Polilogaritmo

En matemáticas, el polilogaritmo (también conocido como función de Jonquière, por Alfred Jonquière) es una función especial Li _s(z) de orden s y argumento z. Sólo para valores especiales de s el polilogaritmo se reduce a una función elemental como el logaritmo natural o una función racional. En estadística cuántica, la función polilogaritmo aparece como la forma cerrada de las integrales de la distribución de Fermi-Dirac y la distribución de Bose-Einstein, y también se conoce como integral de Fermi-Dirac o integral de Bose. –Integral de Einstein. En electrodinámica cuántica, los polilogaritmos de orden entero positivo surgen en el cálculo de procesos representados por diagramas de Feynman de orden superior.

La función polilogaritmo es equivalente a la función zeta de Hurwitz (cualquiera de las funciones puede expresarse en términos de la otra) y ambas funciones son casos especiales de la trascendente de Lerch. Los polilogaritmos no deben confundirse con funciones polilogarítmicas, ni con la integral logarítmica desplazada Li(z), que tiene la misma notación sin el subíndice.

• Diferentes funciones de polilogaritmo en el plano complejo
• 

  Li _-3()z)

• 

  Li _-2()z)

• 

  Li _-1()z)

• 

  Li₀()z)

• 

  Li₁()z)

• 

  Li₂()z)

• 

  Li₃()z)

La función polilogaritmo está definida por una serie de potencias en z, que también es una serie de Dirichlet en s:

${displaystyle operatorname {Li} _{s}=sum _{k=1}{infty }{z^{k} over k^{s}=z+{2} over 2^{s}}+{z^{3} over 3^{s}}+cdots }$

Esta definición es válida para orden complejo arbitrario s y para todos los argumentos complejos z con | z| < 1; se puede extender a |z| ≥ 1 por el proceso de continuación analítica. (Aquí el denominador k^s se entiende como exp(< i>s ln k)). El caso especial s = 1 involucra el logaritmo natural ordinario, Li₁(< i>z) = −ln(1−z), mientras que los casos especiales s = 2 y s = 3 se denominan dilogaritmo (también conocido como función de Spence) y trilogaritmo respectivamente. El nombre de la función proviene del hecho de que también puede definirse como la integral repetida de sí misma:

${displaystyle operatorname {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {f}}} {f}}}}}} {f}} {f}}}}}}}} {f}} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

por lo tanto, el dilogaritmo es una integral de una función que involucra el logaritmo, y así sucesivamente. Para órdenes de enteros no positivos s, el polilogaritmo es una función racional.

Propiedades

En el caso en que la orden ${displaystyle s}$ es un entero, será representado por ${displaystyle s=n}$ (o ${displaystyle S=-n$ cuando negativo). A menudo es conveniente definir ${displaystyle mu =ln(z)}$ Donde ${displaystyle ln(z)}$ es la rama principal del complejo logarithm ${displaystyle operatorname {Ln} (z)}$ así ${displaystyle - 'pi' significa 'operatorname {Im} (mu)leq pi.}$ Además, se asumirá que toda manifestación será valorada por un solo valor: ${displaystyle z^{s}=exp(sln(z)). }$

Dependiendo de la orden ${displaystyle s}$, el polilogaritmo puede ser multivalorizado. El rama principal de ${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)}$ se ha tomado ${displaystyle Silencioz habit1}$ por la definición de serie anterior y tomada para ser continua excepto en el eje real positivo, donde se hace un corte ${displaystyle z=1}$ a ${displaystyle infty }$ tal que el eje se coloca en el medio plano inferior ${displaystyle z}$. En términos de ${displaystyle mu }$, esto equivale a ${displaystyle -pi > = > {mu)leqpi}$. La discontinuidad del polilogaritmo en dependencia de ${displaystyle mu }$ a veces puede ser confuso.

Para un argumento real ${displaystyle z}$, el polilogaritmo de orden real ${displaystyle s}$ es real si ${displaystyle z 0}$, y su parte imaginaria por ${displaystyle zgeq 1}$ (Wood 1992, § 3):

$${displaystyle operatorname {Im} left(operatorname {Li} _{s}(z)right)=-{pi mu ^{s-1}} over {Gamma (s)}}}$$

Atravesando el corte, si ε es un número real positivo infinitamente pequeño, entonces:

$${displaystyle operatorname {Im} left(operatorname {Li} _{s}(z+iepsilon)right)={pi mu ^{s-1}} over {Gamma (s)}}}$$

Ambos pueden concluirse a partir de la expansión en serie (ver más abajo) de Li_s(e^μ) aproximadamente µ = 0.

Las derivadas del polilogaritmo se derivan de la serie de potencias definitoria:

$${displaystyle z{frac {partial operatorname {Li} _{s}{partial}{ ¿Qué?$$

$${displaystyle {frac {partial operatorname {Li} _{s}(e^{mu }}{partial mu }=operatorname {Li} _{s-1}(e^{mu }}$$

La relación cuadrática se ve en la definición de la serie y está relacionada con la fórmula de duplicación (ver también Clunie (1954), Schrödinger (1952)):

$${displaystyle operatorname {Li} _{s}(-z)+operatorname {Li} _{s}(z)=2^{1-s}operatorname {Li} _{s}(z^{2}). }$$

La función de Kummer obedece a una fórmula de duplicación muy similar. Este es un caso especial de la fórmula de multiplicación, para cualquier entero positivo p:

$${displaystyle sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

que se puede demostrar utilizando la definición de serie del polilogaritmo y la ortogonalidad de los términos exponenciales (ver, por ejemplo, transformada discreta de Fourier).

Otra propiedad importante, la fórmula de inversión, involucra la función zeta de Hurwitz o los polinomios de Bernoulli y se encuentra en relación con otras funciones a continuación.

Valores particulares

Para casos particulares, el polilogaritmo se puede expresar en términos de otras funciones (ver más abajo). Por tanto, también se pueden encontrar valores particulares para el polilogaritmo como valores particulares de estas otras funciones.

1. For integer values of the polylogarithm order, the following explicit expressions are obtained by repeated application of z·∂/∂z to Li₁(z):
   $${displaystyle operatorname {Li} _{1}(z)=-ln(1-z)}$$

   
   $${displaystyle operatorname {Li} _{0}(z)={z over 1-z}}$$

   
   $${displaystyle operatorname {Li} _{-1}(z)={z over (1-z)^{2}}}$$

   
   $${displaystyle operatorname {Li} _{-2}(z)={z(1+z) over (1-z)^{3}}}$$

   
   $${displaystyle operatorname {Li} _{-3}(z)={z(1+4z+z^{2}) over (1-z)^{4}}}$$

   
   $${displaystyle operatorname {Li} _{-4}(z)={z(1+z)(1+10z+z^{2}) over (1-z)^{5}}.}$$

   
   Accordingly the polylogarithm reduces to a ratio of polynomials in z, and is therefore a rational function of z, for all nonpositive integer orders. The general case may be expressed as a finite sum:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{-n}(z)=left(z{partial over partial z}right)^{n}{z over {1-z}}=sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)left({z over {1-z}}right)^{k+1}qquad (n=0,1,2,ldots),}$$

   
   where S(n,k) are the Stirling numbers of the second kind. Equivalent formulae applicable to negative integer orders are (Wood 1992, § 6):
   $${displaystyle operatorname {Li} _{-n}(z)=(-1)^{n+1}sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)left({{-1} over {1-z}}right)^{k+1}qquad (n=1,2,3,ldots),}$$

   
   and:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{-n}(z)={1 over (1-z)^{n+1}}sum _{k=0}^{n-1}leftlangle {n atop k}rightrangle z^{n-k}qquad (n=1,2,3,ldots),}$$

   
   where ${displaystyle scriptstyle leftlangle {n atop k}rightrangle }$ are the Eulerian numbers. All roots of Li_−n(z) are distinct and real; they include z = 0, while the remainder is negative and centered about z = −1 on a logarithmic scale. As n becomes large, the numerical evaluation of these rational expressions increasingly suffers from cancellation (Wood 1992, § 6); full accuracy can be obtained, however, by computing Li_−n(z) via the general relation with the Hurwitz zeta function (see below).
2. Some particular expressions for half-integer values of the argument z are:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{1}({tfrac {1}{2}})=ln 2}$$

   
   $${displaystyle operatorname {Li} _{2}({tfrac {1}{2}})={tfrac {1}{12}}pi ^{2}-{tfrac {1}{2}}(ln 2)^{2}}$$

   
   $${displaystyle operatorname {Li} _{3}({tfrac {1}{2}})={tfrac {1}{6}}(ln 2)^{3}-{tfrac {1}{12}}pi ^{2}ln 2+{tfrac {7}{8}}zeta (3),}$$

   
   where ζ is the Riemann zeta function. No formulae of this type are known for higher integer orders (Lewin 1991, p. 2), but one has for instance (Borwein, Borwein & Girgensohn 1995):
   $${displaystyle operatorname {Li} _{4}({tfrac {1}{2}})={tfrac {1}{360}}pi ^{4}-{tfrac {1}{24}}(ln 2)^{4}+{tfrac {1}{24}}pi ^{2}(ln 2)^{2}-{tfrac {1}{2}}zeta ({bar {3}},{bar {1}}),}$$

   
   which involves the alternating double sum
   $${displaystyle zeta ({bar {3}},{bar {1}})=sum _{m>n>0}(-1)^{m+n}m^{-3}n^{-1}.}$$

   
   In general one has for integer orders n ≥ 2 (Broadhurst 1996, p. 9):
   $${displaystyle operatorname {Li} _{n}({tfrac {1}{2}})=-zeta ({bar {1}},{bar {1}},left{1right}^{n-2}),}$$

   
   where ζ(s₁, …, s_k) is the multiple zeta function; for example:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{5}({tfrac {1}{2}})=-zeta ({bar {1}},{bar {1}},1,1,1).}$$

   
3. As a straightforward consequence of the series definition, values of the polylogarithm at the pth complex roots of unity are given by the Fourier sum:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(e^{2pi im/p})=p^{-s}sum _{k=1}^{p}e^{2pi imk/p}zeta (s,{tfrac {k}{p}})qquad (m=1,2,dotsp-1),}$$

   
   where ζ is the Hurwitz zeta function. For Re(s) > 1, where Li_s(1) is finite, the relation also holds with m = 0 or m = p. While this formula is not as simple as that implied by the more general relation with the Hurwitz zeta function listed under relationship to other functions below, it has the advantage of applying to non-negative integer values of s as well. As usual, the relation may be inverted to express ζ(s, ^m⁄_p) for any m = 1, …, p as a Fourier sum of Li_s(exp(2πi ^k⁄_p)) over k = 1, …, p.

Relación con otras funciones

• Para z = 1, el polilogaritmo se reduce a la función Riemann zeta
  $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(1)=zeta (s)qquad (operatorname {Re} (s) prenda1). }$$

  
• El polilogaritmo está relacionado con la función Dirichlet eta y la función Dirichlet beta:
  $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(-1)=-eta (s),}$$

  
  Donde .()s) es la función Dirichlet eta. Para argumentos imaginarios puros, tenemos:
  $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(pm i)=-2^{-s}eta (s)pm ibeta (s),}$$

  
  Donde β()s) es la función Dirichlet beta.
• El polilogaritmo está relacionado con el completo Fermi-Dirac integral como:
  $${displaystyle F_{s}(mu)=-operatorname {Li} _{s+1}(-e^{mu }}$$

  
• El polilogaritmo es un caso especial de la función de polilogaritmo incompleta
  $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)=operatorname {Li} _{s}(0,z). }$$

  
• El polilogaritmo es un caso especial del trascendente Lerch (Erdélyi et al. 1981, § 1.11-14)
  $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)=zPhi (z,s,1). }$$

  
• El polilogaritmo está relacionado con la función Hurwitz zeta por:

$${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)={Gamma (1-s) over (2pi)^{1-s}}left[i^{1-s}zeta left(1-s,{frac {1}{2}}+{ln(-z) over {2pi i}right)+i^{s-1}~zeta left(1-s,{frac {1} {2}-{ln(-z) over {2pi i}right)}right],}}}} {2}{2i}}}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {dere)}}}}}}}}}}} {dere}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

cuya relación, sin embargo, queda invalidada en el entero positivo s por los polos de la función gamma Γ(1 − s), y en s = 0 por un polo de ambas funciones zeta; se proporciona una derivación de esta fórmula en las representaciones en serie que aparecen a continuación. Con un poco de ayuda de una ecuación funcional para la función zeta de Hurwitz, el polilogaritmo también está relacionado con esa función a través de (Jonquière 1889):

$${displaystyle i^{-s}operatorname ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Li} _{s}(e^{-2pi ix}={(2pi)^{s} over Gamma (s)}zeta (1-s,x),}$$

¿Qué relación se cumple para 0 ≤ Re(x) < 1 si Im(x) ≥ 0, y para 0 < Re(x) ≤ 1 si Im(x) < 0. De manera equivalente, para todos los s complejos y para los z complejos ∉ ]0;1], la fórmula de inversión dice

$${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2pi i)^{s} over Gamma (s)}~zeta left(1-s,~{2}}}+{ln {ccc}c}c}c}c}c}c}cc}c]c}c}c}c}ccccH00}c]cH00}cH00}c]cH00}cH00}c}c}cH00}cH00}cH00}cH00}ccH00}cH00}ccH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}$$

y para todos los s complejos y para los z complejos ∉ ]1;∞[

$${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2pi i)^{s} over Gamma (s)}~zeta left(1-s,~{2} {2}}-{ln(-1/z)} {i} {i} {f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}fnfnfnfnfnfnfnfnf}f}fnun}fnfnf}f}fnf}fnf}f}}fn }$$

Para z ∉ ]0;∞[, uno tiene ln(−z) = −ln(−¹⁄ _z), y ambas expresiones concuerdan. Estas relaciones proporcionan la continuación analítica del polilogaritmo más allá del círculo de convergencia |z| = 1 de la serie de potencias definitoria. (La ecuación correspondiente de Jonquière (1889, eq. 5) y Erdélyi et al. (1981, § 1.11-16) no es correcta si se supone que las ramas principales del polilogaritmo y el logaritmo se utilizan simultáneamente). Véase la siguiente elemento para una fórmula simplificada cuando s es un número entero.

• Para pedidos de polilogaritmos enteros positivos s, la función Hurwitz zeta.s, x) reduce a los polinomios Bernoulli, razón(1−n, x) = −B_n()x) n, y la fórmula de inversión de Jonquière para n = 1, 2, 3,... se convierte en:

$${displaystyle operatorname {Li} _{n}(e^{2pi ix})+(-1)^{n}operatorname {Li} _{n}(e^{-2pi ix})=-{(2pi i)^{n}over n}B_{n}(x),}}$$

donde nuevamente 0 ≤ Re(x) < 1 si Im(x) ≥ 0 y 0 < Re(x) ≤ 1 si Im(x) < 0. Al restringir el argumento del polilogaritmo al círculo unitario, Im(x) = 0, el lado izquierdo de esta fórmula se simplifica a 2 Re(Li_n(e^2πix)) si n es par, y a 2 i Soy(Li_n(e^2πix)) si n es impar. Por otro lado, para órdenes de enteros negativos, la divergencia de Γ(s) implica para todo z que (Erdélyi et al. 1981, § 1.11-17):

$${displaystyle operatorname [Li] _{-n}(z)+(-1)^{n}operatorname {Li} _{-n}(1/z)=0qquad (n=1,2,3,ldots).}$$

Más generalmente, uno tiene para n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... :

$${displaystyle operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}operatorname {fn} {fn}}B_{n}n}n}n}n}n}n}eft({fracfn} {1}{2}+{ln(-z) over {2pi i}right)qquad (znot in ]0;1]),}$$

$${displaystyle operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}operatorname {fn} {fn}}B_{n}n}n}n}n}n}n}eft({fracfn} {1}{2}-{ln(-1/z) over {2pi i}right)qquad (znot in ~]1;infty [),}$$

donde ambas expresiones concuerdan para z ∉ ]0;∞[. (La ecuación correspondiente de Jonquière (1889, eq. 1) y Erdélyi et al. (1981, § 1.11-18) nuevamente no es correcta.)

• El polilogaritmo con puro imaginario μ se puede expresar en términos de las funciones de Clausen Ci_s(θ) and Si_s(θ), y viceversa (Lewin 1958, Ch. VII § 1.4; Abramowitz " Stegun 1972, § 27.8):

$${displaystyle operatorname {Li} _{s}(e^{pm itheta)=Ci_{s}(theta)pm iSi_{s}(theta). }$$

• La inversa tangente integral Ti_s()z) (Lewin 1958, Ch. VII § 1.2) se puede expresar en términos de polilogaritmos:

$${displaystyle operatorname {Ti} _{s}(z)={1 over 2i}left [operatorname {Li} _{s}(iz)-operatorname {Li} _{s}(-iz)right].}$$

La relación en particular implica:

$${displaystyle operatorname {Ti} _{0}(z)={z over 1+z^{2}},quad operatorname {Ti} _{1}(z)=arctan z,quad operatorname [Ti] _{2}(z)=int ## {0}{z}{arctan t over t}dt,quad ldots ~quad operatorname {fn} {fn} {fnK} {fnMicroc {fnh} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}}} {cHFF}} {cHFF}}} {cHFF} {f}}}} {fn}}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

que explica el nombre de la función.

• La función Legendre chi χ_s()z) (Lewin 1958, Ch. VII § 1.1; Boersma " Dempsey 1992) se puede expresar en términos de polilogaritmos:

$${displaystyle chi _{s}(z)={tfrac {1}{2}left [fnMiembro {fnMientras)fnuncio {Li} _{s}(-z)right].}$$

• El polilogaritmo de orden entero se puede expresar como una función hipergeométrica generalizada:

$${displaystyle operatorname {Li} _{n}(z)=z_{n+1}F_{n}(1,dots1;2,dots2;z)qquad (n=0,1,2,ldots),}$$

$${displaystyle operatorname {Li} _{-n}(z)=z_{n}F_{n-1}(2,dots2;1,dots1;z)qquad (n=1,2,3,ldots)~.}$$

• En términos de las funciones incompletas de zeta o "funciones de despedida" (Abramowitz & Stegun 1972, § 27.1):

$${displaystyle Z_{n}(z)={1over (n-1)}int _{z}^{infty }{t^{n-1} over e^{t}-1}dtqquad (n=1,2,3,ldots),}$$

el polilogaritmo Li_n(z) para un entero positivo n puede expresarse como la suma finita (Wood 1992, § 16):

$${displaystyle operatorname {Li} _{n}(e^{mu })=sum _{k=0}{n-1}Z_{n-k}(-mu){mu ^{k}over k!}qquad (n=1,2,3,ldots).}$$

Una expresión notablemente similar relaciona las "funciones Debye" Z_n(z) al polilogaritmo:

$${displaystyle Z_{n}(z)=sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Li} ¿Por qué?$$

• Usando la serie Lambert, si ${displaystyle J_{s}(n)}$ es la función totiente de Jordan, entonces

$${displaystyle sum _{n=1}{infty}{frac {z^{n}J_{-s}(n) # {1-z^{n}=fone {Li} _{s}(z). }$$

Representaciones integrales

Cualquiera de las siguientes representaciones integrales proporciona la continuación analítica del polilogaritmo más allá del círculo de convergencia |z| = 1 de la serie de potencias definitoria.

1. The polylogarithm can be expressed in terms of the integral of the Bose–Einstein distribution:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)={1 over Gamma (s)}int _{0}^{infty }{t^{s-1} over e^{t}/z-1}dt.}$$

   
   This converges for Re(s) > 0 and all z except for z real and ≥ 1. The polylogarithm in this context is sometimes referred to as a Bose integral but more commonly as a Bose–Einstein integral. Similarly, the polylogarithm can be expressed in terms of the integral of the Fermi–Dirac distribution:
   $${displaystyle -operatorname {Li} _{s}(-z)={frac {1}{Gamma (s)}}int _{0}^{infty }{t^{s-1} over e^{t}/z+1}dt.}$$

   
   This converges for Re(s) > 0 and all z except for z real and ≤ −1. The polylogarithm in this context is sometimes referred to as a Fermi integral or a Fermi–Dirac integral (GSL 2010). These representations are readily verified by Taylor expansion of the integrand with respect to z and termwise integration. The papers of Dingle contain detailed investigations of both types of integrals. The polylogarithm is also related to the integral of the Maxwell–Boltzmann distribution:
   $${displaystyle lim _{zto 0}{frac {operatorname {Li} _{s}(z)}{z}}={1 over Gamma (s)}int _{0}^{infty }{t^{s-1}e^{-t}}dt=1.}$$

   
   This also gives the asymptotic behavior of polylogarithm at the vicinity of origin.
2. A complementary integral representation applies to Re(s) < 0 and to all z except to z real and ≥ 0:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)=int _{0}^{infty }{t^{-s}sin[spi /2-tln(-z)] over sinh(pi t)}dt.}$$

   
   This integral follows from the general relation of the polylogarithm with the Hurwitz zeta function (see above) and a familiar integral representation of the latter.
3. The polylogarithm may be quite generally represented by a Hankel contour integral (Whittaker & Watson 1927, § 12.22, § 13.13), which extends the Bose–Einstein representation to negative orders s. As long as the t = μ pole of the integrand does not lie on the non-negative real axis, and s ≠ 1, 2, 3, …, we have:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(e^{mu })=-{{Gamma (1-s)} over {2pi i}}oint _{H}{{(-t)^{s-1}} over {e^{t-mu }-1}}dt}$$

   
   where H represents the Hankel contour. The integrand has a cut along the real axis from zero to infinity, with the axis belonging to the lower half plane of t. The integration starts at +∞ on the upper half plane (Im(t) > 0), circles the origin without enclosing any of the poles t = µ + 2kπi, and terminates at +∞ on the lower half plane (Im(t) < 0). For the case where µ is real and non-negative, we can simply subtract the contribution of the enclosed t = µ pole:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(e^{mu })=-{{Gamma (1-s)} over {2pi i}}oint _{H}{{(-t)^{s-1}} over {e^{t-mu }}-1}dt-2pi iR}$$

   
   where R is the residue of the pole:
   $${displaystyle R={i over 2pi }Gamma (1-s)(-mu)^{s-1}.}$$

   
4. When the Abel–Plana formula is applied to the defining series of the polylogarithm, a Hermite-type integral representation results that is valid for all complex z and for all complex s:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)={tfrac {1}{2}}z+{Gamma (1-s,-ln z) over (-ln z)^{1-s}}+2zint _{0}^{infty }{frac {sin(sarctan t-tln z)}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2pi t}-1)}}dt}$$

   
   where Γ is the upper incomplete gamma-function. All (but not part) of the ln(z) in this expression can be replaced by −ln(¹⁄_z). A related representation which also holds for all complex s,
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)={tfrac {1}{2}}z+zint _{0}^{infty }{frac {sin[sarctan t-tln(-z)]}{(1+t^{2})^{s/2}sinh(pi t)}}dt,}$$

   
   avoids the use of the incomplete gamma function, but this integral fails for z on the positive real axis if Re(s) ≤ 0. This expression is found by writing 2^s Li_s(−z) / (−z) = Φ(z², s, ¹⁄₂) − z Φ(z², s, 1), where Φ is the Lerch transcendent, and applying the Abel–Plana formula to the first Φ series and a complementary formula that involves 1 / (e^2πt + 1) in place of 1 / (e^2πt − 1) to the second Φ series.
5. As cited in, we can express an integral for the polylogarithm by integrating the ordinary geometric series termwise for ${displaystyle sin mathbb {N} }$ as
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s+1}(z)={frac {zcdot (-1)^{s}}{s!}}int _{0}^{1}{frac {log ^{s}(t)}{1-tz}}dt.}$$

   

Representaciones en serie

1. As noted under integral representations above, the Bose–Einstein integral representation of the polylogarithm may be extended to negative orders s by means of Hankel contour integration:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(e^{mu })=-{Gamma (1-s) over 2pi i}oint _{H}{(-t)^{s-1} over e^{t-mu }-1}dt,}$$

   
   where H is the Hankel contour, s ≠ 1, 2, 3, …, and the t = μ pole of the integrand does not lie on the non-negative real axis. The contour can be modified so that it encloses the poles of the integrand at t − µ = 2kπi, and the integral can be evaluated as the sum of the residues (Wood 1992, § 12, 13; Gradshteyn & Ryzhik 1980, § 9.553 harvnb error: no target: CITEREFGradshteynRyzhik1980 (help)):
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(e^{mu })=Gamma (1-s)sum _{k=-infty }^{infty }(2kpi i-mu)^{s-1}.}$$

   
   This will hold for Re(s) < 0 and all μ except where e^μ = 1. For 0 < Im(µ) ≤ 2π the sum can be split as:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(e^{mu })=Gamma (1-s)left[(-2pi i)^{s-1}sum _{k=0}^{infty }left(k+{mu over {2pi i}}right)^{s-1}+(2pi i)^{s-1}sum _{k=0}^{infty }left(k+1-{mu over {2pi i}}right)^{s-1}right],}$$

   
   where the two series can now be identified with the Hurwitz zeta function:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(e^{mu })={Gamma (1-s) over (2pi)^{1-s}}left[i^{1-s}~zeta left(1-s,~{mu over {2pi i}}right)+i^{s-1}~zeta left(1-s,~1-{mu over {2pi i}}right)right]qquad (0<operatorname {Im} (mu)leq 2pi).}$$

   
   This relation, which has already been given under relationship to other functions above, holds for all complex s ≠ 0, 1, 2, 3, … and was first derived in (Jonquière 1889, eq. 6).
2. In order to represent the polylogarithm as a power series about µ = 0, we write the series derived from the Hankel contour integral as:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(e^{mu })=Gamma (1-s)(-mu)^{s-1}+Gamma (1-s)sum _{h=1}^{infty }left[(-2hpi i-mu)^{s-1}+(2hpi i-mu)^{s-1}right].}$$

   
   When the binomial powers in the sum are expanded about µ = 0 and the order of summation is reversed, the sum over h can be expressed in closed form:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(e^{mu })=Gamma (1-s)(-mu)^{s-1}+sum _{k=0}^{infty }{zeta (s-k) over k!}mu ^{k}.}$$

   
   This result holds for |µ| < 2π and, thanks to the analytic continuation provided by the zeta functions, for all s ≠ 1, 2, 3, …. If the order is a positive integer, s = n, both the term with k = n − 1 and the gamma function become infinite, although their sum does not. One obtains (Wood 1992, § 9; Gradshteyn & Ryzhik 1980, § 9.554 harvnb error: no target: CITEREFGradshteynRyzhik1980 (help)):
   $${displaystyle lim _{sto k+1}left[{zeta (s-k) over k!}mu ^{k}+Gamma (1-s)(-mu)^{s-1}right]={mu ^{k} over k!}left[sum _{h=1}^{k}{1 over h}-ln(-mu)right],}$$

   
   where the sum over h vanishes if k = 0. So, for positive integer orders and for |μ| < 2π we have the series:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{n}(e^{mu })={mu ^{n-1} over (n-1)!}left[H_{n-1}-ln(-mu)right]+sum _{k=0,kneq n-1}^{infty }{zeta (n-k) over k!}mu ^{k},}$$

   
   where H_n denotes the nth harmonic number:
   $${displaystyle H_{n}=sum _{h=1}^{n}{1 over h},qquad H_{0}=0.}$$

   
   The problem terms now contain −ln(−μ) which, when multiplied by μⁿ⁻¹, will tend to zero as μ → 0, except for n = 1. This reflects the fact that Li_s(z) exhibits a true logarithmic singularity at s = 1 and z = 1 since:
   $${displaystyle lim _{mu to 0}Gamma (1-s)(-mu)^{s-1}=0qquad (operatorname {Re} (s)>1).}$$

   
   For s close, but not equal, to a positive integer, the divergent terms in the expansion about µ = 0 can be expected to cause computational difficulties (Wood 1992, § 9). Erdélyi's corresponding expansion (Erdélyi et al. 1981, § 1.11-15) in powers of ln(z) is not correct if one assumes that the principal branches of the polylogarithm and the logarithm are used simultaneously, since ln(¹⁄_z) is not uniformly equal to −ln(z). For nonpositive integer values of s, the zeta function ζ(s − k) in the expansion about µ = 0 reduces to Bernoulli numbers: ζ(−n − k) = −B_1+n+k / (1 + n + k). Numerical evaluation of Li_−n(z) by this series does not suffer from the cancellation effects that the finite rational expressions given under particular values above exhibit for large n.
3. By use of the identity
   $${displaystyle 1={1 over Gamma (s)}int _{0}^{infty }e^{-t}t^{s-1}dtqquad (operatorname {Re} (s)>0),}$$

   
   the Bose–Einstein integral representation of the polylogarithm (see above) may be cast in the form:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)={tfrac {1}{2}}z+{z over 2Gamma (s)}int _{0}^{infty }e^{-t}t^{s-1}coth {t-ln z over 2}dtqquad (operatorname {Re} (s)>0).}$$

   
   Replacing the hyperbolic cotangent with a bilateral series,
   $${displaystyle coth {t-ln z over 2}=2sum _{k=-infty }^{infty }{1 over 2kpi i+t-ln z},}$$

   
   then reversing the order of integral and sum, and finally identifying the summands with an integral representation of the upper incomplete gamma function, one obtains:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)={tfrac {1}{2}}z+sum _{k=-infty }^{infty }{Gamma (1-s,2kpi i-ln z) over (2kpi i-ln z)^{1-s}}.}$$

   
   For both the bilateral series of this result and that for the hyperbolic cotangent, symmetric partial sums from −k_max to k_max converge unconditionally as k_max → ∞. Provided the summation is performed symmetrically, this series for Li_s(z) thus holds for all complex s as well as all complex z.
4. Introducing an explicit expression for the Stirling numbers of the second kind into the finite sum for the polylogarithm of nonpositive integer order (see above) one may write:
   $${displaystyle operatorname {Li} _{-n}(z)=sum _{k=0}^{n}left({-z over 1-z}right)^{k+1}sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k choose j}(j+1)^{n}qquad (n=0,1,2,ldots).}$$

   
   The infinite series obtained by simply extending the outer summation to ∞ (Guillera & Sondow 2008, Theorem 2.1):
   $${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)=sum _{k=0}^{infty }left({-z over 1-z}right)^{k+1}~sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k choose j}(j+1)^{-s},}$$

   
   turns out to converge to the polylogarithm for all complex s and for complex z with Re(z) < ¹⁄₂, as can be verified for |^−z⁄_(1−z)| < ¹⁄₂ by reversing the order of summation and using:
   $${displaystyle sum _{k=j}^{infty }{k choose j}left({-z over 1-z}right)^{k+1}=left[left({-z over 1-z}right)^{-1}-1right]^{-j-1}=(-z)^{j+1}.}$$

   
   The inner coefficients of these series can be expressed by Stirling-number-related formulas involving the generalized harmonic numbers. For example, see generating function transformations to find proofs (references to proofs) of the following identities:
   $${displaystyle {begin{aligned}operatorname {Li} _{2}(z)&=sum _{jgeq 1}{frac {(-1)^{j-1}}{2}}left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}right){frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\operatorname {Li} _{3}(z)&=sum _{jgeq 1}{frac {(-1)^{j-1}}{6}}left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}right){frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}.end{aligned}}}$$

   
   For the other arguments with Re(z) < ¹⁄₂ the result follows by analytic continuation. This procedure is equivalent to applying Euler's transformation to the series in z that defines the polylogarithm.

Expansiones asintóticas

Para |z| ≫ 1, el polilogaritmo se puede expandir en series asintóticas en términos de ln(−z):

$${displaystyle operatorname {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} [ln(-z)pm ipi ]^{s-1}-sum _{k=0} {infty }(-1)^{k}{2k}{2k} {n0} {c] {cH00cH00} {cH0} {cH00cH00} {cH00}}} {cH00cH00}}}} {cH00}}}}}}} {cH00cH00cH00}}}ccH00cH00} {cH00cccH00}cH00ccH00cccH00ccH00cH00cH00} {cH00} {cH00}cH00}}}}cH00ccH00}}}}}}}}c$$

$${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)=sum _{k=0}{infty }(-1)^{k}(1-2k})(2pi)^{2k}{B_{2k} over (2k)}{[ln(-z)]}{s-2k} over overGamma (s+1-2k)}}} {} {} {} {} {} {}} {}} {}}}{} {}} {}{c}}}} {c} {c}}}} {c}}}}}} {c)}} {c)} {c}} {c}}}}} {c)} {c)} {c)} {c)} {c)} {ccccccccccccccccccccccccccccc}$$

donde B_2k son los números de Bernoulli. Ambas versiones son válidas para todos los s y para cualquier arg(z). Como es habitual, la suma debe finalizar cuando los términos comiencen a crecer en magnitud. Para los enteros negativos s, las expansiones desaparecen por completo; para los enteros no negativos s, se rompen después de un número finito de términos. Wood (1992, § 11) describe un método para obtener estas series a partir de la representación integral de Bose-Einstein (su ecuación 11.2 para Li_s(e^µ) requiere −2π < Im(µ) ≤ 0).

Comportamiento limitante

Los siguientes límites resultan de las diversas representaciones del polilogaritmo (Wood 1992, § 22):

$${displaystyle lim _{Principalidad en la vidato 0}operadorname {Li} _{s}=z}$$

$${displaystyle lim _{ Anteriormu Silencioto 0}operatorname {Li} _{s}(e^{mu })=Gamma (1-s)(-mu)^{s-1}qquad (operatorname {Re} (s) made1)}$$

$${displaystyle lim _{operatorname {Re}(mu)to infty }operatorname {Li} _{s}(pm e^{mu })=-{mu ^{s} over Gamma (s+1)}qquad (sneq -1,-2,-3,ldots)}$$

$${displaystyle lim _{operatorname {Re}(mu)to infty }operatorname {Li} _{-n}(e^{mu })=-(-1)} {n}e^{-mu }qquad (n=1,2,3,ldots)}$$

$${displaystyle lim _{operatorname {Re} (s)to infty }operatorname {Li} _{s}(z)=z}$$

$${displaystyle lim _{operatorname {Re} (s)to -infty }operatorname {Li} _{s}(e^{mu })=Gamma (1-s)(-mu)^{s-1}qquad (-pi > = >)}$$

$${displaystyle lim _{operatorname {Re} (s)to -infty }operatorname {Li} _{s}(-e^{mu })=Gamma (1-s)left[(-mu -ipi)^{s-1}+(-mu +ipi)^{s-1}right]qquad (operatorname {Im} (mu)=0)}$$

El primer límite de Wood para Re(µ) → ∞ se ha corregido de acuerdo con su ecuación 11.3. El límite para Re(s) → −∞ se deriva de la relación general del polilogaritmo con la función zeta de Hurwitz (ver arriba).

Dilogaritmo

El dilogaritmo es el polilogaritmo de orden s = 2. Una expresión integral alternativa del dilogaritmo para el argumento complejo arbitrario z es (Abramowitz & Stegun 1972, § 27.7):

$${displaystyle operatorname {Li} _{2}(z)=-int _{0}{z}{ln(1-t) over t}dt=-int _{0}{1}{ln(1-zt) over t}dt.}$$

Una fuente de confusión es que algunos sistemas de álgebra informática definen el dilogaritmo como dilog(z) = Li₂(1−z).

En el caso de z real ≥ 1, la primera expresión integral del dilogaritmo se puede escribir como

$${displaystyle operatorname {Li} _{2}(z)={frac {pi ¿Qué?$$

de donde expandiendo ln(t−1) e integrando término por término obtenemos

$${displaystyle operatorname {Li} _{2}(z)={frac {pi ^{2}{3} {frac {1} {2} {2}ln z)^{2}-sum ¿Por qué? }$$

La identidad de Abel para el dilogaritmo viene dada por (Abel 1881)

$${displaystyle operatorname {Li} _{2}left({frac {x}{1-y}right)+operatorname {fnMicrosoft} {y}{1-x}right)-operatorname {Li} _{2}left({frac {xy}{(1-x)}right)=operatorname {Li} _{2}(x)+operatorname {Li} _{2}(y)+ln(1-x)ln(1-y)}$$

$${displaystyle (operatorname {Re} (x)leq {tfrac {1}{2}wedge operatorname {Re} (y)leq {tfrac {1}{2}vee operatorname {im}(x) {0wedge operatorname {Imoperatorname} {0veeoperatorname {0} }$$

Se ve inmediatamente que esto es válido para x = 0 o y = 0, y para argumentos generales se verifica fácilmente mediante la diferenciación ∂/∂x ∂/∂y. Para y = 1−x la identidad se reduce a la fórmula de reflexión de Euler

$${displaystyle operatorname {Li} _{2}left(xright)+operatorname {Li} _{2}left(1-xright)={frac {1}pi ^{2}-ln(x)ln(1-x),}}}$$

En términos de las nuevas variables u = x/(1−y), v = < i>y/(1−x) lee la identidad de Abel

$${displaystyle operatorname {fnK} {fnK} {fnK} {fnK} {cHFF}fn}fnK}c}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}}$$

De la identidad de Abel para x = y = 1−z y la relación cuadrática tenemos la identidad de Landen

$${displaystyle operatorname {Li} _{2}(1-z)+operatorname {Li} _{2}left(1-{frac {1}{z}}right)=-{frac {1} {2}(ln z)^{2}qquad (znot in ~]-infty;0]),}}$$

$${displaystyle operatorname {Li} _{2}(z)+operatorname {Li} _{2}(1/z)=-{tfrac {1}{6}pi} ^{2}-{tfrac {1}{2}[ln(-z)]^{2}qquad (znot in [0;1[}$$

y de verdad z ≥ 1 también

$${displaystyle operatorname [Li} _{2}(z)+operatorname {Li} _{2}={tfrac {1}{3}pi} ¿Qué?$$

En la siguiente tabla se recogen evaluaciones de forma cerrada conocidas del dilogaritmo en argumentos especiales. Los argumentos de la primera columna están relacionados por reflexión x ↔ 1−x o inversión x ↔ ¹⁄_x a x = 0 o x = −1; Los argumentos de la tercera columna están todos interrelacionados mediante estas operaciones.

Maximon (2003) analiza las referencias de los siglos XVII al XIX. La fórmula de reflexión ya fue publicada por Landen en 1760, antes de su aparición en un libro de Euler de 1768 (Maximon 2003, § 10); Spence ya publicó un equivalente de la identidad de Abel en 1809, antes de que Abel escribiera su manuscrito en 1826 (Zagier 1989, § 2). La designación función bilogarítmica fue introducida por Carl Johan Danielsson Hill (profesor en Lund, Suecia) en 1828 (Maximon 2003, § 10). Don Zagier (1989) ha señalado que el dilogaritmo es la única función matemática que posee sentido del humor.

Valores especiales del dilogaritmo

${displaystyle x}$	${displaystyle operatorname {Li} _{2}(x)}$	${displaystyle x}$	${displaystyle operatorname {Li} _{2}(x)}$
${displaystyle -1}$	${displaystyle -{tfrac {1}pi ^{2}$	${displaystyle -phi }$	${displaystyle -{tfrac}{10}pi}.$
${displaystyle 0}$	${displaystyle 0}$	${displaystyle -1/phi }$	${displaystyle -{tfrac {1}{15}pi} ¿Qué?$
${fnMicroc} {1}{2}}}$	${displaystyle {tfrac}{12}pi} ¿Qué?$	${displaystyle 1/phi ^{2}$	${displaystyle {tfrac}{15}pi}.$
${displaystyle 1}$	${displaystyle {tfrac}}pi ^{2}$	${displaystyle 1/phi }$	${displaystyle {tfrac}{10}pi}.$
${displaystyle 2}$	${displaystyle {tfrac {4}pi ^{2}-pi iln 2}$	${displaystyle phi }$	${displaystyle {tfrac}{15}pi} ¿Qué?$
		${displaystyle phi ^{2}$	${displaystyle -{tfrac {11}pi ^{2}-ln ^{2}(-phi)}$

Aquí. ${displaystyle phi ={2} {sqrt {5}+1)}$ denota la relación de oro.

Escaleras de polilogaritmo

Leonard Lewin descubrió una notable y amplia generalización de una serie de relaciones clásicas en el polilogaritmo para valores especiales. Ahora se llaman escaleras de polilogaritmo. Define ${displaystyle rho ={2} {sqrt {5}-1)}$ como recíproco de la relación de oro. Entonces dos simples ejemplos de escaleras de dilogaritmo son

$${displaystyle operatorname {Li} _{2}(rho ^{6})=4operatorname [Li] _{2}(rho ^{3})+3operatorname [Li} _{2}(rho ^{2})-6operatorname {Li} _{2}(rho)+{tfrac {7}{30}}pi ^{2}$$

dado por Coxeter (1935) y

$${displaystyle operatorname {Li} _{2}(rho)={tfrac {1}{10}pi} ^{2}-ln ^{2}rho$$

dado por Landen. Las escaleras de polilogaritmos ocurren de forma natural y profunda en la teoría K y la geometría algebraica. Las escaleras de polilogaritmos proporcionan la base para cálculos rápidos de varias constantes matemáticas mediante el algoritmo BBP (Bailey, Borwein y Plouffe 1997).

Monodromía

El polilogaritmo tiene dos puntos de ramificación; uno en z = 1 y otro en z = 0. El segundo punto de bifurcación, en z = 0, no es visible en la hoja principal del polilogaritmo; se vuelve visible sólo cuando la función continúa analíticamente en sus otras hojas. El grupo de monodromía del polilogaritmo consta de clases de homotopía de bucles que se enrollan alrededor de los dos puntos de ramificación. Denotando estos dos por m₀ y m₁, el grupo de monodromía tiene la presentación grupal

$${displaystyle langle m_{0},m_{1}vert Oh, Dios mío.$$

Para el caso especial del dilogaritmo, también se tiene que wm₀ = m₀w, y el grupo de monodromía se convierte en el grupo de Heisenberg (identificando m₀, m₁ y w con x, y, z) (Vepstas 2008).