Polinomio
En matemáticas, un polinomio es una expresión que consta de indeterminados (también llamados variables) y coeficientes, que involucra solo las operaciones de suma, resta, multiplicación y potencias de entero positivo de las variables. Un ejemplo de un polinomio de un solo indeterminado x es x2 − 4x + 7. Un ejemplo con tres indeterminados es x3 + 2xyz2 − < i>yz + 1.
Los polinomios aparecen en muchas áreas de las matemáticas y las ciencias. Por ejemplo, se utilizan para formar ecuaciones polinómicas, que codifican una amplia gama de problemas, desde problemas elementales de palabras hasta problemas científicos complicados; se utilizan para definir funciones polinómicas, que aparecen en entornos que van desde la química y la física básicas hasta la economía y las ciencias sociales; se utilizan en cálculo y análisis numérico para aproximar otras funciones. En matemáticas avanzadas, los polinomios se utilizan para construir anillos de polinomios y variedades algebraicas, que son conceptos centrales en álgebra y geometría algebraica.
Etimología
La palabra polinomio une dos raíces diversas: el griego poly, que significa "muchos", y el latín nomen o "nombre". Se derivó del término binomial reemplazando la raíz latina bi- por la griega poly-. Es decir, significa una suma de muchos términos (muchos monomios). La palabra polinomio se utilizó por primera vez en el siglo XVII.
Notación y terminología
La x que aparece en un polinomio se denomina comúnmente variable o indeterminada. Cuando el polinomio se considera como una expresión, x es un símbolo fijo que no tiene ningún valor (su valor es "indeterminado"). Sin embargo, cuando se considera la función definida por el polinomio, x representa el argumento de la función y, por lo tanto, se denomina "variable". Muchos autores usan estas dos palabras indistintamente.
Un polinomio P en el indeterminado x se denota comúnmente como P o como P(x). Formalmente, el nombre del polinomio es P, no P(x), pero el uso de la notación funcional P(x) data de una época en la que la distinción entre un polinomio y la función asociada no estaba clara. Además, la notación funcional suele ser útil para especificar, en una sola frase, un polinomio y su indeterminado. Por ejemplo, "sea P(x) un polinomio" es una abreviatura de "sea P un polinomio en la indeterminada x". Por otro lado, cuando no es necesario enfatizar el nombre del indeterminado, muchas fórmulas son mucho más simples y fáciles de leer si el nombre o nombres de los indeterminados no aparecen en cada ocurrencia del polinomio.
La ambigüedad de tener dos notaciones para un solo objeto matemático puede resolverse formalmente considerando el significado general de la notación funcional para polinomios. Si a denota un número, una variable, otro polinomio o, más generalmente, cualquier expresión, entonces P(a) denota, por convención, el resultado de sustituir a por x en P. Así, el polinomio P define la función
que es la función polinómica asociada a P. Con frecuencia, al usar esta notación, se supone que a es un número. Sin embargo, uno puede usarlo sobre cualquier dominio donde se definan la suma y la multiplicación (es decir, cualquier anillo). En particular, si a es un polinomio entonces P(a) también es un polinomio.
Más específicamente, cuando a es el indeterminado x, entonces la imagen de x por esta función es el polinomio P< /i> (sustituir x por x no cambia nada). En otras palabras,
lo que justifica formalmente la existencia de dos notaciones para el mismo polinomio.
Definición
A expresión polinomio es una expresión que se puede construir a partir de constantes y símbolos llamados variables o indeterminados por medio de adición, multiplicación y exponenciación a un poder entero no negativo. Las constantes son generalmente números, pero puede ser cualquier expresión que no involucra a los indeterminados, y representan objetos matemáticos que pueden ser añadidos y multiplicados. Se consideran dos expresiones polinómicas que definen lo mismo polinomios si pueden ser transformados, uno al otro, aplicando las propiedades habituales de la conmutación, la asociatividad y la distributividad de la adición y la multiplicación. Por ejemplo y son dos expresiones polinómicas que representan el mismo polinomio; por lo tanto, uno tiene la igualdad .
Un polinomio en un solo indeterminado x siempre se puede escribir (o reescribir) en la forma
Donde son constantes que se llaman coeficientes del polinomio, y es lo indeterminado. La palabra "indeterminado" significa que no representa ningún valor particular, aunque cualquier valor puede sustituirse por él. La asignación que asocia el resultado de esta sustitución al valor sustituido es una función, llamada función polinómica.
Esto se puede expresar de manera más concisa usando la notación de suma:
Es decir, un polinomio puede ser cero o puede escribirse como la suma de un número finito de términos distintos de cero. Cada término consiste en el producto de un número, llamado coeficiente del término, y un número finito de indeterminados elevados a potencias enteras no negativas.
Clasificación
El exponente de un indeterminado en un término se llama el grado de ese indeterminado en ese término; el grado del término es la suma de los grados de los indeterminados en ese término, y el grado de un polinomio es el mayor grado de cualquier término con coeficiente distinto de cero. Como x = x1, el grado de un indeterminado sin exponente escrito es uno.
Un término sin indeterminados y un polinomio sin indeterminados se denominan, respectivamente, término constante y polinomio constante. El grado de un término constante y de un polinomio constante distinto de cero es 0. El grado del polinomio cero 0 (que no tiene términos en absoluto) generalmente se trata como no definido (pero ver más abajo).
Por ejemplo:
es un término. El coeficiente es −5, los indeterminados son x y y, el grado de x es dos, mientras que el grado de y es uno. El grado de todo el término es la suma de los grados de cada indeterminado en él, por lo que en este ejemplo el grado es 2 + 1 = 3.
Formar una suma de varios términos produce un polinomio. Por ejemplo, el siguiente es un polinomio:
Se compone de tres términos: el primero es de grado dos, el segundo es de grado uno y el tercero es de grado cero.
A los polinomios de grado pequeño se les han dado nombres específicos. Un polinomio de grado cero es un polinomio constante, o simplemente una constante. Los polinomios de grado uno, dos o tres son respectivamente polinomios lineales, polinomios cuadráticos y polinomios cúbicos. Para grados superiores, los nombres específicos no se usan comúnmente, aunque a veces se usan polinomio quártico (para el grado cuatro) y polinomio quíntico (para el grado cinco). Los nombres de los grados pueden aplicarse al polinomio oa sus términos. Por ejemplo, el término 2x en x2 + 2x + 1 es un término lineal en un polinomio cuadrático.
El polinomio 0, que puede considerarse que no tiene ningún término, se denomina polinomio cero. A diferencia de otros polinomios constantes, su grado no es cero. Más bien, el grado del polinomio cero se deja explícitamente sin definir o se define como negativo (ya sea −1 o −∞). El polinomio cero también es único porque es el único polinomio en un indeterminado que tiene un número infinito de raíces. La gráfica del polinomio cero, f(x) = 0, es la x -eje.
En el caso de polinomios en más de una indeterminada, se denomina polinomio homogéneo de grado n si todos sus términos distintos de cero tienen grado n. El polinomio cero es homogéneo y, como polinomio homogéneo, su grado no está definido. Por ejemplo, x3y2 + 7x< /i>2y3 − 3x5 es homogéneo de grado 5. Para más detalles, ver Polinomio homogéneo.
La ley conmutativa de la suma se puede usar para reorganizar los términos en cualquier orden preferido. En polinomios con un indeterminado, los términos suelen estar ordenados según el grado, ya sea en "potencias descendentes de x", con el término de mayor grado primero, o en "potencias ascendentes de x". El polinomio 3x2 - 5x + 4 se escribe en potencias descendentes de < abarcan clase="texhtml">x. El primer término tiene coeficiente 3, indeterminado x y exponente 2. En el segundo término, el coeficiente es −5. El tercer término es una constante. Debido a que el grado de un polinomio distinto de cero es el mayor grado de cualquier término, este polinomio tiene grado dos.
Dos términos con los mismos indeterminados elevados a las mismas potencias se denominan "términos similares" o "términos semejantes", y pueden combinarse, usando la ley distributiva, en un solo término cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los términos que fueron combinados. Puede suceder que esto haga que el coeficiente sea 0. Los polinomios se pueden clasificar por el número de términos con coeficientes distintos de cero, de modo que un polinomio de un término se denomina monomio, un polinomio de dos términos se denomina binomial y un polinomio de tres términos polinomio se llama trinomio. El término "cuadrinomial" se usa ocasionalmente para un polinomio de cuatro términos.
Un polinomio real es un polinomio con coeficientes reales. Cuando se usa para definir una función, el dominio no está tan restringido. Sin embargo, una función polinomial real es una función de reales a reales que está definida por un polinomio real. De manera similar, un polinomio entero es un polinomio con coeficientes enteros, y un polinomio complejo es un polinomio con coeficientes complejos.
Un polinomio en un indeterminado se llama polinomio univariado, un polinomio en más de un indeterminado se llama < b>polinomio multivariante. Un polinomio con dos indeterminados se llama polinomio bivariado. Estas nociones se refieren más al tipo de polinomios con los que generalmente se trabaja que a polinomios individuales; por ejemplo, cuando se trabaja con polinomios univariados, no se excluyen los polinomios constantes (que pueden resultar de la resta de polinomios no constantes), aunque estrictamente hablando, los polinomios constantes no contienen ningún indeterminado. Es posible clasificar polinomios multivariados como bivariados, trivariados, etc., de acuerdo con el número máximo de indeterminados permitidos. Nuevamente, para que el conjunto de objetos bajo consideración sea cerrado bajo sustracción, un estudio de polinomios trivariados usualmente permite polinomios bivariados, y así sucesivamente. También es común decir simplemente "polinomios en x, y y z", enumerando los indeterminados permitidos.
La evaluación de un polinomio consiste en sustituir un valor numérico a cada indeterminado y realizar las multiplicaciones y sumas indicadas. Para polinomios en una indeterminada, la evaluación suele ser más eficiente (menor número de operaciones aritméticas a realizar) utilizando el método de Horner:
Aritmética
Sumas y restas
Los polinomios se pueden sumar usando la ley asociativa de la suma (agrupando todos sus términos en una sola suma), posiblemente reordenándolos (usando la ley conmutativa) y combinando términos similares. Por ejemplo, si
- y
entonces la suma
se puede reordenar y reagrupar como
y luego simplificado a
Cuando se suman polinomios, el resultado es otro polinomio.
La resta de polinomios es similar.
Multiplicación
Los polinomios también se pueden multiplicar. Para expandir el producto de dos polinomios en una suma de términos, se aplica repetidamente la ley distributiva, lo que da como resultado que cada término de un polinomio se multiplique por cada término del otro. Por ejemplo, si
entonces
Al realizar la multiplicación en cada término se obtiene
Combinar términos similares produce
que se puede simplificar a
Como en el ejemplo, el producto de polinomios siempre es un polinomio.
Composición
Dado un polinomio de una sola variable y otro polinomio g de cualquier número de variables, la composición se obtiene sustituyendo cada copia de la variable del primer polinomio por el segundo polinomio. Por ejemplo, si y entonces
División
La división de un polinomio por otro no suele ser un polinomio. En cambio, tales proporciones son una familia más general de objetos, llamados fracciones racionales, expresiones racionales o funciones racionales, según el contexto. Esto es análogo al hecho de que la razón de dos números enteros es un número racional, no necesariamente un número entero. Por ejemplo, la fracción 1/(x2 + 1) no es un polinomio y no se puede escribir como una suma finita de potencias de la variable x.
Para polinomios de una variable, existe una noción de división euclidiana de polinomios, generalizando la división euclidiana de enteros. Esta noción de la división a(x)/b(x) da como resultado dos polinomios, un cociente q(x) y un resto r(x), tal que < i>a = b q + r y grado(r) < grado(b). El cociente y el resto pueden calcularse mediante cualquiera de varios algoritmos, incluida la división polinomial larga y la división sintética.
Cuando el denominador b(x) es mónico y lineal, es decir, b(x) = x − c para alguna constante c, entonces el teorema del resto polinómico afirma que el resto de la división de a(x) por b(x) es la evaluación a(c). En este caso, el cociente puede calcularse mediante la regla de Ruffini, un caso especial de división sintética.
Factorización
Todos los polinomios con coeficientes en un dominio de factorización único (por ejemplo, los números enteros o un campo) también tienen una forma factorizada en la que el polinomio se escribe como un producto de polinomios irreducibles y una constante. Esta forma factorizada es única hasta el orden de los factores y su multiplicación por una constante invertible. En el caso del campo de los números complejos, los factores irreducibles son lineales. Sobre los números reales, tienen el grado uno o dos. Sobre los números enteros y los números racionales los factores irreducibles pueden tener cualquier grado. Por ejemplo, la forma factorizada de
es
sobre los enteros y los reales, y
sobre los números complejos.
El cálculo de la forma factorizada, llamada factorización es, en general, demasiado difícil de realizar mediante cálculos escritos a mano. Sin embargo, los algoritmos de factorización de polinomios eficientes están disponibles en la mayoría de los sistemas de álgebra computacional.
Cálculo
Calcular derivadas e integrales de polinomios es particularmente simple, en comparación con otros tipos de funciones. La derivada del polinomio
Para polinomios cuyos coeficientes provienen de configuraciones más abstractas (por ejemplo, si los coeficientes son números enteros módulo algún número primo p, o elementos de un anillo arbitrario), la fórmula de la derivada aún se puede interpretar formalmente, con el coeficiente kak< /span> entendido como la suma de k copias de ak. Por ejemplo, sobre los enteros módulo p, la derivada del polinomio x< sup>p + x es el polinomio 1.
Funciones polinómicas
Una función polinomial es una función que se puede definir evaluando un polinomio. Más precisamente, una función f de un argumento de un dominio dado es una función polinomial si existe un polinomio
que evalúa para todos x en el dominio de f (aquí, n es un entero no negativo y a0, a1, a2,... an son coeficientes constantes). Generalmente, a menos que se especifique lo contrario, las funciones polinómicas tienen coeficientes complejos, argumentos y valores. En particular, un polinomio, restringido a tener coeficientes reales, define una función de los números complejos a los números complejos. Si el dominio de esta función también se restringe a los reales, la función resultante es una función real que mapea reales a reales.
Por ejemplo, la función f, definida por
es una función polinomial de una variable. Las funciones polinómicas de varias variables se definen de manera similar, usando polinomios en más de un indeterminado, como en
De acuerdo con la definición de funciones polinómicas, puede haber expresiones que obviamente no son polinomios, pero sin embargo definen funciones polinómicas. Un ejemplo es la expresión que toma los mismos valores que el polinomio en el intervalo , y así ambas expresiones definen la misma función polinomio en este intervalo.
![[-1,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
Toda función polinomial es continua, uniforme y completa.
Gráficos
Polinomia del grado 0:
f()x) = 2
Polinomia de grado 1:
f()x) = 2x + 1
Polinomia del grado 2:
f()x) x2 − x − 2
=x + 1)x − 2)
Polinomia del grado 3:
f()x) x3/4 + 3x2/4 - 3x/2 - 2
1/4x + 4)x + 1)x − 2)
Polinomia del grado 4:
f()x) = 1/14 (x + 4)x + 1)x − 1)x 3) -
+ 0,5
Polinomia del grado 5:
f()x) = 1/20 (x + 4)x + 2)(x + 1)x −1)
()x 3) - + 2
Polinomia del grado 6:
f()x) = 1/100x6 − 2x 5 − 26 -x4 + 28x3
+ 145x2 − 26 -x 80 - 80
Polinomia del grado 7:
f()x) =x 3) -x − 2)x − 1)x)x + 1)x + 2)
()x + 3)
Una función polinomial en una variable real se puede representar mediante un gráfico.
- El gráfico del polinomio cero
f()x) = 0es x-Eje.
- El gráfico de un grado 0 polinomio
f()x) a0, donde a0 ل 0,es una línea horizontal con Sí.- interceptación a0
- El gráfico de un grado 1 polinomio (o función lineal)
f()x) a0 + a1x, donde a1 ل 0,es una línea oblicua con Sí.- interceptación a0 and slope a1.
- El gráfico de un grado 2 polinomio
f()x) a0 + a1x + a2x2, donde a2 ل 0es una parabola.
- El gráfico de un grado 3 polinomio
f()x) a0 + a1x + a2x2 + a3x3, donde a3 ل 0es una curva cúbica.
- El gráfico de cualquier polinomio con grado 2 o mayor
f()x) a0 + a1x + a2x2 + ⋯ + anxn, donde an ل 0 y n ≥ 2es una curva continua no lineal.
Una función polinomial no constante tiende al infinito cuando la variable aumenta indefinidamente (en valor absoluto). Si el grado es mayor que uno, la gráfica no tiene asíntota. Tiene dos ramas parabólicas con dirección vertical (una rama para x positivo y otra para x negativo).
Los gráficos de polinomios se analizan en cálculo utilizando intersecciones, pendientes, concavidad y comportamiento final.
Ecuaciones
Una
Por ejemplo,
es una ecuación polinomial.
Al considerar ecuaciones, las indeterminadas (variables) de los polinomios también se denominan incógnitas, y las soluciones son los posibles valores de las incógnitas para las que la igualdad es verdadera (en general, puede haber más de una solución). existir). Una ecuación polinómica contrasta con una identidad polinómica como (x + y)(x − y) = x2 − y2, donde ambas expresiones representan el mismo polinomio en diferentes formas, y como consecuencia cualquier evaluación de ambos miembros da una igualdad válida.
En álgebra elemental, se enseñan métodos como la fórmula cuadrática para resolver todas las ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado en una variable. También hay fórmulas para las ecuaciones cúbicas y cuárticas. Para grados superiores, el teorema de Abel-Ruffini afirma que no puede existir una fórmula general en los radicales. Sin embargo, los algoritmos de búsqueda de raíces se pueden usar para encontrar aproximaciones numéricas de las raíces de una expresión polinomial de cualquier grado.
El número de soluciones de una ecuación polinomial con coeficientes reales no puede exceder el grado, y es igual al grado cuando se cuentan las soluciones complejas con su multiplicidad. Este hecho se llama el teorema fundamental del álgebra.
Resolver ecuaciones
Una raíz de un polinomio univariado distinto de cero P es un valor a de x tal que < i>P(a) = 0. En otras palabras, una raíz de P es una solución de la ecuación polinómica P (x) = 0 o un cero de la función polinomial definida por P. En el caso del polinomio cero, cada número es un cero de la función correspondiente y rara vez se considera el concepto de raíz.
Un número a es una raíz de un polinomio P si y solo si el polinomio lineal x − a divide a P , es decir, si hay otro polinomio Q tal que P = (x − a) Q. Puede ocurrir que una potencia (mayor que 1) de x − a< /span> divide P; en este caso, a es una raíz múltiple de P, y de lo contrario a es una raíz simple de < i>P. Si P es un polinomio distinto de cero, existe una potencia máxima m tal que (x − a)m divide P, que se llama la multiplicidad de a como raíz de P. El número de raíces de un polinomio distinto de cero P, contadas con sus respectivas multiplicidades, no puede exceder el grado de P, y es igual a este grado si se consideran todas las raíces complejas (esto es una consecuencia del teorema fundamental del álgebra). Los coeficientes de un polinomio y sus raíces están relacionados por las fórmulas de Vieta.
Algunos polinomios, como x2 + 1, no tienen raíces entre los números reales. Sin embargo, si el conjunto de soluciones aceptadas se expande a los números complejos, cada polinomio no constante tiene al menos una raíz; este es el teorema fundamental del álgebra. Al dividir sucesivamente los factores x − a, se ve que cualquier polinomio con coeficientes complejos se puede escribir como una constante (su coeficiente principal) por un producto de tales factores polinómicos de grado 1; como consecuencia, el número de raíces (complejas) contadas con sus multiplicidades es exactamente igual al grado del polinomio.
Puede haber varios significados de "solver una ecuación". Uno puede querer expresar las soluciones como números explícitos; por ejemplo, la solución única 2x − 1 = 0 es 1/2. Desafortunadamente, esto es, en general, imposible para las ecuaciones de grado mayor que uno, y, desde los tiempos antiguos, los matemáticos han buscado para expresar las soluciones como expresiones algebraicas; por ejemplo, la relación de oro es la solución positiva única En los tiempos antiguos, sólo tuvieron éxito por grados uno y dos. Para las ecuaciones cuadráticas, la fórmula cuadrática proporciona tales expresiones de las soluciones. Desde el siglo XVI, fórmulas similares (usando raíces cubo además de raíces cuadradas), aunque mucho más complicadas, son conocidas por ecuaciones del grado tres y cuatro (ver ecuación cúbica y ecuación cuartic). Pero fórmulas para el grado 5 y investigadores eludieron más alto durante varios siglos. En 1824, Niels Henrik Abel demostró el resultado llamativo de que hay ecuaciones del grado 5 cuyas soluciones no pueden ser expresadas por una fórmula (finita), que implica solamente operaciones aritméticas y radicales (véase Abel–Ruffini teorema). En 1830, Évariste Galois demostró que la mayoría de las ecuaciones de grado superior a cuatro no pueden ser resueltas por los radicales, y mostró que para cada ecuación, uno puede decidir si es solvable por los radicales, y, si lo es, resolverlo. Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois y la teoría del grupo, dos ramas importantes del álgebra moderna. Galois mismo señaló que las computaciones implicadas por su método eran impracticables. Sin embargo, se han publicado fórmulas para ecuaciones solvables de grados 5 y 6 (ver función quinética y ecuación sexta).
Cuando no existe una expresión algebraica para las raíces, y cuando dicha expresión algebraica existe pero es demasiado complicada para ser útil, la única forma de resolverla es calcular aproximaciones numéricas de las soluciones. Hay muchos métodos para eso; algunos están restringidos a polinomios y otros pueden aplicarse a cualquier función continua. Los algoritmos más eficientes permiten resolver fácilmente (en una computadora) ecuaciones polinómicas de grado superior a 1000 (ver Algoritmo de búsqueda de raíces).
Para polinomios con más de un indeterminado, las combinaciones de valores para las variables para las que la función polinomial toma el valor cero generalmente se denominan ceros en lugar de "raíces". El estudio de los conjuntos de ceros de los polinomios es objeto de la geometría algebraica. Para un conjunto de ecuaciones polinómicas con varias incógnitas, existen algoritmos para decidir si tienen un número finito de soluciones complejas y, si este número es finito, para calcular las soluciones. Ver Sistema de ecuaciones polinómicas.
El caso especial en el que todos los polinomios son de grado uno se denomina sistema de ecuaciones lineales, para el que existe otra gama de métodos de solución diferentes, incluida la eliminación clásica de Gauss.
Una ecuación polinomial para la cual uno está interesado solo en las soluciones que son números enteros se llama ecuación diofántica. Resolver ecuaciones diofánticas es generalmente una tarea muy difícil. Se ha demostrado que no puede haber ningún algoritmo general para resolverlos, ni siquiera para decidir si el conjunto de soluciones está vacío (ver el décimo problema de Hilbert). Algunos de los problemas más famosos que se han resuelto durante los últimos cincuenta años están relacionados con las ecuaciones diofánticas, como el último teorema de Fermat.
Expresiones polinómicas
Los polinomios donde los indeterminados se sustituyen por algunos otros objetos matemáticos a menudo se consideran y, a veces, tienen un nombre especial.
Polinomios trigonométricos
Un polinomio trigonométrico es una combinación lineal finita de funciones sin(nx) y cos(nx) con n tomando los valores de uno o varios números naturales. Los coeficientes pueden tomarse como números reales, para funciones con valores reales.
Si sin(nx) y cos(nx) se expanden en términos de sin(x) y cos(x ), un polinomio trigonométrico se convierte en un polinomio en las dos variables sin(x) y cos(x) (usando Lista de identidades trigonométricas#Fórmulas de ángulos múltiples). Por el contrario, cada polinomio en sin(x) y cos(x) se puede convertir, con identidades de producto a suma, en una combinación lineal de funciones sin(nx) y cos(nx). Esta equivalencia explica por qué las combinaciones lineales se llaman polinomios.
Para coeficientes complejos, no hay diferencia entre dicha función y una serie finita de Fourier.
Los polinomios trigonométricos se utilizan mucho, por ejemplo, en la interpolación trigonométrica aplicada a la interpolación de funciones periódicas. También se utilizan en la transformada discreta de Fourier.
Matrices de polinomios
Un polinomio matricial es un polinomio con matrices cuadradas como variables. Dado un polinomio ordinario de valor escalar
este polinomio evaluado en una matriz A es
donde I es la matriz identidad.
Una ecuación polinomial matricial es una igualdad entre dos polinomios matriciales, que se cumple para las matrices específicas en cuestión. Una identidad polinomial matricial es una ecuación polinomial matricial que se cumple para todas las matrices A en un anillo matricial especificado Mn (R).
Polinomios exponenciales
Un polinomio bivariado donde la segunda variable se sustituye por una función exponencial aplicada a la primera variable, por ejemplo P(x, ex), puede llamarse un polinomio exponencial.
Conceptos relacionados
Funciones racionales
Una fracción racional es el cociente (fracción algebraica) de dos polinomios. Cualquier expresión algebraica que se pueda reescribir como una fracción racional es una función racional.
Mientras que las funciones polinómicas se definen para todos los valores de las variables, una función racional se define solo para los valores de las variables para las que el denominador no es cero.
Las fracciones racionales incluyen los polinomios de Laurent, pero no limitan los denominadores a potencias de un indeterminado.
Polinomios de Laurent
Los polinomios de Laurent son como los polinomios, pero permiten que ocurran potencias negativas de la(s) variable(s).
Serie de potencia
Las series de potencias formales son como polinomios, pero permiten que ocurran una cantidad infinita de términos distintos de cero, por lo que no tienen un grado finito. A diferencia de los polinomios, en general no se pueden escribir explícita y completamente (al igual que los números irracionales), pero las reglas para manipular sus términos son las mismas que para los polinomios. Las series de potencias no formales también generalizan polinomios, pero es posible que la multiplicación de dos series de potencias no converja.
Anillo de polinomio
A polinomios f sobre un anillo conmutativo R es un polinomio a todos cuyos coeficientes pertenecen R. Es sencillo verificar que los polinomios en un conjunto dado de indeterminados sobre R forma un anillo conmutativo, llamado el Anillo polinomio en estos indeterminados, denotados en el caso univariado y en el caso multivariable.
![R[x]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce54622cb380383ab3a42441b056626ea0d2440)
![{displaystyle R[x_{1},ldotsx_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c388e003e234e12fb55533e35a211c8cf295e5)
Uno tiene
![{displaystyle R[x_{1},ldotsx_{n}]=left(R[x_{1},ldotsx_{n-1}]right)[x_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0bbfe1bccac6aa10e3a7daba9b95381c6f05bd)
Entonces, la mayor parte de la teoría del caso multivariante se puede reducir a un caso univariante iterado.
El mapa de R a R[x] enviando r a sí mismo considerado como un polinomio constante es un homomorfismo de anillo inyectivo, por el cual R se ve como un subanillo de R[x]. En particular, R[x] es un álgebra sobre R< /i>.
Se puede pensar que el anillo R[x] surge de R añadiendo un nuevo elemento x a R, y extendiendo de forma mínima a un anillo en el que x no satisface otras relaciones que las obligatorias, además de la conmutación con todos los elementos de R (es decir, xr = rx). Para hacer esto, se deben sumar todas las potencias de x y también sus combinaciones lineales.
La formación del anillo de polinomios, junto con la formación de anillos de factores mediante la factorización de ideales, son herramientas importantes para construir nuevos anillos a partir de los conocidos. Por ejemplo, el anillo (de hecho campo) de números complejos, que se puede construir a partir del anillo polinomial R[x] sobre los números reales factorizando el ideal de múltiplos del polinomio x2 + 1. Otro ejemplo es la construcción de campos finitos, que procede de manera similar, comenzando con el campo de los números enteros módulo algún número primo como el anillo de coeficientes R (ver aritmética modular).
Si R es conmutativo, entonces uno puede asociar con cada polinomio P en R[x] una función polinómica f con dominio y rango igual a R. (De manera más general, se puede considerar que el dominio y el rango son cualquier álgebra asociativa unitaria sobre R). Se obtiene el valor f(r) por sustitución del valor r por el símbolo x en P. Una razón para distinguir entre polinomios y funciones polinómicas es que, en algunos anillos, diferentes polinomios pueden dar lugar a la misma función polinomial (consulte el pequeño teorema de Fermat para ver un ejemplo donde R es el módulo entero p). Este no es el caso cuando R son los números reales o complejos, por lo que los dos conceptos no siempre se distinguen en el análisis. Una razón aún más importante para distinguir entre polinomios y funciones polinómicas es que muchas operaciones en polinomios (como la división euclidiana) requieren ver de qué se compone un polinomio como una expresión en lugar de evaluarlo en algún valor constante para x.
Divisibilidad
Si R es un dominio integral y f y g son polinomios en R[x], se dice que f divideciones g o f es un divisor de g si existe un polinomio q dentro R[x] tales que f q = g. Si entonces a es una raíz de f si y sólo divideciones f. En este caso, el cociente se puede computar usando la división polinomial larga.
Si F es un campo y f y < span class="texhtml">g son polinomios en F[x] con g ≠ 0, entonces existen polinomios únicos q y r en F[x]< /span> con
y tal que el grado de r es menor que el grado de g (usando la convención de que el polinomio 0 tiene un grado negativo). Los polinomios q y r están determinados únicamente por f y g. Esto se llama división euclidiana, división con resto o división polinomial larga y muestra que el anillo F[< i>x] es un dominio euclidiano.
De manera análoga, polinomios primos (más correctamente, polinomios irreducibles) se pueden definir como polinomios distintos de cero que no se pueden factorizar en el producto de dos polinomios distintos de cero. polinomios constantes. En el caso de coeficientes en un anillo, "no constante" debe ser reemplazado por "no constante o no unidad" (ambas definiciones concuerdan en el caso de coeficientes en un campo). Cualquier polinomio puede descomponerse en el producto de una constante invertible por un producto de polinomios irreducibles. Si los coeficientes pertenecen a un campo oa un único dominio de factorización esta descomposición es única hasta el orden de los factores y la multiplicación de cualquier factor no unitario por una unidad (y división del factor unitario por la misma unidad). Cuando los coeficientes pertenecen a números enteros, números racionales o un campo finito, existen algoritmos para probar la irreductibilidad y calcular la factorización en polinomios irreducibles (ver Factorización de polinomios). Estos algoritmos no son prácticos para el cálculo escrito a mano, pero están disponibles en cualquier sistema de álgebra computacional. El criterio de Eisenstein también se puede utilizar en algunos casos para determinar la irreductibilidad.
Aplicaciones
Notación posicional
En los sistemas modernos de números posicionales, como el sistema decimal, los dígitos y sus posiciones en la representación de un número entero, por ejemplo, 45, son una notación abreviada para un polinomio en la raíz o base, en este caso, < span class="nowrap">4 × 101 + 5 × 100. Como otro ejemplo, en base 5, una cadena de dígitos como 132 denota el número (decimal) 1 × 52 + 3 × 51 + 2 × 50 = 42. Esta representación es única. Sea b un entero positivo mayor que 1. Entonces cada entero positivo a se puede expresar de forma única en la forma
donde m es un número entero no negativo y las r's son números enteros tales que
- 0 rm. b y 0 ≤ ri. b para i = 0, 1,... m − 1.
Interpolación y aproximación
La estructura simple de las funciones polinómicas las hace bastante útiles para analizar funciones generales usando aproximaciones polinómicas. Un ejemplo importante en cálculo es el teorema de Taylor, que establece aproximadamente que toda función diferenciable localmente parece una función polinomial, y el teorema de Stone-Weierstrass, que establece que toda función continua definida en un intervalo compacto del eje real puede aproximarse en todo el intervalo tan estrechamente como se desee mediante una función polinomial. Los métodos prácticos de aproximación incluyen la interpolación de polinomios y el uso de splines.
Otras aplicaciones
Los polinomios se utilizan con frecuencia para codificar información sobre algún otro objeto. El polinomio característico de una matriz o un operador lineal contiene información sobre los valores propios del operador. El polinomio mínimo de un elemento algebraico registra la relación algebraica más simple satisfecha por ese elemento. El polinomio cromático de un gráfico cuenta el número de colores propios de ese gráfico.
El término "polinomio", como adjetivo, también se puede usar para cantidades o funciones que se pueden escribir en forma de polinomio. Por ejemplo, en la teoría de la complejidad computacional, la frase tiempo polinomial significa que el tiempo que lleva completar un algoritmo está limitado por una función polinomial de alguna variable, como el tamaño de la entrada.
Historia
Determinar las raíces de polinomios, o "resolver ecuaciones algebraicas", es uno de los problemas matemáticos más antiguos. Sin embargo, la notación elegante y práctica que usamos hoy solo se desarrolló a partir del siglo XV. Antes de eso, las ecuaciones se escribían con palabras. Por ejemplo, un problema de álgebra de la Aritmética china en nueve secciones, alrededor del año 200 a. C., comienza: "Tres gavillas de buena cosecha, dos gavillas de cosecha mediocre y una gavilla de mala cosecha se venden por 29 dou".; Escribiríamos 3x + 2y + z = 29.
Historia de la notación
El primer uso conocido del signo igual se encuentra en The Whetstone of Witte de Robert Recorde, 1557. Los signos + para la suma, − para la resta y el uso de una letra para una incógnita aparece en Arithemetica integra de Michael Stifel, 1544. René Descartes, en La géometrie, 1637, introdujo el concepto del gráfico de una ecuación polinomial. Popularizó el uso de letras desde el principio del alfabeto para denotar constantes y letras desde el final del alfabeto para denotar variables, como se puede ver arriba, en la fórmula general para un polinomio en una variable, donde a's denota constantes y x denota una variable. Descartes también introdujo el uso de superíndices para denotar exponentes.
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