Plano proyectivo real

El polígono fundamental del plano proyectivo.

La tira Möbius con un solo borde, se puede cerrar en un plano proyectivo al pegar los bordes abiertos opuestos.

En comparación, la botella Klein es una franja Möbius cerrada en un cilindro.

En matemáticas, la plano proyector real es un ejemplo de un conjunto compacto de dos dimensiones no orientable; en otras palabras, una superficie unilateral. No puede ser incrustado en el espacio tridimensional estándar sin interseccionarse. Tiene aplicaciones básicas a la geometría, ya que la construcción común del plano proyectivo real es como el espacio de líneas en R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} pasando por el origen.

El plano también se describe a menudo topológicamente, en términos de una construcción basada en la tira de Möbius: si uno pudiera pegar el (único) borde de la tira de Möbius a sí mismo en la dirección correcta, obtendría el plano proyectivo. (Esto no se puede hacer en el espacio tridimensional sin que la superficie se cruce a sí misma). De manera equivalente, pegar un disco a lo largo del límite de la tira de Möbius da el plano proyectivo. Topológicamente, tiene la característica de Euler 1, por lo tanto un semigénero (género no orientable, género Euler) de 1.

Dado que la tira de Möbius, a su vez, se puede construir a partir de un cuadrado pegando dos de sus lados con una media torsión, el plano proyectivo real se puede representar como un cuadrado unitario (es decir, [0, 1] × [0,1]) con sus lados identificados por las siguientes relaciones de equivalencia:

(0, Sí.) ~ (1, 1 - Sí.) para 0 ≤ Sí. ≤ 1

y

()x, 0) ~ (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1,

como en el diagrama más a la izquierda que se muestra aquí.

Ejemplos

La geometría proyectiva no necesariamente tiene que ver con la curvatura y el plano proyectivo real se puede torcer y colocar en el plano euclidiano o en el espacio tridimensional de muchas maneras diferentes. Algunos de los ejemplos más importantes se describen a continuación.

El plano proyectivo no puede estar incrustado (es decir, sin intersección) en el espacio euclidiano tridimensional. La prueba de que el plano proyectivo no se incrusta en el espacio euclidiano tridimensional es la siguiente: suponiendo que sí se incrusta, limitaría una región compacta en el espacio euclidiano tridimensional mediante el teorema generalizado de la curva de Jordan. El campo vectorial normal unitario que apunta hacia afuera daría entonces una orientación de la variedad límite, pero la variedad límite sería el plano proyectivo, que no es orientable. Esto es una contradicción, por lo que nuestra suposición de que sí se incrusta debe haber sido falsa.

La esfera proyectiva

Considere una esfera, y sean los máximos círculos de la esfera "líneas", y los pares de puntos antípodas sean "puntos". Es fácil comprobar que este sistema obedece a los axiomas exigidos a un plano proyectivo:

• cualquier par de grandes círculos distintos se encuentran en un par de puntos antipodal; y
• cualquier dos pares distintos de puntos antipodales se encuentran en un solo gran círculo.

Si identificamos cada punto de la esfera con su antípoda, obtenemos una representación del plano proyectivo real en el que los "puntos" del plano proyectivo son realmente puntos. Esto significa que el plano proyectivo es el espacio cociente de la esfera obtenido al dividir la esfera en clases de equivalencia bajo la relación de equivalencia ~, donde x ~ y si y = x o y = −x. Este espacio cociente de la esfera es homeomorfo con la colección de todas las rectas que pasan por el origen en R³.

El mapa de cociente de la esfera al plano proyectivo real es de hecho un mapa de cobertura de dos hojas (es decir, dos a uno). De ello se deduce que el grupo fundamental del plano proyectivo real es el grupo cíclico de orden 2; es decir, enteros módulo 2. Se puede tomar el bucle AB de la figura anterior como generador.

El hemisferio proyectivo

Debido a que la esfera cubre dos veces el plano proyectivo real, el plano puede representarse como un hemisferio cerrado alrededor de cuyo borde se identifican de manera similar puntos opuestos.

Boy 's surface – an immersion

The projective plane can be immersed (local neighbourhoods of the source space do not have self-intersections) in 3-space. Boy 's surface is an example of an immersion.

Los ejemplos poliédricos deben tener al menos nueve caras.

Superficie romana

Steiner 's Roman surface is a more degenerate map of the projective plane into 3-space, containing a cross-cap.

A polyhedral representation is the tetra hemi hexahedron, which has the same general form as Steiner 's Roman Surface, shown here.

Hemipoliedros

Mirando en la dirección opuesta, ciertos politopos regulares abstractos (hemicubo, hemidodecaedro y hemiicosaedro) pueden construirse como figuras regulares en el plano proyectivo; véase también poliedros proyectivos.

Proyecciones planas

Se han descrito varias proyecciones planas (planas) o mapeos del plano proyectivo. En 1874, Klein describió el mapeo:

k()x,Sí.)=()1+x2+Sí.2)12()xSí.){displaystyle k(x,y)=left(1+x^{2}+y^{2}right)^{frac {1}{2}{binom {x} {y}} {}} {}} {}} {f}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {fn}}}}} {f}}} {}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Central projection of the projective hemisphere onto a plane yields the usual finite projective plane, described below.

Disco con tapa cruzada

Se obtiene una superficie cerrada pegando un disco a una tapa transversal. Esta superficie se puede representar paramétricamente mediante las siguientes ecuaciones:

X()u,v)=r()1+#⁡ ⁡ v)#⁡ ⁡ u,Y()u,v)=r()1+#⁡ ⁡ v)pecado⁡ ⁡ u,Z()u,v)=− − Tanh⁡ ⁡ ()u− − π π )rpecado⁡ ⁡ v,{displaystyle {begin{aligned}X(u,v) limit=r,(1+cos v),cos u,\Y(u,v) limit=r,(1+cos v),sin u,Z(u,v) âTMa âTMa âTMa {tanh} left(u-piright),rend

donde tanto u como v oscilan entre 0 y 2π.

Estas ecuaciones son similares a las de un toroide. La figura 1 muestra un disco cerrado con tapa cruzada.

Gráfico 1. Dos vistas de un disco cruzado.

Un disco con tapa cruzada tiene un plano de simetría que pasa por su segmento de línea de puntos dobles. En la Figura 1, el disco con tapa cruzada se ve desde arriba de su plano de simetría z = 0, pero se vería igual si se viera desde abajo.

Un disco con tapa cruzada se puede cortar a lo largo de su plano de simetría, asegurándose de no cortar a lo largo de ninguno de sus puntos dobles. El resultado se muestra en la Figura 2.

Gráfico 2. Dos vistas de un disco cruzado que ha sido cortado abierto.

Una vez realizada esta excepción, se verá que el disco con tapa cruzada cortado es homeomórfico con respecto a un disco que se interseca a sí mismo, como se muestra en la Figura 3.

Gráfico 3. Dos vistas alternativas de un disco autointersecante.

El disco que se interseca a sí mismo es homeomorfo a un disco ordinario. Las ecuaciones paramétricas del disco que se intersecta a sí mismo son:

X()u,v)=rv#⁡ ⁡ 2u,Y()u,v)=rvpecado⁡ ⁡ 2u,Z()u,v)=rv#⁡ ⁡ u,{displaystyle {begin{aligned}X(u,v) sensible=r,v,cos 2u,\Y(u,v) limit=r,sin 2u,Z(u,v) limit=r,v,cos u,end{aligned}}}}}

donde u varía de 0 a 2π y v varía de 0 a 1.

Proyectando el disco que se intersecta a sí mismo en el plano de simetría (z = 0 en la parametrización dada anteriormente) que pasa sólo por los puntos dobles, el resultado es un disco ordinario que se repite (dobles). sobre sí mismo).

El plano z = 0 corta el disco que se interseca en un par de discos que son reflejos especulares entre sí. Los discos tienen centros en el origen.

Ahora considere los bordes de los discos (con v = 1). Los puntos en el borde del disco que se corta a sí mismo vienen en pares que son reflejos entre sí con respecto al plano z = 0.

Se forma un disco cruzado identificando estos pares de puntos, haciendo que sean equivalentes entre sí. Esto significa que un punto con parámetros (u, 1) y coordenadas ()r#⁡ ⁡ 2u,rpecado⁡ ⁡ 2u,r#⁡ ⁡ u){displaystyle (r,cos 2u,r,sin 2u,rcos u)} se identifica con el punto (u + π, 1) cuyas coordenadas son ()r#⁡ ⁡ 2u,rpecado⁡ ⁡ 2u,− − r#⁡ ⁡ u){displaystyle (r,cos 2u,r,sin 2u,-rcos u)}. Pero esto significa que los pares de puntos opuestos en el borde del disco ordinario (equivalente) se identifican entre sí; así es como un plano proyector real se forma de un disco. Por lo tanto, la superficie mostrada en la Figura 1 (crucijada con disco) es topológicamente equivalente al plano proyectivo real RP².

Coordenadas homogéneas

Los puntos en el plano se pueden representar mediante coordenadas homogéneas. Un punto tiene coordenadas homogéneas [x: y: z], donde las coordenadas [x: y: z] y [tx: ty: tz] se consideran lo mismo punto, para todos los valores distintos de cero de t. Los puntos con coordenadas [x: y: 1] son el plano real habitual, llamado parte finita del plano proyectivo, y los puntos con Las coordenadas [x: y: 0], llamadas puntos en el infinito o puntos ideales, constituyen una línea llamada línea en el infinito. (Las coordenadas homogéneas [0: 0: 0] no representan ningún punto).

Las líneas en el plano también se pueden representar mediante coordenadas homogéneas. Una línea proyectiva correspondiente al plano ax + by + cz = 0 en R³ tiene las coordenadas homogéneas (a: b: c). Así, estas coordenadas tienen la relación de equivalencia (a: b: c) = (da: db: dc) para todos los valores distintos de cero de d. Por lo tanto, una ecuación diferente de la misma recta dax + dby + dcz = 0 da las mismas coordenadas homogéneas. Un punto [x: y: z] se encuentra en una recta (a: b: c) si ax + by + cz = 0. Por lo tanto, líneas con coordenadas (a: b: c) donde a, b no son ambos 0 corresponden a las rectas en el plano real habitual, porque contienen puntos que no están en el infinito. La recta de coordenadas (0: 0: 1) es la recta del infinito, ya que los únicos puntos en ella son aquellos con z = 0.

Puntos, rectas y planos

Una línea en P² se puede representar mediante la ecuación ax + by + cz = 0. Si tratamos a, b y c como el vector columna ℓ y x, y, z como el vector columna x entonces la ecuación anterior se puede escribir en forma matricial como:

x^Tl = 0 o l^Tx = 0.

Usando notación vectorial podemos escribir x ⋅ ℓ = 0 o ℓ ⋅ x = 0.

La ecuación k(x^Tℓ) = 0 (donde k es un escalar distinto de cero) barre un plano que pasa por cero en R³ y k(x) barre una línea, pasando nuevamente por cero. El plano y la recta son subespacios lineales en R3, que siempre pasan por cero.

Puntos ideales

En P² la ecuación de una recta es ax + by + cz = 0 y esta ecuación puede representar una recta en cualquier plano paralela al plano x, y multiplicando el ecuación por k.

Si z = 1 tenemos una coordenada homogénea normalizada. Todos los puntos que tienen z = 1 crean un plano. Supongamos que estamos mirando ese plano (desde una posición más alejada a lo largo del eje z y mirando hacia el origen) y hay dos líneas paralelas dibujadas en el plano. Desde donde estamos (dadas nuestras capacidades visuales) solo podemos ver una parte del avión, que representamos como el área delineada en rojo en el diagrama. Si nos alejamos del avión a lo largo del eje z (aún mirando hacia atrás, hacia el origen), podemos ver más del avión. En nuestro campo de visión los puntos originales se han movido. Podemos reflejar este movimiento dividiendo la coordenada homogénea por una constante. En la imagen adyacente hemos dividido por 2, por lo que el valor z ahora pasa a ser 0,5. Si nos alejamos lo suficiente lo que estamos mirando se convierte en un punto en la distancia. A medida que nos alejamos vemos más y más líneas paralelas. Las líneas se encontrarán en una línea en el infinito (una línea que pasa por cero en el plano en z = 0). Líneas en el plano cuando z = 0 son puntos ideales. El plano en z = 0 es la línea en el infinito.

El punto homogéneo (0, 0, 0) es donde van todos los puntos reales cuando miras el avión desde una distancia infinita, una línea en el plano z = 0 es donde se cruzan las líneas paralelas.

Dualidad

En la ecuación x^Tℓ = 0 hay dos vectores columna. Puedes mantener cualquiera de ellos constante y variar el otro. Si mantenemos constante el punto x y variamos los coeficientes ℓ creamos nuevas rectas que pasan por el punto. Si mantenemos constantes los coeficientes y variamos los puntos que satisfacen la ecuación creamos una recta. Consideramos x como un punto, porque los ejes que estamos usando son x, y y z. Si, en cambio, graficamos los coeficientes usando los ejes marcados a, b, c, los puntos se convertirían en líneas y las líneas en puntos. Si prueba algo con los datos trazados en el eje marcado x, y y z, se puede usar el mismo argumento para los datos trazados en el eje. marcados como a, b y c. Esa es la dualidad.

Líneas que unen puntos e intersección de líneas (usando dualidad)

La ecuación x^Tℓ = 0 calcula el producto interno de dos columnas vectores. El producto interno de dos vectores es cero si los vectores son ortogonales. En P², la recta entre los puntos x₁ y x₂ se puede representar como un vector columna ℓ que satisface las ecuaciones x₁Tℓ = 0 y x₂^T ℓ = 0, o en otras palabras, un vector de columna ℓ que es ortogonal a x₁ y x₂. El producto vectorial encontrará el siguiente vector: la recta que une dos puntos tiene coordenadas homogéneas dadas por la ecuación x₁ × x ₂. La intersección de dos rectas se puede encontrar de la misma manera, usando la dualidad, como el producto cruzado de los vectores que representan las rectas, ℓ₁ × ℓ₂.

Incrustar en un espacio de 4 dimensiones

El plano proyectivo se integra en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. El plano proyectivo real P²(R) es el cociente de las dos esferas

S² *x, Sí., z) R³: x² + Sí.² + z² = 1}

por la relación antípoda (x, y, z) ~ (−x , −y, −z). Considere la función R³ → R⁴ dada por (x, y, z) ↦ (xy, xz, y² − z², 2yz) . Este mapa se restringe a un mapa cuyo dominio es S² y, como cada componente es un polinomio homogéneo de grado par, toma los mismos valores en R⁴ en cada uno de dos puntos antípodas cualesquiera en S². Esto produce un mapa P²(R) → R ⁴. Además, este mapa es una incrustación. Observe que esta incrustación admite una proyección hacia R³ que es la superficie romana.

Superficies superiores no orientables

Al pegar sucesivamente planos proyectivos obtenemos superficies no orientables de semigénero superiores. El proceso de pegado consiste en recortar un pequeño disco de cada superficie e identificar (pegar) sus círculos delimitadores. Al pegar dos planos proyectivos se crea la botella de Klein.

El artículo sobre el polígono fundamental describe las superficies superiores no orientables.