Polarización de fotones

La polarización de fotones es la descripción mecánica cuántica de la onda electromagnética plana sinusoidal polarizada clásica. Un fotón individual puede describirse como poseedor de polarización circular derecha o izquierda, o una superposición de las dos. De manera equivalente, un fotón puede describirse como poseedor de polarización lineal horizontal o vertical, o una superposición de las dos.

La descripción de la polarización de fotones contiene muchos de los conceptos físicos y gran parte de la maquinaria matemática de descripciones cuánticas más complejas, como la mecánica cuántica de un electrón en un pozo de potencial. La polarización es un ejemplo de un grado de libertad de un cúbit, que constituye una base fundamental para la comprensión de fenómenos cuánticos más complicados. Gran parte de la maquinaria matemática de la mecánica cuántica, como los vectores de estado, las amplitudes de probabilidad, los operadores unitarios y los operadores hermíticos, surgen naturalmente de las ecuaciones clásicas de Maxwell en la descripción. El vector de estado de polarización cuántica para el fotón, por ejemplo, es idéntico al vector de Jones, que se utiliza habitualmente para describir la polarización de una onda clásica. Los operadores unitarios surgen del requisito clásico de la conservación de la energía de una onda clásica que se propaga a través de medios sin pérdidas que alteran el estado de polarización de la onda. Los operadores hermíticos se desprenden entonces de las transformaciones infinitesimales de un estado de polarización clásica.

Muchas de las implicaciones de la maquinaria matemática se pueden verificar fácilmente de forma experimental. De hecho, muchos de los experimentos se pueden realizar con lentes de sol Polaroid.

La conexión con la mecánica cuántica se realiza mediante la identificación de un tamaño mínimo de paquete, llamado fotón, para la energía en el campo electromagnético. La identificación se basa en las teorías de Planck y la interpretación de esas teorías por parte de Einstein. El principio de correspondencia permite entonces la identificación del momento y el momento angular (llamado espín), así como la energía, con el fotón.

La onda es polarizada linealmente (o polarizada plano) cuando los ángulos de fase ${\displaystyle \alpha _{x}\,\;\alpha ¿Qué?$ son iguales, $${\displaystyle \alpha _{x}=\alpha ¿Qué? {\fnK} {\fnMicrom} {\fnK}} {\fnMicrosoft}} {\f}} {\f} {\f}}}} {\f}}}}}}} {\fnK}}}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}}} \alpha.}$$

Esto representa una ola con fase ${\displaystyle \alpha }$ polarizado en un ángulo ${\displaystyle \theta }$ con respecto al eje x. En este caso el vector Jones $${\displaystyle Н\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\sin \theta \exp \left(i\alpha ¿Qué?$$se puede escribir con una sola fase: $${\displaystyle tención\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha \right). }$$

Los vectores de estado para la polarización lineal en x o y son casos especiales de este vector de estado.

Si los vectores de unidad se definen de tal manera $${\fnMicrosoft} } {=}\ {\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}}$$y $${\fnMicrosoft} } {=}\ {\begin{pmatrix}0\1\end{pmatrix}}$$entonces el estado de polarización linealmente polarizado puede ser escrito en la base "x-y" como $${\displaystyle tención\psi \rangle =\cos \theta \exp \left(i\alpha \right) sometidax\rangle +\sin \theta \exp \left(i\alpha \right) persistenciay\rangle =\psi _{x} hiperx\rangle +\psi _{y} persistenciay\rangle.}$$

Si los ángulos de fase ${\displaystyle \alpha _{x}$ y ${\displaystyle \alpha _{y}$ difieren exactamente ${\displaystyle \pi /2}$ y la amplitud x iguala la amplitud y la onda es polarizada circularmente. El vector Jones entonces se convierte $${\fnMicroc {1}{\sqrt {2}{\begin{\pmatrix}1\\\\\\\\\\\\\fnMitrx}\fnK}\fnK}\fnuncio\i\i\alpha _{x}\right)}}}}$$donde el signo más indica polarización circular izquierda y el signo menos indica polarización circular derecha. En el caso de polarización circular, el vector de campo eléctrico de constante magnitud gira en el plano x-y.

Si los vectores de unidad se definen de tal manera $${\displaystyle TENED\mathrm {R} \rangle \ {\stackrel {\mathrm {} {}{=}}}\ {1 \over {\sqrt {2} {\begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix}}}} {\begin{pmatrix} {\i\i\i\end{\i\pmatrix}}}}}}} {}}} {}}}}}} {\begin{\begin{\begin{\pmatrix} {\pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\$$y $${\displaystyle TENED\mathrm {}\rangle \ {\stackrel {\mathrm {} {}{=}}\ {1 \over {\sqrt {2} {\begin{pmatrix}1\\\-i\end{pmatrix}}}}$$entonces un estado de polarización arbitraria se puede escribir en la base "R-L" como $${\displaystyle Н\psi \rangle =\psi _{\rm [R] {R} \rangle +\psi _{\rm {L}Sobrevivir\mathrm {L} \rangle }$$Donde $${\displaystyle \psi _{\rm {R}=\langle \mathrm {R} Silencio\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})-i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})\right)}}$$y $${\displaystyle \psi _{\rm {L}=\langle \mathrm {L} Silencio\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})+i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})\right).}}$$

Podemos ver que $${\displaystyle 1= forever\psi _{\rm [R] "Antes" {L} sobrevivir.}$$

El caso general en el que el campo eléctrico gira en el plano x–y y tiene una magnitud variable se llama polarización elíptica. El vector estatal es dado por $${\displaystyle TEN\psi \rangle \ {\mhmhm {} {}{=}\}}\\\f} {\begin{pmatrix}\psi ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha) - Bien.$$

Para entender cómo es un estado de polarización, se puede observar la órbita que se hace si el estado de polarización se multiplica por un factor de fase ${\displaystyle e^{i\omega t}$ y luego tener las partes reales de sus componentes interpretados como coordenadas x y y respectivamente. Es decir: $${\fnMicrosoft Sans Serif}={\begin{pmatrix}\gnuncio}\ Re (e^{i\omega t}\psi _{x})\\\Re (e^{i\omega t}\psi _{y})\end{pmatrix}=\ Re \left[e^{i\omega t}{\begin{pmatrix}\psi ¿Por qué? ¿Por qué? Re \left(e^{i\omega t} durable\psi \rangle \right). }$$

Si sólo la forma trazada y la dirección de la rotación de ()x()t), Sí.()t) se considera al interpretar el estado de polarización, es decir, sólo $${\displaystyle M(prehensi\psi \rangle)=\left.\left\{\Big (}x(t),\,y(t){\Big)}\,\right sometida\,\forall \,t\right\}}$$(donde) x()t) y Sí.()t) se definen como anteriores) y si se polariza circularmente más derecha o izquierda (es decir, si Silencio↑_RSilencio↑_LSilencio o viceversa), se puede ver que la interpretación física será la misma incluso si el estado se multiplica por un factor de fase arbitraria, ya que $${\displaystyle M(e^{i\alpha } eterna\psi \rangle)=M(prime\psi \rangle),\alpha \in \mathbb {R}$$y la dirección de rotación seguirá siendo la misma. En otras palabras, no hay diferencia física entre dos estados de polarización ${\displaystyle Н\psi \rangle }$ y ${\displaystyle e^{i\alpha } sobreviviente\psi \rangle }$, entre los cuales sólo un factor de fase difiere.

Se puede observar que para un estado polarizado linealmente, M será una línea en el plano xy, con longitud 2 y su punto medio en el origen, y cuya pendiente es igual a tan(θ). Para un estado polarizado circularmente, M será un círculo con radio 1/√2 y con el punto medio en el origen.

La energía por volumen de unidad en los campos electromagnéticos clásicos es ( unidades de cgs) y también unidades de Planck: $${\displaystyle {\Mathcal {}_{c}={\frac {1}{8\pi}\left[\mathbf {E} } {2}(\mathbf {r}t)+\mathbf {B} }(\mathbf {r}t)\right].$$

Para una ola de avión, esto se convierte en: $${\fnMicrosoft}= {\fnMicroc} {\mid\fn\fnMicrosoft {E} \mid ^{2}{8\pi} }$$donde la energía ha sido promediada sobre una longitud de onda de la onda.

La fracción de energía en el componente x de la onda de avión es $${\displaystyle F_{x}={\frac {\fnMitbf {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} }{\vert \mathbf {E} \vert ^{2}=\psi ¿Qué? ¿Por qué?$$con una expresión similar para el componente y que resulta en ${\displaystyle - Sí.$.

La fracción en ambos componentes es $${\displaystyle \psi _{x}{*}\psi ¿Por qué? ¿Qué? _{y}=\langle \psi tención\psi \rangle =1.}$$

La densidad de impulso es dada por el vector Poynting $${\displaystyle {\boldsymbol {\Mathcal {P}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {E} (\mathbf {r}t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r}t). }$$

Para una onda de avión sinusoidal que viaja en la dirección z, el impulso está en la dirección z y está relacionado con la densidad de energía: $${\fnMicrosoft}c={\fnMithcal} {E}_{c}.}$$

La densidad de momento se ha promediado a lo largo de una longitud de onda.

Las ondas electromagnéticas pueden tener un impulso orbital y angular. La densidad angular total del impulso es $${\displaystyle {\boldsymbol {\Mathcal {L}}=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\mathcal {P}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {r} \times \left[\mathbf {E} (\mathbf {r}t)\times \mathbf Bien.$$

Para una onda de plano sinusoidal propagando ${\displaystyle z}$ axis la densidad de impulso angular orbital desaparece. La densidad de impulso angular de la columna está en ${\displaystyle z}$ dirección y se da por $${\displaystyle {\mathcal {}={\vert \mathbf {E} \vert ^{2}\over {8\pi\omega }}\left(\left\vert \langle \mathrm {R} Silencio\psi \rangle \right\vert ^{2}-\left\vert \langle \mathrm {L} Н\psi \rangle \right\vert ^{2}\right)={\frac {1}{\omega {\fnMitcal {\fnMicrosoft _{\fnMicrosoft _{\rm} {R}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}\vert ^{2}\right)}$$donde de nuevo la densidad es mediada sobre una longitud de onda.

Un filtro lineal transmite un componente de una onda plana y absorbe el componente perpendicular. En ese caso, si el filtro se polariza en la dirección x, la fracción de energía que pasa a través del filtro es $${\displaystyle f_{x}=\psi ¿Qué? ¿Qué?$$

Un cristal birrefringente ideal transforma el estado de polarización de una onda electromagnética sin pérdida de energía de onda. Por lo tanto, los cristales birrefringentes proporcionan un banco de pruebas ideal para examinar la transformación conservativa de los estados de polarización. Si bien este tratamiento aún es puramente clásico, surgen naturalmente herramientas cuánticas estándar, como los operadores unitarios y hermíticos, que hacen evolucionar el estado en el tiempo.

Un cristal birefringente es un material que tiene un eje óptico con la propiedad que la luz tiene un índice diferente de refracción para la luz polarizada paralelo al eje que tiene para la luz polarizada perpendicular al eje. Luz polarizada paralela al eje se llaman "rayos extraordinarios"o"extraordinarios fotones", mientras que la luz polarizada perpendicular al eje se llama "Rayos ordinarios"o"fotones ordinarios". Si una onda polarizada linealmente se interpone en el cristal, el componente extraordinario de la onda emergerá del cristal con una fase diferente al componente ordinario. En lenguaje matemático, si la onda del incidente se polariza linealmente en un ángulo ${\displaystyle theta}$ con respecto al eje óptico, el vector del estado del incidente puede ser escrito $${\displaystyle Н\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\sin \theta \end{pmatrix}}}$$y el vector de estado para la onda emergente puede ser escrito $${\displaystyle Н\psi '\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\sin \theta \exp \left(i\alpha {\begin{pmatrix}\exp\left(i\alpha) ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\begin{pmatrix}\cos} \theta \\sin \theta \end{pmatrix}\ {\fnMicrosoft} {\fnK}}} {\hat {U}tuvo\psi \rangle.}$$

Mientras que el estado inicial estaba polarizado linealmente, el estado final está polarizado elípticamente. El cristal birrefringente altera el carácter de la polarización.

El estado de polarización inicial se transforma en el estado final con el operador U. El dual del estado final es dado por $${\displaystyle \langle \psi "Antes"$$Donde ${\displaystyle U^{\dagger }$ es la unión de U, la compleja transposición conjugada de la matriz.

La fracción de energía que emerge del cristal es $${\displaystyle \langle \langle\psi 'pretensión\psi '\rangle =\langle \psi Silencio{\hat {U}^{\dagger }{\hat {U} {\hat {U}}\\psi \rangle =\langle \psi TEN\psi \rangle =1.}$$

En este caso ideal, toda la energía que encierra el cristal emerge del cristal. Un operador U con la propiedad $${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} Yo...$$donde soy el operador de identidad y U se llama operador unitario. La propiedad unitaria es necesaria para garantizar la conservación de la energía en las transformaciones estatales.

Si el cristal es muy delgado, el estado final será sólo ligeramente diferente del estado inicial. El operador unitario estará cerca del operador de identidad. Podemos definir el operador H por $${\displaystyle {\hat {U}\approx I+i{\hat {H}}$$y la unión por $${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} }\approx I-i{\hat {H} {\fnMicrosoft Sans Serif}$$

La conservación de la energía requiere entonces

$${\displaystyle I={\hat {U} {\fnMicrosoft Sans Serif} }{\hat {U}\approx \left(I-i{\hat {H} {\dgger }\right)\left(I+i{\hat} {\hat}\dgger }\right)\left {H}\right)\approx I-i{\hat {H} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fn}} {\fnMicrosoft}}}} {\\fnMicrosoft}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\fn\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\fnH}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn - Sí.$$

Esto requiere que $${\displaystyle {\hat {\fnh}={\hat} {H} {\fnMicrosoft Sans Serif}$$

Los operadores como éste que son iguales a sus adjuntos se denominan hermíticos o autoadjuntos.

La transición infinitesimal del estado de polarización es $${\displaystyle tención\psi '\rangle - sobrevivir\psi \rangle =i{\hat {H} sobrevivir\psi \rangle.}$$

Por lo tanto, la conservación de la energía requiere que se produzcan transformaciones infinitesimales de un estado de polarización mediante la acción de un operador hermítico.

Hasta este punto, el tratamiento ha sido clásico. Sin embargo, es un testimonio de la generalidad de las ecuaciones de Maxwell para la electrodinámica el hecho de que el tratamiento pueda convertirse en mecanocuántico con solo una reinterpretación de las cantidades clásicas. La reinterpretación se basa en las teorías de Max Planck y en la interpretación que hizo Albert Einstein de esas teorías y de otros experimentos.

La conclusión de Einstein de los primeros experimentos sobre el efecto fotoeléctrico es que la radiación electromagnética está compuesta de paquetes irreducibles de energía, conocidos como fotones. La energía de cada paquete está relacionada con la frecuencia angular de la onda por la relación $${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega }$$Donde ${\displaystyle \hbar }$ es una cantidad determinada experimentalmente conocida como la constante de Planck reducido. Si hay ${\displaystyle N}$ fotones en una caja de volumen ${\displaystyle V}$, la energía en el campo electromagnético $${\displaystyle N\hbar \omega }$$y la densidad de energía $${\displaystyle {N\hbar \omega \over V}$$

La energía del fotón puede estar relacionada con campos clásicos a través del principio de correspondencia que establece que para un gran número de fotones, los tratamientos cuánticos y clásicos deben estar de acuerdo. Así, por muy grande ${\displaystyle N}$, la densidad de energía cuántica debe ser la misma que la densidad de energía clásica $${\displaystyle {N\hbar \omega \over V}={\mathcal {E}_{c}={\frac} {\vert \mathbf {E} \vert ^{2}{8\pi} }}$$

El número de fotones en la caja es entonces $${\displaystyle N={\frac {8\pi\hbar \omega }\vert \mathbf {E} \vert ^{2}$$

El principio de correspondencia también determina el impulso y el impulso angular del fotón. Para el impulso $${\displaystyle {\mathcal {}_{z}={N\hbar \omega \over cV}={} N\hbar k_{z} \over V}$$Donde ${\displaystyle k_{z}$ es el número de onda. Esto implica que el impulso de un fotón es $${\displaystyle P_{z}=\hbar #$$

Del mismo modo para el impulso angular del giro $${\fnMicroc}= {\fnMicroc} {1}{\omega {\fnMitcal {\fnMicrosoft _{\fnMicrosoft _{\rm} {R}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}\vert ^{2}\right)={\frac {N\hbar }\left(\vert \psi _{\rm} {R}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}\vert ^{2}\right)}$$Donde ${\fnMicrosoft Sans Ser}$ es fuerza de campo. Esto implica que el impulso angular de la columna es $${\displaystyle l_{z}=\hbar \left(\vert \psi _{\rm {R}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}\vert ^{2}\right). }$$la interpretación cuántica de esta expresión es que el fotón tiene una probabilidad ${\displaystyle \mid \psi _{\rm {R}\mid ^{2}$ de tener un impulso angular de giro ${\displaystyle \hbar }$ y una probabilidad de ${\displaystyle \mid \psi _{\rm {L}\mid ^{2}$ de tener un impulso angular de giro ${\displaystyle -\hbar }$. Por lo tanto, podemos pensar en el impulso angular de la columna vertebral del foton siendo cuantificados así como la energía. Se ha verificado el impulso angular de la luz clásica. Un fotón que se polariza linealmente (plano polarizado) está en una superposición de cantidades iguales de los estados zurdos y diestras.

La columna vertebral del fotón se define como el coeficiente de ${\displaystyle \hbar }$ en el cálculo del impulso angular de la columna. Un fotón tiene vuelta 1 si está en el ${\displaystyle .$ estado y −1 si está en el ${\displaystyle .$ estado. El operador de giro se define como el producto externo $${\displaystyle {\hat {\fnh} {\fnh00} {\fnh} {\fnh} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}}}} {\fn}}}} {\fn}}}}}}}\\\f}}}}}}\\\\fn}}}}}}\\\\ ¦\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} TEN-A-A-Antes\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} Silencio={\begin{pmatrix}0 {\i}}}$$

Los eigenvectores del operador de spin son ${\displaystyle TENIDO\mathrm {R} \rangle }$ y ${\displaystyle TENIDO\mathrm} \rangle }$ con los valores 1 y 1, respectivamente.

El valor esperado de una medición de la columna en un fotón es entonces $${\displaystyle \langle \psi Silencio{\hat {S} arrestado\psi \rangle =\vert \psi _{\rm} {R}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}\vert ^{2}$$

Se ha asociado un operador S con una cantidad observable, el momento angular de espín. Los valores propios del operador son los valores observables permitidos. Esto se ha demostrado para el momento angular de espín, pero en general es cierto para cualquier cantidad observable.

Podemos escribir los estados circularmente polarizados $${\displaystyle Silencios\rangle }$$Donde s = 1 para ${\displaystyle TENIDO\mathrm {R} \rangle }$ y s = 1 - ${\displaystyle TENIDO\mathrm} \rangle }$. Un estado arbitrario puede ser escrito $${\displaystyle TEN\psi \rangle =\sum ##{s=-1,1}a_{s}\exp \left(i\alpha _{x}-es\theta \right)$$Donde ${\displaystyle \alpha ¿Qué?$ y ${\displaystyle \alpha _{-1}$ son ángulos de fase, Silencio es el ángulo por el cual se gira el marco de referencia, y $${\displaystyle \sum _{s=-1,1}\vert a_{s}\vert ^{2}=1.}$$

Cuando el estado está escrito en la notación de la columna, el operador de la columna puede ser escrito $${\displaystyle {\hat {S}_{d}\rightarrow i{\partial \over \partial \theta }$$$${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fn}}} {\fnMicrosoft}\f}}\fnK\f}\f}\fn\f}}}}\\\\fn\\\\\\\\\\\\\fnK\fn\fnK\fnK\fn\fnK\\\fnK\fnK\fnK\fn\fn\f}}}}}\f}}}}}\\\\\\\\fnK\fnK\fn\\\\fnK\\\fnK\fn\fn\fnK\fn\fnK\fnK\fn\fn}}}}\\\\\\\\fnK}}}}}}} ## Rightarrow -i{\partial \over \partial \theta }$$

Los eigenvectores del operador de giro diferencial son $${\displaystyle \exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)$$

Para ver esta nota $${\displaystyle {\hat {S}_{d}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right) vidas\rangle \rightarrow i{\partial \over \partial \theta }\exp \left(i\alpha _{x}-es\theta\right)$$

El operador de impulso angular giratorio es $${\fnK}=\hbar} {\hat {S}_{d}}$$

Hay dos maneras en las que la probabilidad puede aplicarse al comportamiento de los fotones: puede utilizarse para calcular la cantidad probable de fotones en un estado particular, o puede utilizarse para calcular la probabilidad de que un solo fotón se encuentre en un estado particular. La primera interpretación viola la conservación de la energía. La segunda interpretación es la opción viable, aunque no intuitiva. Dirac lo explica en el contexto del experimento de la doble rendija:

Algún tiempo antes del descubrimiento de la mecánica cuántica la gente se dio cuenta de que la conexión entre ondas de luz y fotones debe ser de carácter estadístico. Lo que no sabían claramente, sin embargo, era que la función de onda da información sobre la probabilidad de uno fotones en un lugar particular y no el número probable de fotones en ese lugar. La importancia de la distinción puede aclararse de la siguiente manera. Supongamos que tenemos un rayo de luz que consiste en un gran número de fotones divididos en dos componentes de igual intensidad. A condición de que el haz esté conectado con el número probable de fotones en él, deberíamos tener la mitad del número total entrando en cada componente. Si los dos componentes se hacen ahora para interferir, debemos requerir un foton en un componente para poder interferir con uno en el otro. A veces estos dos fotones tendrían que aniquilarse mutuamente y otras veces tendrían que producir cuatro fotones. Esto contradice la conservación de la energía. La nueva teoría, que conecta la función de onda con probabilidades de un fotón supera la dificultad haciendo que cada foton vaya en parte a cada uno de los dos componentes. Cada fotón entonces interfiere solo consigo mismo. La interferencia entre dos fotones diferentes nunca ocurre.
—Paul Dirac, Los Principios de la Mecánica Cuántica, 1930, Capítulo 1

La probabilidad de que un fotón se encuentre en un estado de polarización particular depende de los campos calculados por las ecuaciones clásicas de Maxwell. El estado de polarización del fotón es proporcional al campo. La probabilidad en sí es cuadrática en los campos y, en consecuencia, también es cuadrática en el estado cuántico de polarización. En mecánica cuántica, por lo tanto, el estado o amplitud de probabilidad contiene la información de probabilidad básica. En general, las reglas para combinar amplitudes de probabilidad se parecen mucho a las reglas clásicas para la composición de probabilidades: [La siguiente cita es de Baym, Capítulo 1]

1. La amplitud de probabilidad para dos probabilidades sucesivas es el producto de amplitudes para las posibilidades individuales. Por ejemplo, la amplitud del fotón polarizado x para ser polarizada circularmente derecha y para el fotón polarizado circular derecho para pasar por el y-polaroide es ${\displaystyle \langle Rtenciónx\rangle \langle y sufrimientoR\rangle}$ el producto de las amplitudes individuales.
2. La amplitud para un proceso que puede tener lugar en uno de varios indistinguible maneras es la suma de las amplitudes para cada una de las maneras individuales. Por ejemplo, la amplitud total del fotón x polarizado para pasar por el y-polaroide es la suma de las amplitudes para que pase como un fotón circularmente polarizado derecho, ${\displaystyle \langle y sometida R\rangle \langle R WordPressx\rangle}$ más la amplitud para que pase como un fotón polarizado circular izquierdo, ${\displaystyle \langle y sometida L\rangle \langle L sometidax\rangle \dots }$
3. La probabilidad total de que ocurra el proceso es el valor absoluto cuadrado de la amplitud total calculada por 1 y 2.

Para cualquier operador legal la siguiente desigualdad es una consecuencia de la desigualdad Cauchy-Schwarz. $${\displaystyle {\frac {1}{4}}\langle ({\hat {A}{\hat {B}-{\hat {B}}{\hat {A}})x\rangle \right WordPress^{2}\leq\left\fnh}x\derecha {2}\b}\b}\cH00}\b}\b}\b}\b}\b}\b}\b}\b}\b}\b}\b9}\b}\b9}\b}\b}\b9}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\b}\b}\b}\b9}\b}\b}\b9}\b}\b}\b}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\b}\$$

Si B A ↑ A B ↓ se definen, luego restando los medios y re-insertando en la fórmula anterior, deducimos $${\displaystyle Delta _{\psi }{\hat {A}\,\Delta _{\psi }{\hat {B}\geq {\frac} {2}\left upon\left\langle \left[{\hat {A}}},{\hat {B}}\right\rangle _{\psi }\derecho}$$Donde $${\displaystyle \left\langle {X}\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi \right sobre la vida {\hat {X}\left durable\psi \right\rangle }$$es la media de operador de observable X en el estado del sistema $${\displaystyle Delta _{\psi }{\hat {X}={\sqrt {\langle {\hat {X}}}\rangle _{\psi\f} ¿Qué?$$

Aquí. $${\displaystyle \left[{\hat {A},{\hat {B}\right] {\fnMicrosoft} {\fnK}}} {\fnK} {\f} {\f}} {\fn}} {\f}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}} {\f} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}} {\f} {\f}}}}} {\f}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}} {\f} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}} {\f} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$se llama el conmutador de A y B.

Este es un resultado puramente matemático. No se ha hecho referencia a ninguna cantidad física ni principio. Simplemente establece que la incertidumbre de un operador multiplicada por la incertidumbre de otro operador tiene un límite inferior.

La conexión a la física se puede hacer si identificamos a los operadores con operadores físicos como el impulso angular y el ángulo de polarización. Entonces tenemos $${\displaystyle Delta _{\psi }{\hat {L}_{z}\,\Delta _{\psi }{\theta }\geq {\hbar } {\hbar}}}} {\f}}$$que significa que el impulso angular y el ángulo de polarización no se puede medir simultáneamente con precisión infinita. (El ángulo de polarización se puede medir comprobando si el fotón puede pasar a través de un filtro polarizador orientado en un ángulo particular, o un separador de haz polarizado. Esto resulta en una respuesta sí/no que, si el fotón fue polarizado en algún otro ángulo, depende de la diferencia entre los dos ángulos.)

Gran parte del aparato matemático de la mecánica cuántica aparece en la descripción clásica de una onda electromagnética sinusoidal polarizada. El vector de Jones para una onda clásica, por ejemplo, es idéntico al vector de estado de polarización cuántica para un fotón. Los componentes circulares derecho e izquierdo del vector de Jones pueden interpretarse como amplitudes de probabilidad de los estados de espín del fotón. La conservación de la energía requiere que los estados se transformen con una operación unitaria. Esto implica que las transformaciones infinitesimales se transforman con un operador hermítico. Estas conclusiones son una consecuencia natural de la estructura de las ecuaciones de Maxwell para las ondas clásicas.

La mecánica cuántica entra en escena cuando se miden las cantidades observadas y se descubre que son discretas en lugar de continuas. Los valores observables permitidos están determinados por los valores propios de los operadores asociados con el observable. En el caso del momento angular, por ejemplo, los valores observables permitidos son los valores propios del operador de espín.

Estos conceptos han surgido de manera natural a partir de las ecuaciones de Maxwell y de las teorías de Planck y Einstein, y se ha comprobado que son válidos para muchos otros sistemas físicos. De hecho, el programa típico consiste en asumir los conceptos de esta sección y luego inferir la dinámica desconocida de un sistema físico. Esto se hizo, por ejemplo, con la dinámica de los electrones. En ese caso, trabajando a partir de los principios de esta sección, se infirió la dinámica cuántica de las partículas, lo que condujo a la ecuación de Schrödinger, una desviación de la mecánica newtoniana. La solución de esta ecuación para los átomos condujo a la explicación de la serie de Balmer para los espectros atómicos y, en consecuencia, formó una base para toda la física y la química atómicas.

Esta no es la única ocasión en la que las ecuaciones de Maxwell han obligado a una reestructuración de la mecánica newtoniana. Las ecuaciones de Maxwell son relativísticamente consistentes. La relatividad especial es el resultado de los intentos de hacer que la mecánica clásica fuera consistente con las ecuaciones de Maxwell (véase, por ejemplo, Problema del imán y el conductor en movimiento).

• Momento angular de la luz
  • Gire el impulso angular de la luz
  • Momento angular orbital de la luz
• Decoherencia cuántica
• Experimento Stern-Gerlach
• dualidad de partículas de onda
• Experimento doble
• Polarización de giro

• Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3a edición). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Baym, Gordon (1969). Conferencias sobre Mecánica Cuántica. W. A. Benjamin. ISBN 0-8053-0667-6.
• Dirac, P. A. M. (1958). Los Principios de la Mecánica Cuántica (Cuarta edición). Oxford. ISBN 0-19-851208-2