaystyle {x}_{0}={x}_{k}+sh}$ y ${x}_{{i}}={x}_{{k}}-(k-i)h$ para i = 0, 1,... k, entonces,

${displaystyle {begin{aligned}N(x)&=[{y}_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}]sh+cdots +[{y}_{k},ldots{y}_{0}]s(s+1)cdots (s+k-1){h}^{k}\&=sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s choose i}i!{h}^{i}[{y}_{k},ldots{y}_{k-i}].end{aligned}}}$

se llama la fórmula de diferencia dividida hacia atrás de Newton.

Importancia

La fórmula de Newton es interesante porque es la versión en diferencias directa y natural del polinomio de Taylor. El polinomio de Taylor indica adónde irá una función, según su valor y y sus derivadas (su tasa de cambio y la tasa de cambio de su tasa de cambio, etc.) en un valor particular de x. La fórmula de Newton es el polinomio de Taylor basado en diferencias finitas en lugar de tasas de cambio instantáneas.

Adición de nuevos puntos

Al igual que con otras fórmulas de diferencias, el grado de un polinomio de interpolación de Newton se puede aumentar agregando más términos y puntos sin descartar los existentes. La forma de Newton tiene la simplicidad de que los nuevos puntos siempre se agregan en un extremo: la fórmula directa de Newton puede agregar nuevos puntos a la derecha y la fórmula inversa de Newton puede agregar nuevos puntos a la izquierda.

La precisión de la interpolación polinomial depende de cuán cerca esté el punto interpolado de la mitad de los valores x del conjunto de puntos utilizados. Obviamente, a medida que se agregan nuevos puntos en un extremo, ese medio se aleja cada vez más del primer punto de datos. Por lo tanto, si no se sabe cuántos puntos se necesitarán para la precisión deseada, la mitad de los valores de x podría estar lejos de donde se realiza la interpolación.

Gauss, Stirling y Bessel desarrollaron fórmulas para remediar ese problema.

La fórmula de Gauss agrega alternativamente nuevos puntos en los extremos izquierdo y derecho, manteniendo así el conjunto de puntos centrados cerca del mismo lugar (cerca del punto evaluado). Al hacerlo, utiliza términos de la fórmula de Newton, con puntos de datos y valores de x renombrados de acuerdo con la elección de qué punto de datos se designa como x ₀ punto de datos.

La fórmula de Stirling permanece centrada en un punto de datos en particular, para usarse cuando el punto evaluado está más cerca de un punto de datos que del medio de dos puntos de datos.

La fórmula de Bessel permanece centrada en un medio particular entre dos puntos de datos, para usarse cuando el punto evaluado está más cerca de un medio que de un punto de datos.

Bessel y Stirling logran eso usando a veces el promedio de dos diferencias, y a veces usando el promedio de dos productos de binomios en x, donde la de Newton o la de Gauss use solo una diferencia o producto. Stirling's usa una diferencia promedio en términos de grado impar (cuya diferencia usa un número par de puntos de datos); Bessel's usa una diferencia promedio en términos de grado par (cuya diferencia usa un número impar de puntos de datos).

Fortalezas y debilidades de varias fórmulas

Para cualquier conjunto finito de puntos de datos, solo hay un polinomio de menor grado posible que pasa por todos ellos. Así, es apropiado hablar de la "forma de Newton", o forma de Lagrange, etc., del polinomio de interpolación. Sin embargo, diferentes métodos para calcular este polinomio pueden tener diferentes eficiencias computacionales. Existen varios métodos similares, como los de Gauss, Bessel y Stirling. Se pueden derivar de los de Newton cambiando el nombre de los valores x de los puntos de datos, pero en la práctica son importantes.

Bessel contra Stirling

La elección entre Bessel y Stirling depende de si el punto interpolado está más cerca de un punto de datos o más cerca de un punto medio entre dos puntos de datos.

El error de interpolación de un polinomio se aproxima a cero, a medida que el punto de interpolación se aproxima a un punto de datos. Por lo tanto, la fórmula de Stirling trae su mejora de precisión donde menos se necesita y Bessel trae su mejora de precisión donde más se necesita.

Por lo tanto, se podría decir que la fórmula de Bessel es la fórmula de diferencia más consistentemente precisa y, en general, la más consistentemente precisa de las fórmulas familiares de interpolación de polinomios.

Métodos de diferencias divididas frente a Lagrange

A veces se dice que Lagrange requiere menos trabajo y, a veces, se recomienda para problemas en los que se sabe, de antemano, por experiencia previa, cuántos términos se necesitan para una precisión suficiente.

Los métodos de diferencias divididas tienen la ventaja de que se pueden agregar más puntos de datos para mejorar la precisión. Se pueden seguir utilizando los términos basados en los puntos de datos anteriores. Con la fórmula ordinaria de Lagrange, resolver el problema con más puntos de datos requeriría volver a hacer todo el problema.

Hay un "baricéntrico" versión de Lagrange que evita la necesidad de rehacer todo el cálculo al agregar un nuevo punto de datos. Pero requiere que se registren los valores de cada término.

Pero la capacidad de Gauss, Bessel y Stirling de mantener los puntos de datos centrados cerca del punto interpolado les da una ventaja sobre Lagrange, cuando no se sabe de antemano cuántos puntos de datos serán necesario.

Además, suponga que desea averiguar si, para algún tipo particular de problema, la interpolación lineal es lo suficientemente precisa. Eso se puede determinar evaluando el término cuadrático de una fórmula de diferencia dividida. Si el término cuadrático es insignificante, lo que significa que el término lineal es lo suficientemente preciso sin agregar el término cuadrático, entonces la interpolación lineal es lo suficientemente precisa. Si el problema es lo suficientemente importante, o si el término cuadrático es lo suficientemente grande como para tener importancia, entonces uno podría querer determinar si la suma de los términos cuadráticos y cúbicos es lo suficientemente grande como para tener importancia en el problema.

Por supuesto, solo se puede usar un método de diferencias divididas para tal determinación.

Para ello, se debe elegir la fórmula de la diferencia dividida y/o su punto x₀ de modo que la fórmula utilice, para su término lineal, los dos puntos de datos entre los que se realizaría la interpolación lineal de interés.

Las fórmulas de diferencias divididas son más versátiles, útiles en más tipos de problemas.

La fórmula de Lagrange es óptima cuando toda la interpolación se realiza en un valor de x, con solo los puntos de datos' valores de y que varían de un problema a otro, y cuando se sabe, por experiencia pasada, cuántos términos se necesitan para una precisión suficiente.

Con la forma de Newton del polinomio de interpolación existe un algoritmo compacto y efectivo para combinar los términos para encontrar los coeficientes del polinomio.

Precisión

Cuando, con Stirling's o Bessel's, el último término usado incluye el promedio de dos diferencias, entonces se está usando un punto más que el que usaría Newton's u otras interpolaciones polinómicas para el mismo grado polinomial. Entonces, en ese caso, Stirling's o Bessel's no están poniendo un polinomio de N−1 grado a través de N puntos, sino que están intercambiando equivalencia con la de Newton para un mejor centrado y precisión, dando a esos métodos a veces una precisión potencialmente mayor, para un grado polinomial dado, que otras interpolaciones polinómicas.

Caso general

Para el caso especial x_i = i, hay un conjunto estrechamente relacionado de polinomios, también llamados los polinomios de Newton, que son simplemente los coeficientes binomiales para el argumento general. Es decir, uno también tiene los polinomios de Newton $p_{n}(z)$ dado por

$p_{n}(z)={z choose n}={frac {z(z-1)cdots (z-n+1)}{n!}}$

De esta forma, los polinomios de Newton generan la serie de Newton. Estos son a su vez un caso especial de los polinomios en diferencias generales que permiten la representación de funciones analíticas a través de ecuaciones en diferencias generalizadas.

Idea principal

Resolver un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal donde tenemos que resolver un sistema de ecuaciones lineales. Usando una base monomio estándar para nuestro polinomio de interpolación, obtenemos la muy complicada matriz de Vandermonde. Al elegir otra base, la base de Newton, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales con una matriz triangular inferior mucho más simple que se puede resolver más rápido.

Para k + 1 puntos de datos, construimos la base de Newton como

${displaystyle n_{0}(x):=1,qquad n_{j}(x):=prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})qquad j=1,ldotsk.}$

Utilizar estos polinomios como base para $Pi _{k}$ tenemos que resolver

${begin{bmatrix}1&&ldots &&0\1&x_{1}-x_{0}&&&\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&&vdots \vdots &vdots &&ddots &\1&x_{k}-x_{0}&ldots &ldots &prod _{{j=0}}^{{k-1}}(x_{k}-x_{j})end{bmatrix}}{begin{bmatrix}a_{0}\\vdots \\a_{{k}}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}y_{0}\\vdots \\y_{{k}}end{bmatrix}}$

para resolver el problema de interpolación de polinomios.

Este sistema de ecuaciones se puede resolver iterativamente resolviendo

$sum _{{i=0}}^{{j}}a_{{i}}n_{{i}}(x_{j})=y_{j}qquad j=0,dotsk.$

Derivación

Si bien la fórmula de interpolación se puede encontrar resolviendo un sistema lineal de ecuaciones, hay una pérdida de intuición en lo que muestra la fórmula y no es evidente por qué funciona la fórmula de interpolación de Newton. Para comenzar, primero necesitaremos establecer dos hechos:

Hechos 1. Revertir los términos de una diferencia dividida deja sin cambios: ${displaystyle [y_{0},ldotsy_{n}]=[y_{n},ldotsy_{0}].}$

La prueba de esto es una inducción fácil: para $n=1$ nosotros computamos

{displaystyle [y_{0},y_{1}]={frac {[y_{1}]-[y_{0}]}{x_{1}-x_{0}}}={frac {[y_{0}]-[y_{1}]}{x_{0}-x_{1}}}=[y_{1},y_{0}].}

Paso de inducción: Supongamos que el resultado es válido para cualquier diferencia dividida en la mayoría $n+1$ términos. Luego utilizando la hipótesis de inducción en la siguiente 2a igualdad vemos que para una diferencia dividida involucrando $n+2$ términos que tenemos

{displaystyle [y_{0},ldotsy_{n+1}]={frac {[y_{1},ldotsy_{n+1}]-[y_{0},ldotsy_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}={frac {[y_{n},ldotsy_{0}]-[y_{n+1},ldotsy_{1}]}{x_{0}-x_{n+1}}}=[y_{n+1},ldotsy_{0}].}

Formulamos el siguiente dato 2 que para fines de inducción y claridad también llamamos Declaración $n$ () ${displaystyle {text{Stm}}_{n}}$ )

Hechos 2. () ${displaystyle {text{Stm}}_{n}}$ ) Si ${displaystyle (x_{0},y_{0}),ldots(x_{n-1},y_{n-1})}$ cualquiera $n$ puntos con distintos puntos $x$ -coordinados y ${displaystyle P=P(x)}$ es el único polinomio de grado (en la mayoría) $n-1$ cuyo gráfico pasa por estos $n$ puntos entonces allí tiene la relación

{displaystyle [y_{0},ldotsy_{n}](x_{n}-x_{0})cdot ldots cdot (x_{n}-x_{n-1})=y_{n}-P(x_{n})}

Prueba. (Será útil para una lectura fluida de la prueba tener la declaración precisa y su sutileza en mente: $P$ se define por pasar ${displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1})}$ pero la fórmula también habla a ambos lados de un punto arbitrario adicional $(x_n,y_n)$ con $x$ -coordinado distinto del otro $x_{i}$ .)

De nuevo demostramos estas declaraciones por inducción. Para mostrar ${displaystyle {text{Stm}}_{1},}$ Deja $(x_{0},y_{0})$ ser cualquier punto y dejar $P(x)$ ser el polinomio único del grado 0 pasando por $(x_0, y_0)$ . Entonces evidentemente ${displaystyle P(x)=y_{0}}$ y podemos escribir

{displaystyle [y_{0},y_{1}](x_{1}-x_{0})={frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x_{1}-x_{0})=y_{1}-y_{0}=y_{1}-P(x_{1})}

Prueba ${displaystyle {text{Stm}}_{n+1},}$ suposición ${displaystyle {text{Stm}}_{n}}$ ya establecido: Vamos $P(x)$ ser el polinomio de grado (en la mayoría) $n$ pasando ${displaystyle (x_{0},y_{0}),ldots(x_{n},y_{n}).}$

Con $Q(x)$ siendo el único polinomio de grado (en la mayoría) $n-1$ pasando por los puntos $(x_{1},y_{1}),ldots(x_{n},y_{n})$ , podemos escribir la siguiente cadena de iguales, donde usamos en penúltima igualdad que Stm ${displaystyle _{n}}$ aplicable $Q$ :

{displaystyle {begin{aligned}&[y_{0},ldotsy_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})cdot ldots cdot (x_{n+1}-x_{n})\&={frac {[y_{1},ldotsy_{n+1}]-[y_{0},ldotsy_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}(x_{n+1}-x_{0})cdot ldots cdot (x_{n+1}-x_{n})\&=left([y_{1},ldotsy_{n+1}]-[y_{0},ldotsy_{n}]right)(x_{n+1}-x_{1})cdot ldots cdot (x_{n+1}-x_{n})\&=[y_{1},ldotsy_{n+1}](x_{n+1}-x_{1})cdot ldots cdot (x_{n+1}-x_{n})-[y_{0},ldotsy_{n}](x_{n+1}-x_{1})cdot ldots cdot (x_{n+1}-x_{n})\&=(y_{n+1}-Q(x_{n+1}))-[y_{0},ldotsy_{n}](x_{n+1}-x_{1})cdot ldots cdot (x_{n+1}-x_{n})\&=y_{n+1}-(Q(x_{n+1})+[y_{0},ldotsy_{n}](x_{n+1}-x_{1})cdot ldots cdot (x_{n+1}-x_{n})).end{aligned}}}

La hipótesis de inducción para $Q$ también se aplica a la segunda igualdad en el siguiente cálculo, donde $(x_{0},y_{0})$ se añade a los puntos que definen $Q$ :

{displaystyle {begin{aligned}&Q(x_{0})+[y_{0},ldotsy_{n}](x_{0}-x_{1})cdot ldots cdot (x_{0}-x_{n})\&=Q(x_{0})+[y_{n},ldotsy_{0}](x_{0}-x_{n})cdot ldots cdot (x_{0}-x_{1})\&=Q(x_{0})+y_{0}-Q(x_{0})\&=y_{0}\&=P(x_{0}).\end{aligned}}}

Ahora mira. ${displaystyle Q(x)+[y_{0},ldotsy_{n}](x-x_{1})cdot ldots cdot (x-x_{n}).}$ Por definición $Q$ este polinomio pasa por ${displaystyle (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})}$ y, como acabamos de demostrar, también pasa a través de ${displaystyle (x_{0},y_{0}).}$ Así es el polinomio único de grado $leq n$ que pasa por estos puntos. Por lo tanto este polinomio es ${displaystyle P(x);}$ i.e.: ${displaystyle P(x)=Q(x)+[y_{0},ldotsy_{n}](x-x_{1})cdot ldots cdot (x-x_{n}).}$

Así podemos escribir la última línea en la primera cadena de igualdades como: ${displaystyle y_{n+1}-P(x_{n+1})}$ ' y por lo tanto han establecido que

{displaystyle [y_{0},ldotsy_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})cdot ldots cdot (x_{n+1}-x_{n})=y_{n+1}-P(x_{n+1}).}

${displaystyle {text{Stm}}_{n+1}}$
Ahora mira el Hechos 2: Se puede formular de esta manera: Si $P$ es el único polinomio de grado en la mayoría $n-1$ cuyo gráfico pasa por los puntos ${displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1}),}$ entonces ${displaystyle P(x)+[y_{0},ldotsy_{n}](x-x_{0})cdot ldots cdot (x-x_{n-1})}$ es el único polinomio de grado en la mayoría $n$ pasando a través de puntos ${displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1}),(x_{n},y_{n}).}$ Así que vemos que la interpolación de Newton permite de hecho añadir nuevos puntos de interpolación sin destruir lo que ya se ha calculado.
Polinomio de Taylor
El límite del polinomio de Newton si todos los nodos coinciden es un polinomio de Taylor, porque las diferencias divididas se convierten en derivadas.
${displaystyle {begin{aligned}&lim _{(x_{0},dotsx_{n})to (z,dotsz)}f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]cdot (xi -x_{0})+dots +f[x_{0},dotsx_{n}]cdot (xi -x_{0})cdot dots cdot (xi -x_{n-1})\&=f(z)+f'(z)cdot (xi -z)+dots +{frac {f^{(n)}(z)}{n!}}cdot (xi -z)^{n}end{aligned}}}$
Solicitud
Como se puede ver en la definición de las diferencias divididas, se pueden agregar nuevos puntos de datos al conjunto de datos para crear un nuevo polinomio de interpolación sin volver a calcular los coeficientes anteriores. Y cuando cambia un punto de datos, normalmente no tenemos que volver a calcular todos los coeficientes. Además, si las x_i se distribuyen equidistantemente, el cálculo de las diferencias divididas se vuelve significativamente más fácil. Por lo tanto, las fórmulas de diferencias divididas suelen preferirse a la forma de Lagrange para fines prácticos.
Ejemplos
Las diferencias divididas se pueden escribir en forma de tabla. Por ejemplo, para una función f debe interpolarse en puntos $x_0, ldots, x_n$ . Escriba
${begin{matrix}x_{0}&f(x_{0})&&\&&{f(x_{1})-f(x_{0}) over x_{1}-x_{0}}&\x_{1}&f(x_{1})&&{{f(x_{2})-f(x_{1}) over x_{2}-x_{1}}-{f(x_{1})-f(x_{0}) over x_{1}-x_{0}} over x_{2}-x_{0}}\&&{f(x_{2})-f(x_{1}) over x_{2}-x_{1}}&\x_{2}&f(x_{2})&&vdots \&&vdots &\vdots &&&vdots \&&vdots &\x_{n}&f(x_{n})&&\end{matrix}}$
Luego, el polinomio de interpolación se forma como se indicó anteriormente utilizando las entradas superiores de cada columna como coeficientes.
Por ejemplo, supongamos que vamos a construir el polinomio de interpolación a f(x) = tan(x) usando diferencias divididas, en los puntos
$n$ $x_{n}$ $f(x_n)$
${displaystyle 0}$ $-{tfrac {3}{2}}$ ${displaystyle -14.1014}$
$1$ ${displaystyle -{tfrac {3}{4}}}$ ${displaystyle -0.931596}$
$2$ ${displaystyle 0}$ ${displaystyle 0}$
$3$ ${tfrac {3}{4}}$ ${displaystyle 0.931596}$
$4$ ${displaystyle {tfrac {3}{2}}}$ ${displaystyle 14.1014}$
Usando seis dígitos de precisión, construimos la tabla
${begin{matrix}-{tfrac {3}{2}}&-14.1014&&&&\&&17.5597&&&\-{tfrac {3}{4}}&-0.931596&&-10.8784&&\&&1.24213&&4.83484&\0&0&&0&&0\&&1.24213&&4.83484&\{tfrac {3}{4}}&0.931596&&10.8784&&\&&17.5597&&&\{tfrac {3}{2}}&14.1014&&&&\end{matrix}}$
Por lo tanto, el polinomio de interpolación es
${displaystyle {begin{aligned}&-14.1014+17.5597(x+{tfrac {3}{2}})-10.8784(x+{tfrac {3}{2}})(x+{tfrac {3}{4}})+4.83484(x+{tfrac {3}{2}})(x+{tfrac {3}{4}})(x)+0(x+{tfrac {3}{2}})(x+{tfrac {3}{4}})(x)(x-{tfrac {3}{4}})\={}&-0.00005-1.4775x-0.00001x^{2}+4.83484x^{3}end{aligned}}}$
Con más dígitos de precisión en la tabla, se encontrará que el primer y el tercer coeficiente son cero.
Otro ejemplo:
La secuencia $f_{0}$ tales que ${displaystyle f_{0}(1)=6,f_{0}(2)=9,f_{0}(3)=2}$ y ${displaystyle f_{0}(4)=5}$ , es decir, son ${displaystyle 6,9,2,5}$ desde $x_{0}=1$ a ${displaystyle x_{3}=4}$ .
Usted obtiene la pendiente de orden $1$ de la siguiente manera:
${displaystyle f_{1}(x_{0},x_{1})={frac {f_{0}(x_{1})-f_{0}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={frac {9-6}{2-1}}=3}$
${displaystyle f_{1}(x_{1},x_{2})={frac {f_{0}(x_{2})-f_{0}(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={frac {2-9}{3-2}}=-7}$
${displaystyle f_{1}(x_{2},x_{3})={frac {f_{0}(x_{3})-f_{0}(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}={frac {5-2}{4-3}}=3}$
Como tenemos las pendientes de orden $1$ , es posible obtener el siguiente pedido:
${displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})={frac {f_{1}(x_{1},x_{2})-f_{1}(x_{0},x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={frac {-7-3}{3-1}}=-5}$
${displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})={frac {f_{1}(x_{2},x_{3})-f_{1}(x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{1}}}={frac {3-(-7)}{4-2}}=5}$
Finalmente, definimos la pendiente del orden $3$ :
${displaystyle f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={frac {f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})-f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{0}}}={frac {5-(-5)}{4-1}}={frac {10}{3}}}$
Una vez que tenemos la pendiente, podemos definir los polinomios consecuentes:
${displaystyle p_{0}(x)=6}$ .
${displaystyle p_{1}(x)=6+3(x-1)}$
${displaystyle p_{2}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)}$ .
${displaystyle p_{3}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)+{frac {10}{3}}(x-1)(x-2)(x-3)}$

$n$	$x_{n}$	$f(x_n)$
${displaystyle 0}$	$-{tfrac {3}{2}}$	${displaystyle -14.1014}$
$1$	${displaystyle -{tfrac {3}{4}}}$	${displaystyle -0.931596}$
$2$	${displaystyle 0}$	${displaystyle 0}$
$3$	${tfrac {3}{4}}$	${displaystyle 0.931596}$
$4$	${displaystyle {tfrac {3}{2}}}$	${displaystyle 14.1014}$

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