Plano proyectivo

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Concepto geométrico de un espacio 2D con un "punto al infinito" unido

Dibujos de los planos finitos proyectivos de los pedidos 2 (el avión Fano) y 3, en el diseño de la red, mostrando un método de crear tales dibujos para los pedidos primos

Estas líneas paralelas parecen intersectarse en el punto de desaparición "en el infinito". En un plano proyectivo esto es verdad.

En matemáticas, un plano proyectivo es una estructura geométrica que amplía el concepto de plano. En el plano euclidiano ordinario, dos líneas normalmente se intersecan en un solo punto, pero hay algunos pares de líneas (a saber, líneas paralelas) que no se intersecan. Se puede pensar en un plano proyectivo como un plano ordinario equipado con "puntos en el infinito" donde se cruzan rectas paralelas. Así cualquier dos líneas distintas en un plano proyectivo se cortan exactamente en un punto.

Los artistas del Renacimiento, al desarrollar las técnicas de dibujo en perspectiva, sentaron las bases de este tema matemático. El ejemplo arquetípico es el plano proyectivo real, también conocido como plano euclidiano extendido. Este ejemplo, en formas ligeramente diferentes, es importante en geometría algebraica, topología y geometría proyectiva, donde se puede denotar de diversas formas mediante PG(2, R), RP², o P₂(R), entre otras notaciones. Hay muchos otros planos proyectivos, tanto infinitos, como el plano proyectivo complejo, como finitos, como el plano de Fano.

Un plano proyectivo es un espacio proyectivo bidimensional, pero no todos los planos proyectivos se pueden incrustar en espacios proyectivos tridimensionales. Tal incrustabilidad es una consecuencia de una propiedad conocida como Desargues' teorema, no compartido por todos los planos proyectivos.

Definición

Un plano proyectivo consiste en un conjunto de líneas, un conjunto de puntos y una relación entre puntos y líneas llamada incidencia, teniendo las siguientes propiedades:

Dados los dos puntos distintos, hay exactamente un incidente de línea con ambos.
Dada cualquier dos líneas distintas, hay exactamente un incidente de punto con ambas.
Hay cuatro puntos tales que ninguna línea es un incidente con más de dos de ellos.

La segunda condición significa que no hay líneas paralelas. La última condición excluye los llamados casos degenerados (ver más abajo). El término "incidencia" se utiliza para enfatizar la naturaleza simétrica de la relación entre puntos y líneas. Así, la expresión "punto P es incidente con la línea ℓ" se usa en lugar de "P está en ℓ" o "ℓ pasa por P".

Ejemplos

El plano euclidiano extendido

Para convertir el plano euclidiano ordinario en un plano proyectivo, proceda de la siguiente manera:

A cada clase paralela de líneas (un conjunto máximo de líneas mutuamente paralelas) asocia un único punto nuevo. Ese punto debe considerarse un incidente con cada línea en su clase. Los nuevos puntos añadidos son distintos entre sí. Estos nuevos puntos se llaman puntos en el infinito.
Añade una nueva línea, que se considera un incidente con todos los puntos en el infinito (y ningún otro punto). Esta línea se llama el línea en el infinito.

La estructura extendida es un plano proyectivo y se denomina plano euclidiano extendido o plano proyectivo real. El proceso descrito anteriormente, utilizado para obtenerlo, se denomina "completación proyectiva" o proyectivización. Este plano también se puede construir comenzando desde R³ visto como un espacio vectorial, consulte § Construcción de espacio vectorial a continuación.

Avión de Moulton proyectiva

(feminine)

El Moulton avión. Líneas inclinadas hacia abajo y hacia la derecha están dobladas donde cruzan la Sí.-Eje.

Los puntos del plano de Moulton son los puntos del plano euclidiano, con coordenadas de la forma habitual. Para crear el plano de Moulton a partir del plano euclidiano se redefinen algunas de las líneas. Es decir, algunos de sus conjuntos de puntos cambiarán, pero otras líneas permanecerán sin cambios. Redefina todas las líneas con pendientes negativas para que parezcan "dobladas" líneas, lo que significa que estas líneas mantienen sus puntos con coordenadas x negativas, pero el resto de sus puntos se reemplazan con los puntos de la línea con el mismo intercepto en y pero el doble de la pendiente siempre que su coordenada x sea positiva.

El plano de Moulton tiene clases de rectas paralelas y es un plano afín. Se puede proyectivar, como en el ejemplo anterior, para obtener el plano proyectivo de Moulton. Desargues' El teorema no es un teorema válido ni en el plano de Moulton ni en el plano proyectivo de Moulton.

Un ejemplo finito

Este ejemplo tiene solo trece puntos y trece líneas. Etiquetamos los puntos P₁,..., P₁₃ y las rectas m₁,..., m₁₃. La relación de incidencia (qué puntos están en qué líneas) se puede dar mediante la siguiente matriz de incidencia. Las filas están etiquetadas por los puntos y las columnas están etiquetadas por las líneas. Un 1 en la fila i y la columna j significa que el punto P_i está en la línea m_j, mientras que un 0 (que representamos aquí con una celda en blanco para facilitar la lectura) significa que no son incidentes. La matriz está en la forma normal de Paige-Wexler.

Líneas Puntos	m₁	m₂	m₃	m₄	m₅	m₆	m₇	m₈	m₉	m₁₀	m₁₁	m₁₂	m₁₃
P₁	1	1	1	1
P₂	1				1	1	1
P₃	1							1	1	1
P₄	1										1	1	1
P₅		1			1			1			1
P₆		1				1			1			1
P₇		1					1			1			1
P₈			1		1				1				1
P₉			1			1				1	1
P₁₀			1				1	1				1
P₁₁				1	1					1		1
P₁₂				1		1		1					1
P₁₃				1			1		1		1

Para verificar las condiciones que hacen de este un plano proyectivo, observe que cada dos filas tienen exactamente una columna común en la que aparecen unos (cada par de puntos distintos están exactamente en una línea común) y que cada dos columnas tienen exactamente una columna común fila en la que aparecen 1 (cada par de líneas distintas se encuentran exactamente en un punto). Entre muchas posibilidades, los puntos P₁, P₄, P₅ y P₈, por ejemplo, cumplirá la tercera condición. Este ejemplo se conoce como el plano proyectivo de orden tres.

Construcción de espacio vectorial

Aunque la línea en el infinito del plano real extendido puede parecer que tiene una naturaleza diferente a las otras líneas de ese plano proyectivo, este no es el caso. Otra construcción del mismo plano proyectivo muestra que ninguna línea puede distinguirse (sobre bases geométricas) de otra. En esta construcción, cada "punto" del plano proyectivo real es el subespacio unidimensional (una línea geométrica) a través del origen en un espacio vectorial tridimensional, y una "línea" en el plano proyectivo surge de un plano (geométrico) a través del origen en el 3-espacio. Esta idea se puede generalizar y precisar de la siguiente manera.

Sea K cualquier anillo de división (skewfield). Sea K³ el conjunto de todos los triples x = (x₀, x₁, x₂) de elementos de K (un producto cartesiano visto como un espacio vectorial). Para cualquier x distinto de cero en K³, el subespacio mínimo de K³ que contiene x (que puede visualizarse como todos los vectores en una línea que pasa por el origen) es el subconjunto

{ k x: k in K }

de K³. De manera similar, sean x e y elementos linealmente independientes de K³, lo que significa que kx + mi = 0 implica que k = m = 0. El subespacio mínimo de K³ que contiene x e y (que puede visualizarse como todos los vectores en un plano a través del origen) es el subconjunto

{displaystyle {kx+my:k,min K}}

de K³. Este subespacio bidimensional contiene varios subespacios unidimensionales a través del origen que se pueden obtener fijando k y m y tomando los múltiplos del vector resultante. Diferentes opciones de k y m que están en la misma proporción darán la misma línea.

El plano proyectivo sobre K, denotado PG(2, K)}} o KP², tiene un conjunto de puntos que consta de todos los subespacios unidimensionales en K³. Un subconjunto L de los puntos de PG(2, K) es una línea en PG(2, K) si existe un subespacio bidimensional de K³ cuyo conjunto de subespacios unidimensionales es exactamente L.

La verificación de que esta construcción produce un plano proyectivo generalmente se deja como un ejercicio de álgebra lineal.

Una vista alternativa (algebraica) de esta construcción es la siguiente. Los puntos de este plano proyectivo son las clases de equivalencia del conjunto K³ ∖ {(0, 0, 0)} módulo la relación de equivalencia

x ~ kx, para todos k dentro K^×.

Las líneas en el plano proyectivo se definen exactamente como arriba.

Las coordenadas (x₀, x₁, x₂) de un punto en PG(2, K) se denominan coordenadas homogéneas. Cada triple (x₀, x₁, x₂) representa un punto bien definido en PG(2, K), excepto por el triple (0, 0, 0), que no representa ningún punto. Cada punto en PG(2, K), sin embargo, está representado por muchos triples.

Si K es un espacio topológico, entonces KP², hereda una topología a través del producto, subespacio y topologías de cociente.

Ejemplos clásicos

El plano proyectivo real RP² surge cuando se toma K como los números reales, R. Como una variedad 2 real cerrada y no orientable, sirve como un ejemplo fundamental en topología.

En esta construcción, considere la esfera unitaria centrada en el origen en R³. Cada una de las líneas R³ en esta construcción corta la esfera en dos puntos antípodas. Dado que la línea R³ representa un punto de RP², obtendremos el mismo modelo de RP² identificando los puntos antípodas de la esfera. Las líneas de RP² serán los círculos máximos de la esfera tras esta identificación de los puntos antípodas. Esta descripción da el modelo estándar de geometría elíptica.

El plano proyectivo complejo CP² surge cuando se toma K como los números complejos, C. Es una 2-variedad compleja cerrada y, por lo tanto, una 4-variedad real cerrada y orientable. Este y los planos proyectivos sobre otros campos (conocidos como planos pappianos) sirven como ejemplos fundamentales en geometría algebraica.

El plano proyectivo cuaterniónico HP² también es de interés independiente.

Planos de campo finito

Según el teorema de Wedderburn, un anillo de división finita debe ser conmutativo y, por tanto, un campo. Por lo tanto, los ejemplos finitos de esta construcción se conocen como "planos de campo". Tomando K como el campo finito de q = pⁿ elementos con prima p produce un plano proyectivo de q² + q + 1 puntos. Los planos de campo generalmente se denotan por PG (2, q), donde PG significa geometría proyectiva, el "2" es la dimensión y q se llama el orden del plano (es uno menos que el número de puntos en cualquier línea). El plano de Fano, discutido a continuación, se denota por PG (2, 2). El tercer ejemplo anterior es el plano proyectivo PG(2, 3).

El avión Fano. Los puntos se muestran como puntos; las líneas se muestran como líneas o círculos.

El plano de Fano es el plano proyectivo que surge del campo de dos elementos. Es el plano proyectivo más pequeño, con solo siete puntos y siete líneas. En la figura de la derecha, los siete puntos se muestran como pequeñas bolas y las siete líneas se muestran como seis segmentos de línea y un círculo. Sin embargo, uno podría considerar equivalentemente que las bolas son las "líneas" y los segmentos de línea y el círculo para ser los "puntos" – este es un ejemplo de dualidad en el plano proyectivo: si las líneas y los puntos se intercambian, el resultado sigue siendo un plano proyectivo (ver más abajo). Una permutación de los siete puntos que lleva puntos colineales (puntos en la misma línea) a puntos colineales se denomina colineación o simetría del plano. Las colineaciones de una geometría forman un grupo bajo composición, y para el plano Fano este grupo (PΓL(3, 2) = PGL(3, 2)) tiene 168 elementos.

Desargues' teorema y planos desarguesianos

El teorema de Desargues es universalmente válido en un plano proyectivo si y solo si el plano se puede construir a partir de un espacio vectorial tridimensional sobre un campo sesgado como el anterior. Estos aviones se denominan aviones desarguesianos, en honor a Girard Desargues. El plano proyectivo real (o complejo) y el plano proyectivo de orden 3 dados anteriormente son ejemplos de planos proyectivos desarguesianos. Los planos proyectivos que no se pueden construir de esta manera se denominan planos no desarguesianos, y el plano de Moulton dado anteriormente es un ejemplo de uno. La notación PG(2, K) está reservada para los planos desarguesianos. Cuando K es un campo, caso muy común, también se les conoce como planos de campo y si el campo es un campo finito se les puede llamar planos de Galois.

Subplanos

Un subplano de un plano proyectivo es un subconjunto de los puntos del plano que forman a su vez un plano proyectivo con las mismas relaciones de incidencia.

(Bruck 1955) demuestra el siguiente teorema. Sea Π un plano proyectivo finito de orden N con un subplano propio Π₀ de orden M. Entonces N = M² o N ≥ M² + M.

Cuando N es un cuadrado, subplanos de orden √N se denominan subplanos de Baer. Cada punto del plano se encuentra en una línea de un subplano de Baer y cada línea del plano contiene un punto del subplano de Baer.

En los planos desarguesianos finitos PG(2, pⁿ), los subplanos tienen órdenes que son los órdenes de los subcampos del campo finito GF( pⁿ), es decir, pⁱ donde i es un divisor de n. Sin embargo, en los planos no desarguesianos, el teorema de Bruck brinda la única información sobre las órdenes de los subplanos. No se sabe que ocurra el caso de igualdad en la desigualdad de este teorema. Si existe o no un subplano de orden M en un plano de orden N con M² + M = N es una pregunta abierta. Si tales subplanos existieran, habría planos proyectivos de orden compuesto (potencia no prima).

Subplanos Fano

Un subplano de Fano es un subplano isomorfo a PG(2, 2), el único plano proyectivo de orden 2.

Si consideras un cuadrángulo (un conjunto de 4 puntos sin tres colineales) en este plano, los puntos determinan seis de las líneas del plano. Los tres puntos restantes (llamados los puntos diagonales del cuadrilátero) son los puntos donde se encuentran las líneas que no se cruzan en un punto del cuadrilátero. La séptima línea consta de todos los puntos diagonales (generalmente dibujados como un círculo o semicírculo).

En los planos desarguesianos finitos, PG(2, q), los subplanos de Fano existen si y solo si q es par (es decir, una potencia de 2). La situación en los planos no desarguesianos está inestable. Podrían existir en cualquier plano no desarguesiano de orden superior a 6 y, de hecho, se han encontrado en todos los planos no desarguesianos en los que se han buscado (tanto en orden impar como par).

Una pregunta abierta, aparentemente debida a Hanna Neumann aunque no publicada por ella, es: ¿Todos los planos no desarguesianos contienen un subplano Fano?

Un teorema relacionado con los subplanos de Fano debido a (Gleason 1956) es:

Si cada cuadrángulo en un plano proyector finito tiene puntos diagonales collineales, entonces el plano es desarguesiano (de incluso orden).

Planos afines

La proyectivación del plano euclidiano produjo el plano proyectivo real. La operación inversa, comenzando con un plano proyectivo, eliminando una línea y todos los puntos incidentes con esa línea, produce un plano afín.

Definición

Más formalmente, un plano afín consiste en un conjunto de líneas y un conjunto de puntos, y una relación entre puntos y líneas llamada incidencia, teniendo las siguientes propiedades:

Dados los dos puntos distintos, hay exactamente un incidente de línea con ambos.
Dado cualquier línea l y cualquier punto P no incidente con l, hay exactamente un incidente de línea con P que no se reúne l.
Hay cuatro puntos tales que ninguna línea es un incidente con más de dos de ellos.

La segunda condición significa que hay líneas paralelas y se conoce como el axioma de Playfair. La expresión "no cumple" en esta condición es la abreviatura de "no existe un punto incidente con ambas rectas".

El plano euclidiano y el plano de Moulton son ejemplos de planos afines infinitos. Un plano proyectivo finito producirá un plano afín finito cuando se eliminen una de sus líneas y los puntos sobre ella. El orden de un plano afín finito es el número de puntos de cualquiera de sus rectas (este será el mismo número que el orden del plano proyectivo del que procede). Los planos afines que surgen de los planos proyectivos PG(2, q) se denotan por AG(2, q).

Existe un plano proyectivo de orden N si y sólo si existe un plano afín de orden N. Cuando solo hay un plano afín de orden N solo hay un plano proyectivo de orden N, pero lo contrario no es cierto. Los planos afines formados por la eliminación de diferentes líneas del plano proyectivo serán isomorfos si y solo si las líneas eliminadas están en la misma órbita del grupo de colineación del plano proyectivo. Estas afirmaciones también son válidas para planos proyectivos infinitos.

Construcción de planos proyectivos a partir de planos afines

El plano afín K² sobre K se incrusta en KP² a través del mapa que envía coordenadas afines (no homogéneas) a coordenadas homogéneas,

{displaystyle (x_{1},x_{2})mapsto (1,x_{1},x_{2}).}

El complemento de la imagen es el conjunto de puntos de la forma (0, x₁, x₂). Desde el punto de vista de la incrustación que acabamos de dar, estos puntos son los puntos en el infinito. Constituyen una línea en KP², es decir, la línea que surge del plano

{displaystyle {k(0,0,1)+m(0,1,0):k,min K}}

in K³—llamada la línea en el infinito. Los puntos en el infinito son los "extra" puntos donde las líneas paralelas se cruzan en la construcción del plano real extendido; el punto (0, x₁, x₂) es donde todas las líneas de pendiente x₂ / x₁ se cruzan. Consideremos, por ejemplo, las dos líneas

u={(x,0):xin K}

y={(x,1):xin K}

en el plano afín K². Estas rectas tienen pendiente 0 y no se cortan. Se pueden considerar como subconjuntos de KP² a través de la incrustación anterior, pero estos subconjuntos no son líneas en KP². Agregue el punto (0, 1, 0) a cada subconjunto; es decir, deja

{bar {u}}={(1,x,0):xin K}cup {(0,1,0)}

{bar {y}}={(1,x,1):xin K}cup {(0,1,0)}

Estas son líneas en KP²; ū surge del plano

{displaystyle {k(1,0,0)+m(0,1,0):k,min K}}

en K³, mientras que ȳ surge del plano

{displaystyle {k(1,0,1)+m(0,1,0):k,min K}.}

Las líneas proyectivas ū y ȳ se cruzan en (0, 1, 0). De hecho, todas las líneas en K² de pendiente 0, cuando se proyectan de esta manera, se cruzan en (0, 1, 0) en KP².

La incrustación de K² en KP² dada arriba es no es único. Cada incrustación produce su propia noción de puntos en el infinito. Por ejemplo, la incrustación

(x_{1},x_{2})to (x_{2},1,x_{1}),

tiene como complemento aquellos puntos de la forma (x₀, 0, x₂), que luego se consideran puntos en el infinito.

Cuando un plano afín no tiene la forma de K² con K un anillo de división, todavía se puede incrustar en un proyectivo avión, pero la construcción utilizada anteriormente no funciona. Un método comúnmente utilizado para llevar a cabo la incrustación en este caso consiste en expandir el conjunto de coordenadas afines y trabajar en un "álgebra" más general.

Coordenadas generalizadas

Se puede construir un "anillo" de coordenadas, el llamado anillo ternario plano (no un anillo genuino), correspondiente a cualquier plano proyectivo. Un anillo ternario plano no necesita ser un campo o un anillo de división, y hay muchos planos proyectivos que no se construyen a partir de un anillo de división. Se llaman planos proyectivos no desarguesianos y son un área activa de investigación. El plano de Cayley (OP²), un plano proyectivo sobre los octoniones, es uno de ellos porque los octoniones no forman un anillo de división.

Por el contrario, dado un anillo ternario plano (R, T), se puede construir un plano proyectivo (ver más abajo). La relación no es de uno a uno. Un plano proyectivo puede estar asociado con varios anillos ternarios planos no isomorfos. El operador ternario T se puede utilizar para producir dos operadores binarios en el conjunto R, mediante:

a + b = T()a, 1, b), y

a ⋅ b = T()a, b, 0).

El operador ternario es lineal si T(x, m, k) = x⋅m + k. Cuando el conjunto de coordenadas de un plano proyectivo realmente forman un anillo, un operador ternario lineal se puede definir de esta manera, usando las operaciones de anillo de la derecha, para producir un anillo ternario plano.

Las propiedades algebraicas de este anillo de coordenadas plano ternario resultan corresponder a las propiedades de incidencia geométrica del plano. Por ejemplo, Desargues' el teorema corresponde a que el anillo de coordenadas se obtiene de un anillo de división, mientras que el teorema de Pappus corresponde a que este anillo se obtiene a partir de un campo conmutativo. Un plano proyectivo que satisface el teorema de Pappus universalmente se llama plano papiano. Las álgebras de división alternativas, no necesariamente asociativas, como los octoniones, corresponden a los planos de Moufang.

No se conoce ninguna prueba puramente geométrica de la afirmación puramente geométrica de que Desargues' el teorema implica Pappus' teorema en un plano proyectivo finito (los planos desarguesianos finitos son pappianos). (Lo contrario es cierto en cualquier plano proyectivo y se puede demostrar geométricamente, pero la finitud es esencial en esta declaración ya que hay infinitos planos desarguesianos que no son pappianos). La prueba más común usa coordenadas en un anillo de división y el teorema de Wedderburn. que los anillos de división finitos deben ser conmutativos; Bamberg &amperio; Penttila (2015) da una prueba que usa solo más elementos "elementales" Hechos algebraicos sobre anillos de división.

Para describir un plano proyectivo finito de orden N(≥ 2) utilizando coordenadas no homogéneas y un anillo ternario plano:

Deje que un punto sea etiquetado (JUEGO).

Label N puntos (rDonde r = 0,... ()N- 1).

Label N² puntos (r, cDonde r, c = 0,... ()N- 1).

Sobre estos puntos, construya las siguientes líneas:

Una líneaJUEGO♪ = {JUEGO), (0), (N−1)}

N líneasc♪ = {JUEGO), (c, 0),...c, N−1), donde c = 0,... ()N−1)

N² líneasr, c♪ = {r) y los puntos (x, T()x, r, c} }, donde x, r, c = 0,... ()N− 1) y T es el operador ternario del anillo ternario plano.

Por ejemplo, para N = 2 podemos usar los símbolos {0, 1} asociados al campo finito de orden 2. El ternario operación definida por T(x, m, k) = xm + k siendo las operaciones de la derecha la multiplicación y la suma en el campo, se obtiene lo siguiente:

Una líneaJUEGO♪ = {JUEGO), (0), (1)},

2 líneas [c♪ = {JUEGO), (c,0), (c,1): c = 0, 1},

[0] = {JUEGO), (0,0), (0,1) }

[1]JUEGO), (1,0), (1,1) }

4 líneas [r, c]r) y los puntos (i, ir + c), donde i = 0, 1: r, c = 0, 1.

[0,0]: {(0), (0,0), (1,0)}

[0,1]: {(0), (0,1), (1,1) }

[1,0]: {(1), (0,0), (1,1) }

[1,1]: {(1), (0,1), (1,0) }

Aviones degenerados

aviones degenerados proyectivos

Los planos degenerados no cumplen la tercera condición en la definición de un plano proyectivo. No son estructuralmente lo suficientemente complejos como para ser interesantes por derecho propio, pero de vez en cuando surgen como casos especiales en los argumentos generales. Hay siete tipos de avión degenerado según (Albert & Sandler 1968). Están:

el conjunto vacío;
un solo punto, sin líneas;
una sola línea, sin puntos;
un solo punto, una colección de líneas, el punto es incidente con todas las líneas;
una sola línea, una colección de puntos, los puntos son todos incidentes con la línea;
un punto P incidente con una línea m, una colección arbitraria de líneas todo incidente con P y una colección arbitraria de puntos todo incidente con m;
un punto P no incidente con una línea m, una colección arbitraria (puede estar vacía) de líneas todo incidente con P y todos los puntos de intersección de estas líneas con m.

Estos siete casos no son independientes, el cuarto y el quinto pueden considerarse casos especiales del sexto, mientras que el segundo y el tercero son casos especiales del cuarto y quinto respectivamente. El caso especial del séptimo plano sin líneas adicionales puede verse como un octavo plano. Por lo tanto, todos los casos se pueden organizar en dos familias de planos degenerados de la siguiente manera (esta representación es para planos finitos degenerados, pero puede extenderse a infinitos de forma natural):

1) Para cualquier número de puntos P₁,..., P_n, y líneas L₁,..., L_m,

L₁ = P₁, P₂,... P_n}

L₂ = P₁ }

L₃ = P₁ }

...

L_m = P₁ }

2) Para cualquier número de puntos P₁,..., P_n, y líneas L₁,..., L_n, (mismo número de puntos que de líneas)

L₁ = P₂, P₃,... P_n }

L₂ = P₁, P₂ }

L₃ = P₁, P₃ }

...

L_n = P₁, P_n }

Colineaciones

Una colineación de un plano proyectivo es un mapa biyectivo del plano a sí mismo que mapea puntos a puntos y líneas a líneas que conserva la incidencia, lo que significa que si σ es una biyección y el punto P está en la línea m, luego P^σ está en m^σ.

Si σ es una colineación de un plano proyectivo, un punto P con P = P^σ se llama un punto fijo de σ, y una recta m con m = m^σ se llama línea fija de σ. Los puntos en una línea fija no necesitan ser puntos fijos, sus imágenes bajo σ simplemente están restringidas para estar en esta línea. El conjunto de puntos fijos y líneas fijas de una colineación forman una configuración cerrada, que es un sistema de puntos y líneas que satisfacen las dos primeras pero no necesariamente la tercera condición en la definición de un plano proyectivo. Así, el punto fijo y la estructura de línea fija para cualquier colineación forman un plano proyectivo por sí mismos o un plano degenerado. Las colineaciones cuya estructura fija forma un plano se denominan colineaciones planas.

Homografía

Una homografía (o transformación proyectiva) de PG(2, K) es una colineación de este tipo de plano proyectivo que es un transformación lineal del espacio vectorial subyacente. Utilizando coordenadas homogéneas se pueden representar mediante matrices invertibles 3 × 3 sobre K que actúan sobre los puntos de PG(2, K) por y = M x^T, donde x e y son puntos en K³ (vectores) y M es una matriz invertible 3 × 3 sobre K. Dos matrices representan la misma transformación proyectiva si una es múltiplo constante de la otra. Así el grupo de transformaciones proyectivas es el cociente del grupo lineal general por las matrices escalares llamado grupo lineal proyectivo.

Otro tipo de colineación de PG(2, K) es la inducida por cualquier automorfismo de K, estas se denominan colineaciones automórficas. Si α es un automorfismo de K, entonces la colineación dada por (x₀, x₁, x₂) → (x₀<sup α, x₁^α, x ₂^α) es una colineación automórfica. El teorema fundamental de la geometría proyectiva dice que todas las colineaciones de PG(2, K) son composiciones de homografías y colineaciones automórficas. Las colineaciones automórficas son colineaciones planas.

Dualidad del plano

Un plano proyectivo se define axiomáticamente como una estructura de incidencia, en términos de un conjunto P de puntos, un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que determina qué puntos se encuentran en qué líneas. Como P y L son solo conjuntos, se pueden intercambiar sus roles y definir una estructura dual plana.

Al intercambiar el rol de "puntos" y "líneas" en

C =P, L, I)

obtenemos la estructura dual

C* =L, P, I*),

donde I* es la relación inversa de I.

En un plano proyectivo, un enunciado que involucra puntos, líneas e incidencia entre ellos que se obtiene de otro enunciado intercambiando las palabras "punto" y "línea" y haciendo los ajustes gramaticales que sean necesarios, se llama el enunciado dual plano del primero. El enunciado plano dual de "Dos puntos están en una línea única." es "Dos líneas se encuentran en un punto único." Formar el plano dual de un enunciado se conoce como dualizar el enunciado.

Si un enunciado es verdadero en un plano proyectivo C, entonces el plano dual de ese enunciado debe ser verdadero en el plano dual C*. Esto se deduce de la dualización de cada declaración en la prueba "en C" da un enunciado de la prueba "en C*."

En el plano proyectivo C, se puede demostrar que existen cuatro líneas, de las cuales tres no son concurrentes. La dualización de este teorema y los dos primeros axiomas en la definición de un plano proyectivo muestra que la estructura dual del plano C* también es un plano proyectivo, llamado plano dual de C.

Si C y C* son isomorfos, entonces C se llama autodual. Los planos proyectivos PG(2, K) para cualquier anillo de división K son autoduales. Sin embargo, hay planos no desarguesianos que no son autoduales, como los planos de Hall, y algunos que sí lo son, como los planos de Hughes.

El Principio de dualidad de planos dice que la dualización de cualquier teorema en un plano proyectivo autodual C produce otro teorema válido en C.

Correlaciones

Una dualidad es un mapa de un plano proyectivo C = (P, L , I) a su plano dual C* = (L, P, I*) (ver arriba) que preserva la incidencia. Es decir, una dualidad σ asignará puntos a líneas y líneas a puntos (P^σ = L y L^σ = P) de tal forma que si un punto Q está sobre una línea m (denotada por Q I m) luego Q^σ Yo* m^σ ⇔ m ^σ Yo Q^σ . Una dualidad que es un isomorfismo se llama correlación. Si existe una correlación, entonces el plano proyectivo C es autodual.

En el caso especial de que el plano proyectivo sea del tipo PG(2, K), con K un anillo de división, una dualidad se denomina reciprocidad. Estos planos son siempre autoduales. Por el teorema fundamental de la geometría proyectiva una reciprocidad es la composición de una función automórfica de K y una homografía. Si el automorfismo involucrado es la identidad, entonces la reciprocidad se denomina correlación proyectiva.

Una correlación de orden dos (una involución) se denomina polaridad. Si una correlación φ no es una polaridad, entonces φ² es una colineación no trivial.

Planos proyectivos finitos

Gráfico del plano proyectivo del orden 7, teniendo 57 puntos, 57 líneas, 8 puntos en cada línea y 8 líneas pasando por cada punto, donde cada punto es denotado por un rectángulo redondeado y cada línea por una combinación de letra y número. Sólo se dibujan líneas con letra A y H. En el juego Dobble o Spot It!, se eliminan dos puntos. En el archivo SVG, pasar por encima de una línea para destacarlo.

Se puede demostrar que un plano proyectivo tiene el mismo número de rectas que de puntos (infinito o finito). Así, para todo plano proyectivo finito existe un entero N ≥ 2 tal que el plano tiene

N² + N + 1 puntos,

N² + N + 1 líneas,

N + 1 puntos en cada línea, y

N + 1 líneas a través de cada punto.

El número N se llama el orden del plano proyectivo.

El plano proyectivo de orden 2 se denomina plano de Fano. Véase también el artículo sobre geometría finita.

Usando la construcción del espacio vectorial con campos finitos existe un plano proyectivo de orden N = pⁿ, para cada potencia principal pⁿ. De hecho, para todos los planos proyectivos finitos conocidos, el orden N es una potencia prima.

La existencia de planos proyectivos finitos de otros órdenes es una cuestión abierta. La única restricción general conocida sobre el orden es el teorema de Bruck-Ryser-Chowla de que si el orden N es congruente con 1 o 2 mod 4, debe ser la suma de dos cuadrados. Esto descarta N = 6. El próximo caso N = 10 ha sido descartado por cálculos informáticos masivos. No se sabe nada más; en particular, la cuestión de si existe un plano proyectivo finito de orden N = 12 sigue abierta.

Otro problema abierto desde hace mucho tiempo es si existen planos proyectivos finitos de orden principal que no son planos de campo finito (equivalentemente, si existe un plano proyectivo de orden primo no desarguesiano).

Un plano proyectivo de orden N es un Steiner S(2, N + 1, N ² + N + 1) sistema (ver sistema de Steiner). Por el contrario, se puede probar que todos los sistemas de Steiner de esta forma (λ = 2) son planos proyectivos.

El número de cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden N es como mucho N − 1. N − 1 existe si y solo si hay un plano proyectivo de orden N.

Si bien la clasificación de todos los planos proyectivos está lejos de ser completa, los resultados son conocidos para órdenes pequeñas:

2: todo isomorfo a PG(2, 2)
3: todo isomorfo a PG(2, 3)
4: todo isomorfo a PG(2, 4)
5: todo isomorfo a PG(2, 5)
6: imposible como el orden de un avión proyector, probado por Tarry que mostró que el problema de treinta y seis oficiales de Euler no tiene solución. Sin embargo, la conexión entre estos problemas no se conoció hasta que Bose lo probó en 1938.
7: todo isomorfo a PG(2, 7)
8: todo isomorfo a PG(2, 8)
9: PG(2, 9), y otros tres planos no isómorfos: un avión Hughes, un avión Hall y el doble de este avión Hall. Todos se describen en (Habitación " Kirkpatrick 1971).
10: imposible como un orden de un plano proyectivo, probado por cálculo de computadora pesado.
11: al menos PG(2, 11), otros no son conocidos pero posibles.
12: se conjetura para ser imposible como un orden de un plano proyectivo.

Planos proyectivos en espacios proyectivos de dimensiones superiores

Los planos proyectivos se pueden considerar como geometrías proyectivas de elementos "geométricos" dimensión dos. Las geometrías proyectivas de dimensiones superiores se pueden definir en términos de relaciones de incidencia de manera análoga a la definición de un plano proyectivo. Estos resultan ser "domadores" que los planos proyectivos ya que los grados extra de libertad permiten a Desargues' teorema a demostrar geométricamente en la geometría de dimensiones superiores. Esto significa que la coordenada "anillo" asociado a la geometría debe ser un anillo de división (skewfield) K, y la geometría proyectiva es isomorfa a la construida a partir del espacio vectorial K^{d +1}, es decir, PG(d, K). Como en la construcción dada anteriormente, los puntos del espacio proyectivo d-dimensional PG(d, K) son las líneas a través del origen en K^d+1 y una línea en PG(d, K) corresponde a un plano que pasa por el origen en K^d+1. De hecho, cada objeto i-dimensional en PG(d, K), con i < d, es un subespacio vectorial (i + 1)-dimensional (algebraico) de K^d+1 ("pasa por el origen"). Los espacios proyectivos a su vez se generalizan a los espacios Grassmannianos.

Se puede demostrar que si Desargues' el teorema se cumple en un espacio proyectivo de dimensión mayor que dos, entonces también se debe cumplir en todos los planos que están contenidos en ese espacio. Ya que hay planos proyectivos en los que Desargues' falla el teorema (planos no desarguesianos), estos planos no se pueden incrustar en un espacio proyectivo de dimensiones superiores. Solo los planos de la construcción del espacio vectorial PG(2, K) pueden aparecer en espacios proyectivos de mayor dimensión. Algunas disciplinas de las matemáticas restringen el significado de plano proyectivo solo a este tipo de plano proyectivo ya que, de lo contrario, las declaraciones generales sobre espacios proyectivos siempre tendrían que mencionar las excepciones cuando la dimensión geométrica es dos.

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