Poder de dos

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Dos elevados a un poder entero

Una potencia de dos es un número de la forma $2 n$ donde $n$ es un número entero, es decir, el resultado de la exponenciación con el número dos como base y un número entero $n$ como exponente.

En un contexto donde solo se consideran números enteros, $n$ está restringido a valores no negativos, por lo que hay 1, 2, y 2 multiplicado por sí mismo un número determinado de veces.

Did you mean:

The first ten powers of 2 for non-negative values of n are:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,... A000079 en el OEIS)

Base del sistema de numeración binaria

Debido a que dos es la base del sistema numérico binario, las potencias de dos son comunes en la informática. Escrito en binario, una potencia de dos siempre tiene la forma 100...000 o 0,00...001, al igual que una potencia de 10 en el sistema decimal.

Informática

Dos elevado al exponente de $n$ , escrito como $2 n$ , es el número de formas en que los bits en una palabra binaria de longitud $n$ se puede arreglar. Una palabra, interpretada como un entero sin signo, puede representar valores desde 0 ( $000...000 2$ ) a $2 n - 1$ ( $111...111 2$ ) inclusive. Los valores enteros con signo correspondientes pueden ser positivos, negativos y cero; ver representaciones de números firmados. De cualquier manera, uno menos que una potencia de dos suele ser el límite superior de un número entero en las computadoras binarias. Como consecuencia, números de este tipo aparecen con frecuencia en los programas informáticos. Por ejemplo, un videojuego que se ejecuta en un sistema de 8 bits podría limitar la puntuación o el número de elementos que el jugador puede conservar a 255 (el resultado de utilizar un byte, que tiene 8 bits de longitud, para almacenar el número, dando una valor máximo de $28 - 1 = 255$ . Por ejemplo, en la Legend of Zelda original, el personaje principal estaba limitado a llevar 255 rupias (la moneda del juego) en un momento dado, y el videojuego Pac-Man tiene una famosa pantalla de muerte en nivel 256.

Las potencias de dos se utilizan a menudo para medir la memoria de la computadora. Un byte ahora se considera ocho bits (un octeto), lo que da como resultado la posibilidad de 256 valores (2⁸). (El término byte alguna vez significó (y en algunos casos, todavía significa) una colección de bits, generalmente de 5 a 32 bits, en lugar de solo una unidad de 8 bits). El prefijo kilo , junto con byte, puede usarse, y se ha usado tradicionalmente, para significar 1.024 (2¹⁰). Sin embargo, en general, el término kilo se ha utilizado en el Sistema Internacional de Unidades para significar 1.000 (10³). Los prefijos binarios se han estandarizado, como kibi (Ki) que significa 1.024. Casi todos los registros de procesador tienen tamaños que son potencias de dos, siendo muy común 32 o 64.

Las potencias de dos también ocurren en muchos otros lugares. Para muchas unidades de disco, al menos uno de los tamaños de sector, número de sectores por pista y número de pistas por superficie es una potencia de dos. El tamaño del bloque lógico es casi siempre una potencia de dos.

Los números que no son potencias de dos aparecen en diversas situaciones, como en las resoluciones de vídeo, pero a menudo son la suma o el producto de sólo dos o tres potencias de dos, o potencias de dos menos uno. Por ejemplo, $640 = 32 \times 20$ y $480 = 32 \times 15$ . Dicho de otra manera, tienen patrones de bits bastante regulares.

Primas de Mersenne y Fermat

(feminine)

Un número primo que es uno menos que una potencia de dos se llama primo de Mersenne. Por ejemplo, el número primo 31 es primo de Mersenne porque es 1 menor que 32 (2⁵). De manera similar, un número primo (como 257) que es uno más que una potencia positiva de dos se llama primo de Fermat: el exponente en sí es una potencia de dos. Una fracción que tiene una potencia de dos como denominador se llama racional diádica. Los números que pueden representarse como sumas de números enteros positivos consecutivos se denominan números corteses; son exactamente los números que no son potencias de dos.

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Euclid 's Elements, Book IX

La progresión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32,... (o, en el sistema de numeración binario, 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000,...) es importante en número teoría. Libro IX, Proposición 36 de Elementos demuestra que si la suma de los primeros $n$ términos de esta progresión es un número primo (y por tanto es un primo de Mersenne como se mencionó anteriormente), entonces esta suma multiplicada por el $n$ ésimo término es un número perfecto. Por ejemplo, la suma de los primeros 5 términos de la serie 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, que es un número primo. La suma 31 multiplicada por 16 (el quinto término de la serie) es igual a 496, que es un número perfecto.

El Libro IX, Proposición 35, demuestra que en una serie geométrica, si el primer término se resta del segundo y último término de la sucesión, así como el exceso del segundo es al primero, también lo es el exceso del último. a todos los que le precedieron. (Esta es una reformulación de nuestra fórmula para series geométricas anterior). Aplicando esto a la progresión geométrica 31, 62, 124, 248, 496 (que resulta de 1, 2, 4, 8, 16 multiplicando todos los términos por 31), vemos que 62 menos 31 es a 31 como 496 menos 31 es a la suma de 31, 62, 124, 248. Por lo tanto, los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248 suman hasta 496 y más, estos son todos los números que dividen a 496. Supongamos que $p$ divide 496 y no está entre estos números. Supongamos que $p q$ es igual a $16 \times 31$ , o 31 es $q$ como $p$ es 16. Ahora $p$ no puede dividir 16 o estaría entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Por lo tanto, 31 no puede dividir $q$ . Y como 31 no divide $q$ y $q$ mide 496, el teorema fundamental de la aritmética implica que $q$ debe dividir 16 y estar entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Sea $q$ 4, luego $p$ debe ser 124, lo cual es imposible ya que por hipótesis $p$ no está entre los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 o 248.

Tabla de valores

(secuencia A000079 en el OEIS)


$n$	$2 n$	$n$	$2 n$	$n$	$2 n$	$n$	$2 n$
0	1	16	65.536	32	4.294.967.296	48	281,474,976,710,656
1	2	17	131.072	33	8.589.934.992	49	562,949,953,421,312
2	4	18	262,144	34	17.179.869.184	50	1.125.889.906.842.624
3	8	19	524.288	35	34,359,738,368	51	2,251,799,813,685,248
4	16	20	1.048.576	36	68.719.476.736	52	4,503,599,627,370,496
5	32	21	2,097,152	37	137.438.953.472	53	9,007,199,254,740,992
6	64	22	4,194,304	38	274,877,906,944	54	18.014,398,509,481,984
7	128	23	8.388.608	39	549,755,813,888	55	36,028,797,018,963,968
8	256	24	16,777,216	40	1,099,511,627,776	56	72,057,594,037,927,936
9	512	25	33,554,432	41	2,199,023,255,552	57	144,115,188,075,855,872
10	1.024	26	67.108.864	42	4,398,046,511,104	58	288,230,376,151,711,744
11	2.048	27	134,217,728	43	8,796,093,022,208	59	576,460,752,303,423,488
12	4.096	28	268,435,456	44	17,592,186,044,416	60	1.152.921.504.606.846.976
13	8.192	29	536.870.912	45	35,184,372,088,832	61	2,305,843,009,213,693,952
14	16.384	30	1.073.741.824	46	70,368,744,177,664	62	4,611,686,018,427,387,904
15	32.768	31	2,147,483,648	47	140,737,488,355,328	63	9,223,372,036,854,775,808

Últimos dígitos

Comenzando con 2, el último dígito es periódico con un período 4, con el ciclo 2–4–8–6–, y comenzando con 4, los dos últimos dígitos son periódicos con un período 20. Estos patrones generalmente son válidos para cualquier potencia, con respecto a cualquier base. El patrón continúa donde cada patrón tiene un punto inicial $2 k$ y el período es el orden multiplicativo de 2 módulo $5 k$ , que es $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (ver Grupo multiplicativo de números enteros módulo n).

Poderes de 1024

(secuencia A140300 en el OEIS)

Los primeros poderes de 2¹⁰ son ligeramente mayores que esos mismos poderes de 1000 (10³). Las potencias de 2¹⁰ valores que tienen menos del 25% de desviación se enumeran a continuación:


2⁰	=	1	= 1000⁰	(0% de desviación)
2¹⁰	=	1 024	Entendido 1000¹	(2,4% de desviación)
2²⁰	=	1 048 576	Entendido 1000²	(4,9% de desviación)
2³⁰	=	1 073 741 824	Entendido 1000³	(7,4% desviación)
2⁴⁰	=	1 099 511 627 776	Entendido 1000⁴	(10.0% de desviación)
2⁵⁰	=	1 125 899 906 842 624	Entendido 1000⁵	(12,6% de desviación)
2⁶⁰	=	1 152 921 504 606 846 976	Entendido 1000⁶	(15,3% de desviación)
2⁷⁰	=	1 180 591 620 717 411 303 424	Entendido 1000⁷	(18,1% de desviación)
2⁸⁰	=	1 208 925 819 614 629 174 706 176	Entendido 1000⁸	(20,9% de desviación)
2⁹⁰	=	1 237 940 039 285 380 274 899 124 224	Entendido 1000⁹	(23,8% de desviación)

Se necesitan aproximadamente 17 potencias de 1024 para alcanzar el 50% de desviación y aproximadamente 29 potencias de 1024 para alcanzar el 100% de desviación de las mismas potencias de 1000.

Potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos

Porque los datos (específicamente los números enteros) y las direcciones de los datos se almacenan utilizando el mismo hardware, y los datos se almacenan en uno o más octetos ( $23$ ), las exponenciales dobles de dos son comunes. Los primeros 20 de ellos son:


$n$	$2 n$	$2 2 n$ (secuencia) A001146 en el OEIS)	dígitos
0	1	2	1
1	2	4	1
2	4	16	2
3	8	256	3
4	16	65.536	5
5	32	4.294.967.296	10
6	64	18,446,744,073,709,551,616	20
7	128	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456	39
8	256	115,792,089,237,316,195,423,570,9...4,039,457,584,007,913,129,639,936	78
9	512	13,407,807,929,942,597,099,574,02...1,946,569,946,433,649,006,084,096	155
10	1.024	179,769,313,486,231,590,772,930,5...6,304,835,356,329,624,224,137,216	309
11	2.048	32,317,006,071,311,007,300,714,87...8,193,555,853,611,059,596,230,656	617
12	4.096	1,044,388,881,413,152,506,691,752,...0,243,804,708,340,403,154,190.336	1.234
13	8.192	1,090,748,135,619,415,929,462,984,...1,997,186,505,665,475,715,792,896	2.467
14	16.384	1,189,731,495,357,231,765,085,759,...2,460,447,027,290,669,964,066,816	4.933
15	32.768	1,415,461,031,044,954,789,001,553,...7,541,122,668,104,633,712,377,856	9,865
16	65.536	2,003,529,930,406,846,464,979,072,...2,339,445,587,895,905,719,156,736	19.729
17	131.072	4,014,132,182,036,063,039,166,060,...1,850,665,812,318,570,934,173,696	39.457
18	262,144	16,113,257,174,857,604,736,195,72...0,753,862,605,349,934,298,300,416	78.914
19	524.288	259,637,056,783,100,077,612,659,6...1,369,814,364,528,226,185,773,056	157.827

Véase también tetración e hiperoperaciones inferiores.

Últimos dígitos para potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos

Todos estos números terminan en 6. A partir de 16, los dos últimos dígitos son periódicos con un período 4, con el ciclo 16–56–36–96–, y a partir de 16, los últimos tres dígitos son periódicos con un período 20. Estos patrones son generalmente válidos para cualquier poder, con respecto a cualquier base. El patrón continúa donde cada patrón tiene un punto inicial $2 k$ y el período es el orden multiplicativo de 2 módulo $5 k$ , que es $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (ver Grupo multiplicativo de números enteros módulo n).

Datos sobre potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos

Did you mean:

In a connection with numbers, these numbers are often called Fermat 2-powers.

Los números $2^{2^{n}}$ forma una secuencia de irracionalidad: para cada secuencia $x_{i}$ de números enteros positivos, la serie

sum_{i=0}^{infty} frac{1}{2^{2^i} x_i} = frac{1}{2x_0}+frac{1}{4x_1}+frac{1}{16x_2}+cdots

convege a un número irracional. A pesar del rápido crecimiento de esta secuencia, es la secuencia de irracionalidad de crecimiento más lento conocida.

Potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos en informática

Varios de estos números representan el número de valores representables utilizando tipos de datos informáticos comunes. Por ejemplo, una palabra de 32 bits que consta de 4 bytes puede representar $232$ valores distintos, que pueden considerarse meros patrones de bits o se interpretan más comúnmente como números sin signo del 0 al $232 - 1$ , o como el rango de números con signo entre $-2 31$ y $231 - 1$ . Para obtener más información sobre la representación de números con signo, consulte Complemento a dos.

Poderes de dos seleccionados

2² = 4: El número que es el cuadrado de dos. También el primer poder de dos tetraciones de dos.
2⁸ = 256: El número de valores representados por los 8 bits en un byte, más específicamente denominado como un octeto. (El término byte se define a menudo como una colección de bits en lugar de la definición estricta de una cantidad de 8 bits, como lo demuestra el término kilobyte.)
2¹⁰ = 1.024: La aproximación binaria del kilo-, o 1.000 multiplicador, que causa un cambio de prefijo. Por ejemplo: 1.024 bytes = 1 kilobyte (o kibibyte).
2¹² = 4.096: El tamaño de la página de hardware de un procesador compatible con Intel x86.
2¹⁵ = 32.768: Número de valores no negativos para un firmado entero de 16 bits.
2¹⁶ = 65.536: El número de valores distintos representable en una sola palabra sobre un procesador de 16 bits, como los procesadores x86 originales.; El rango máximo de una variable de entero corto en los lenguajes de programación C#, Java y SQL. El rango máximo de un Palabra o Pequeño variable en el lenguaje de programación Pascal.; El número de relaciones binarias en un conjunto de 4 elementos.
2²⁰ = 1.048.576: La aproximación binaria del mega-, o 1.000.000 multiplicador, que causa un cambio de prefijo. Por ejemplo: 1.048.576 bytes = 1 megabyte (o mebibyte).
2²⁴ = 16.777.216: El número de colores únicos que se pueden mostrar en el verdadero color, que es utilizado por monitores de computadora comunes.; Este número es el resultado de utilizar el sistema RGB de tres canales, con 8 bits para cada canal, o 24 bits en total.; El tamaño del entero más grande sin firmar o dirección en ordenadores con registros de 24 bits o autobuses de datos.
2²⁹ = 536.870.912: La potencia más grande de dos con dígitos distintos en la base diez.
2³⁰ = 1.073.741.824: La aproximación binaria del giga-, o 1.000.000.000 multiplicador, que causa un cambio de prefijo. Por ejemplo, 1.073.741.824 bytes = 1 gigabyte (o gibibyte).
2³¹ = 2,147,483,648: Número de valores no negativos para un firmado Un entero de 32 bits. Dado que el tiempo Unix se mide en segundos desde el 1 de enero de 1970, se ejecutará en 2.147.483.647 segundos o 03:14:07 UTC el martes 19 de enero de 2038 en computadoras de 32 bits que ejecutan Unix, un problema conocido como el problema del año 2038.
2³² = 4.294.967.296: El número de valores distintos representable en una sola palabra sobre un procesador de 32 bits. O, el número de valores representables en una doble palabra sobre un procesador de 16 bits, como los procesadores x86 originales.; El rango de un int variable en los lenguajes de programación Java, C# y SQL.; El rango de un Cardinal o Integer variable en el lenguaje de programación Pascal.; El rango mínimo de una variable de entero largo en los lenguajes de programación C y C++.; El número total de direcciones IP bajo IPv4. Aunque este es un número aparentemente grande, se ha agotado el número de direcciones IPv4 disponibles de 32 bits (pero no para direcciones IPv6).; El número de operaciones binarias con dominio igual a cualquier conjunto de 4 elementos, como GF(4).
2⁴⁰ = 1,099,511,627,776: La aproximación binaria del tera-, o 1.000.000.000 de multiplicador, que causa un cambio de prefijo. Por ejemplo, 1.099.511.627.776 bytes = 1 terabyte o tebibyte.
2⁵⁰ = 1.125.889.906.842.624: La aproximación binaria del peta-, o 1.000.000.000.000 de multiplicador. 1.125.889.906.842.624 bytes = 1 petabyte o pebibyte.
2⁵³ = 9,007,199,254,740,992: El número hasta el cual todos los valores enteros pueden ser representados exactamente en el formato de doble precisión de IEEE. También la primera potencia de 2 para comenzar con el dígito 9 en decimal.
2⁵⁶ = 72,057,594,037,927,936: El número de diferentes claves posibles en el cifrado simétrico de 56 bits DES.
2⁶⁰ = 1.152.921.504.606.846.976: La aproximación binaria del exa-, o 1,000,000,000,000,000,000 multiplier. 1,152,921,504,606,846,976 bytes = 1 exabyte o exbibyte.
2⁶³ = 9,223,372,036,854,775,808: El número de valores no negativos para un entero firmado de 64 bits.; 2⁶³ − 1, un valor máximo común (equivalentemente el número de valores positivos) para un entero firmado de 64 bits en lenguajes de programación.
2⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616: El número de valores distintos representable en una sola palabra sobre un procesador de 64 bits. O, el número de valores representable en una palabra doble en un procesador de 32 bits. O, el número de valores representables en un cuadword sobre un procesador de 16 bits, como los procesadores x86 originales.; El rango de una larga variable en los lenguajes de programación Java y C#.; El rango de un Int64 o QWord variable en el lenguaje de programación Pascal.; El número total de direcciones IPv6 generalmente dadas a una sola LAN o subnet.; 2⁶⁴ − 1, el número de granos de arroz en un tablero de ajedrez, según la vieja historia, donde la primera plaza contiene un grano de arroz y cada plaza sucesor dos veces más que la plaza anterior. Por esta razón, el número se conoce a veces como el "número de parra".; 2⁶⁴ − 1 es también el número de movimientos necesarios para completar la legendaria versión de 64 discos de la Torre de Hanoi.
2⁶⁸ = 295,147,905,179,352,825,856: La primera potencia de 2 para contener todos los dígitos decimales. (secuencia) A137214 en el OEIS)
2⁷⁰ = 1,180,591,620,717,411,303,424: La aproximación binaria del zetta-, o 1.000.000.000.000.000.000.000.000 de multiplicador. 1,180,591,620,717,411,303,424 bytes = 1 zettabyte (o zebibyte).
2⁸⁰ 1,208,925,819,614,629,174,706,176: La aproximación binaria del yotta-, o 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000 de multiplicador. 1.208.925.819.614.629.124.704.706 bytes = 1 yottabyte (o yobibyte).
2⁸⁶ = 77,371,252,455,336,267,181,195,264: 2⁸⁶ se conjetura para ser la potencia más grande de dos que no contiene un cero en decimal.
2⁹⁶ = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336: El número total de direcciones IPv6 generalmente se da a un registro local de Internet. En la notación CIDR, los ISP reciben un /32, lo que significa que 128-32=96 bits están disponibles para direcciones (a diferencia de la designación de red). Así, 2⁹⁶ direcciones.
2¹⁰⁸ = 324,518,553,658,426,726,783,156,020,576,256: El mayor poder conocido de 2 no contiene un 9 en decimal. (secuencia) A035064 en el OEIS)
2¹²⁶ = 85,070,591,730,234,615,865,843,651,857,942,052,864: El mayor poder conocido de 2 no contiene un par de dígitos iguales consecutivos. (secuencia) A050723 en el OEIS)
2¹²⁸ = 340,282,366,920,938,463,374,607,431,768,211,456: El número total de direcciones IP disponibles bajo IPv6. También el número de identificadores distintos universalmente únicos (UUIDs).
2¹⁶⁸ = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856: El mayor poder conocido de 2 no contiene todos los dígitos decimales (el dígito 2 falta en este caso). (secuencia) A137214 en el OEIS)
2¹⁹² = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896: El número total de diferentes claves posibles en el espacio clave AES de 192 bits (cifra simétrica).
2²²⁹ = 862,718,293,348,820,473,429,344,482,784,628,181,556,388,621,521,298,319,395,315,527,974,912: 2²²⁹ es el mayor poder conocido de dos que contiene el menor número de ceros en relación con su poder. Es conjeturado por Metin Sariyar que cada dígito 0 a 9 está inclinado a aparecer un número igual de veces en la expansión decimal del poder de dos a medida que el poder aumenta. (secuencia) A330024 en el OEIS)
2²⁵⁶ = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936: El número total de diferentes teclas posibles en el espacio clave AES 256-bit (cifra simétrica).
2^1.024 = 179,769,313,486,231,590,772,930, 304,835,356,329,624,224,137,216: El número máximo que puede caber en un formato de doble precisión IEEE de 64 bits (aproximadamente 1.797×10³⁰⁸), y por lo tanto el número máximo que puede ser representado por muchos programas, por ejemplo Microsoft Excel.
2^16.384 = 1,189,731,495,357,231,765,085,75...,460,447,027,290,669,964,066,816: El número máximo que puede caber en un formato de cuádruple-precisión IEEE de 128 bits (aproximadamente 1.189×10⁴⁹³²).
2^262,144 = 16,113,257,174,857,604,736,195,7...,753,862,605,349,934,298,300,416: El número máximo que puede caber en un formato de punto flotante de 256 bits IEEE (aproximadamente 1.611×10⁷⁸⁹¹³).
2^82.589.933 = 1,488,944,457,420,413,255,478,06...,074,037,951,210,325,217,902,592: Uno más que el mayor número conocido de primaria al 2023 de junio. Tiene 24.862.048 dígitos.

Potencias de dos en teoría musical

En notación musical, todos los valores de nota no modificados tienen una duración igual a una nota completa dividida por una potencia de dos; por ejemplo, una blanca (1/2), una negra (1/4), una corchea (1/8) y una semicorchea (1/16). Las notas con puntillo o modificadas de otro modo tienen otras duraciones. En las firmas de compás, el número inferior, la unidad de tiempo, que puede verse como el denominador de una fracción, es casi siempre una potencia de dos.

Si la proporción de frecuencias de dos tonos es una potencia de dos, entonces el intervalo entre esos tonos es de octavas completas. En este caso, las notas correspondientes tienen el mismo nombre.

Otras propiedades

La suma de todos los $n$ -elija coeficientes binomiales es igual a $2 n$ . Considere el conjunto de todos los enteros binarios de $n$ -dígitos. Su cardinalidad es $2 n$ . También son las sumas de las cardinalidades de ciertos subconjuntos: el subconjunto de números enteros sin unos (que consta de un solo número, escrito como $n$ 0), el subconjunto con un solo 1, el subconjunto con dos 1, y así sucesivamente hasta el subconjunto con $n$ 1 (que consta del número escrito como $n$ 1). Cada uno de estos es a su vez igual al coeficiente binomial indexado por $n$ y el número de unos que se consideran (por ejemplo, hay 10-elija-3 números binarios con diez dígitos que incluyan exactamente tres unos).

Actualmente, las potencias de dos son los únicos números casi perfectos conocidos.

El número de vértices de un $n$ - hipercubo dimensional $2 n$ . Del mismo modo, el número de $() n -1)$ -caras de un $n$ -polytope dimensional es también $2 n$ y la fórmula para el número de $x$ -caras una $n$ -polytope dimensional tiene ${displaystyle 2^{x}{tbinom {n}{x}}.}$

La suma de los recíprocos de las potencias de dos es 1. La suma de los recíprocos de las potencias de dos al cuadrado (potencias de cuatro) es 1/3.

La potencia natural más pequeña de dos cuya representación decimal comienza con 7 es

{displaystyle 2^{46}=70 368 744 177 664.}

Cada potencia de 2 (excluyendo 1) se puede escribir como la suma de cuatro números cuadrados de 24 maneras. Las potencias de 2 son los números naturales mayores que 1 que se pueden escribir como la suma de cuatro números cuadrados de la menor cantidad de formas.

Como un polinomio real, aⁿ + bⁿ es irreducible, si y sólo si n es un poder de dos. (Si) n es extraño, entonces aⁿ + bⁿ es divisible por a+n, y si n es incluso pero no un poder de 2, entonces n puede ser escrito como n=MP, donde m es extraño, y por lo tanto ${displaystyle a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}}$ , que es divisible por a^p + b^p.) Pero en el dominio de números complejos, el polinomio ${displaystyle a^{2n}+b^{2n}}$ (donde) nSiempre se puede tener en cuenta ${displaystyle a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)cdot (a^{n}-b^{n}i)}$ , incluso si n es un poder de dos.

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